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1、关于相遇与追赶问题第一种情况:甲乙分别从 AB 两地相向而行,第一次相遇距离 A 地 a 米,第二次相遇距离 B 地 b 米,则有:第一次甲乙共走 S 米,第二次相遇甲乙因为先到终点又再相遇,所以又共同走了 2S 米,于是甲两次共走了 a+2*a=3a 米,甲的总路程是 S+b 米,所以 S=3a-b第二种情况:甲乙分别从 AB 两地相向而行,第一次相遇距离 A 地 a 米,第二次相遇距离 A 地 b 米,则有:同第一种情况,甲两次共走了 a+2*a=3a 米,甲的总路程是 2S-b 米,所以 S=(3a+b)/2第三种情况:甲乙从 A 同向而行,遇到终点就折返,第一次相遇时距离 A 地 a
2、米,第二次相遇距离 B 地 b 米,不妨设甲走的慢些,则有:第一次相遇,甲乙共走了 2S 米,其中甲走了 a 米,乙走了 2S-a 米,第二次相遇同样走了 2S 米,甲走了 2a 米,总路程是 S+b 米,所以 S=2a-b 米第四种情况:甲乙从 A 同向而行,遇到终点就折返,第一次相遇时距离 A 地 a 米,第二次相遇距离 A 地 b 米,不妨设甲走的慢些,则有:同上甲走了 2a 米,总路程是 2S-b 米,所以 S=(2a+b)/2 米但是,要注意的是这类题目,题干貌似得描述的很严谨才能这么套公式- -b例如假设 AB 相向而行,第一次相遇距离 A 6 米,第二次相遇距离 A 8 米,那么
3、可以得出两个结论,假使甲走的特别慢,并没有折返就第二次相遇了,那么可以得出一个答案是全长 48 米,第一次甲走 6 米,乙走 42 米,第二次甲走 2 米,乙走 14 米,也符合题设关于生男生女的概率一对夫妇生了 2 个孩子,已知其中一个是女孩,求另外一个也是女孩的概率?主要是集中在 1/2 和 1/3 两个答案上.标准答案是 1/3(不确信的朋友可以找一下高 2 的代数书,有原题),但是还是有很多朋友(超过一半)认为是 1/2,偶来分析下.我用最原始的样本/样本空间来解释几种情况(以女孩为例,男孩类似2 个孩子的空间无非是男男,男女,女男,女女注意:男女和女男是不一样的,不是说第一胎第二胎的
4、时间顺序问题.即便是双胞胎同时出生的,这 2 个样本也是不一样的，它们代表的是一种可能性情况一,什么都不知道,要求 2 个都是女孩的概率.既然什么都不知道,那么样本空间里的 4 种情况就都可能发生,而我们求的只是其中的一个样本女女,所以是 1/4情况二,知道第一个是女孩,求第二个是女孩的概率现在有了第一个是女孩的限制,那么样本空间里可能发生的情况只有女男,女女,我们求的是女女,所以是 1/2情况三,知道其中一个是女孩,求另外一个是女孩的概率现在我们知道的是,其中有一个女孩,那么样本空间里可能发生的情况有男女,女男,女女,我们求的是女,女,所以是 1/3(不是 1/2)情况四,无其他条件,生一男
5、一女的概率无其他条件,样本空间 4 种情况都会发生,求的是一男一女,是男女,女男,所以是2/4=1/2情况五,已知其中一个是女孩,求一男一女的概率样本空间里要求至少有一个女孩,于是为男女,女男,女女,我们要求的是男女,女男,所以是 2/3(不是 1/2)情况六,已知第一个是女孩,求一男一女的概率样本空间里第一个必须为女孩,即为女男,女女,我们要求的是女男,所以是 1/2很多朋友写了,不管第一个孩子是男是女,对第二个孩子都没影响,第二个孩子生男生女的概率都是 1/2,这句话是没有错的,第二个还是生男生女概率确实不会变,一定是 1/2.但是请注意题目的问题,题目并非单独问第二个孩子是男是女的概率,
6、而是问两个孩子的概率,这样第一个孩子是男是女对我们要求的问题就是相关的,在高等数学中叫做条件概率.条件概率如果要直接相乘只有一种情况,那就是条件与我们要求的问题是独立的,不相关的.题中如果能够确定第一个孩子的性别.那么最后的问题也就和第一个孩子独立了.比如情况六中,可以把题目等价为,已知第一个是女孩,求第二个是男孩的概率.为什么可以这样做,因为第一个孩子性别确定了是女,那么求一男一女两个孩子的情况和求第二个是男孩是一样的,第一个孩子已经作为独立部分,与最后的问题独立了.但是在情况五中却不能作出等价的题目,为什么呢,因为我们不能确定这一男一女当中,到底第一个是男第二个是女还是第一个是女第二个是男
7、,这两种情况虽然都是一男一女,但是本质上是不同的.关于整除整除的定义：整除是数学中两个自然数(除数不包括 0）之间的一种关系。自然数 a 可以被自然数 b 整除，是指 a 是 b 的整数倍数，也就是 a 除以 b 没有余数，意味着 b 是 a 的因数（或者说 b 是 a 的约数） 。那么我们讲 1.5 能被 0.5 整除吗？显然，这个问法犯了概念上的错误。下来我们就讲整除的规律：首先，讲特殊数 0，0 是所有非 0 自然数的倍数，所有非 0 自然数都是 0 的约数。0 可以被任意非 0 自然数整除。其次，一、1 是任何整数的约数，即 1 可以被任意非 0 自然数整除。二、若一个整数的末位是偶数
8、（0、2、4、6、8） ，则这个数能被 2 整除。三、若一个整数的数字和能被 3 整除，则这个整数能被 3 整除。四、若一个整数的末尾两位数能被 4 整除，则这个数能被 4 整除。五、若一个整数的末位是 0 或 5，则这个数能被 5 整除。六、若一个整数能被 2 和 3 整除，则这个数能被 6 整除。七、第一种方法：割尾法，把个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的 2 倍，差是 7 的倍数，则原数能被 7 整除。如 2198，截去个位数字后为 219，用 219-8*2=203；继续下去，截去个位数字后为 20，用 20-3*2=14，14 是 7 的倍数，所以 2198 也是 7 的倍数
9、。第二种方法：将整数从千位分起，大数减小数，差能被 7 整除，则这个数能被 7 整除（PS：可用于特殊数字。如 2009 分为 2|009，9-2=7，则 2009 能被 7 整除。再如 2339330分为 2339|330，2339-330=2009，再分后能被 7 整除，则 2339330 能被 7 整除） 。八、若一个整数的未尾三位数能被 8 整除，则这个数能被 8 整除。九、若一个整数的数字和能被 9 整除，则这个整数能被 9 整除。十、若一个整数的末位是 0，则这个数能被 10 整除。十一、第一种方法：若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被 11 整除，则这个数能被 11 整
10、除。第二种方法：11 的倍数检验法也可用上述检查 7 的“割尾法”处理！过程唯一不同的是：倍数不是 2 而是 1！十二、若一个整数能被 3 和 4 整除，则这个数能被 12 整除。十三、若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的 4 倍，如果差是13 的倍数，则原数能被 13 整除。如果差太大或心算不易看出是否 13 的倍数，就需要继续上述截尾、倍大、相加、验差的过程，直到能清楚判断为止。十四、若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的 5 倍，如果差是17 的倍数，则原数能被 17 整除。如果差太大或心算不易看出是否 17 的倍数，就需要继续上述截尾、倍大、相减、验差
11、的过程，直到能清楚判断为止。十五、若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的 2 倍，如果差是19 的倍数，则原数能被 19 整除。如果差太大或心算不易看出是否 19 的倍数，就需要继续上述截尾、倍大、相加、验差的过程，直到能清楚判断为止。十六、若一个整数的末三位与 3 倍的前面的隔出数的差能被 17 整除，则这个数能被 17 整除。十七、若一个整数的末三位与 7 倍的前面的隔出数的差能被 19 整除，则这个数能被 19 整除。十八、若一个整数的末四位与前面 5 倍的隔出数的差能被 23(或 29)整除，则这个数能被 23整除牛吃草将“牛吃草”归纳为两大类，用下面两个例题来说明 例
12、 1.牧场上有一片均匀生长的牧草，可供 27 头牛吃 6 天，或供 23 头牛吃 9 天。那么它可供 21 头牛吃几天？ 例 2.有三块草地，面积分别为 5，6 和 8 公顷草地上的草一样厚，而且长得一样快第一块草地可供 11 头牛吃 10 天，第二块草地可供 12 头牛吃 14 天问：第三块草地可供 19 头牛吃多少天？ 分析与解：例 1 是在同一块草地上，例 2 是三块面积不同的草地 （这就两者本质的区别）第一章：核心思路普通解法请参考上面三位前辈的帖子。我没把链接做好，不好意思现在来说我的核心思路：例 1.牧场上有一片均匀生长的牧草，可供 27 头牛吃 6 天，或供 23 头牛吃 9 天
13、。那么它可供 21 头牛吃几天？将它想象成一个非常理想化的数学模型：假设 27 头牛中有 X 头是“剪草工” ，这 X 头牛只负责吃“每天新长出的草，并且把它们吃完” ，这样以来草场相当于不长草，永远维持原来的草量，而剩下的(27X)头牛是真正的“顾客” ，它们负责把草场原来的草吃完。 （请慢慢理解，这是关键）例 1：解:设每天新增加草量恰可供 X 头牛吃一天,21 牛可吃 Y 天（后面所有 X 均为此意）可供 27 头牛吃 6 天， 列式：（27X）6 即：（27X）头牛 6 天把草场吃完可供 23 头牛吃 9 天， 列式：（23X）9 即：（23X）头牛 9 天把草场吃完可供 21 头牛吃
14、几天？ 列式：（21X）Y 即：（21X）头牛 Y 天把草场吃完因为草场草量已被“清洁工”修理过，总草量相同，所以，联立上面 1、2、3（27X）6（23X）9（21X）Y（27X）6（23X）9 【1】（23X）9（21X）Y 【2】解这个方程组，得 X15（头） Y12（天）例 2：有三块草地，面积分别为 5，6 和 8 公顷草地上的草一样厚，而且长得一样快第一块草地可供 11 头牛吃 10 天，第二块草地可供 12 头牛吃 14 天问：第三块草地可供 19 头牛吃多少天？ 解析：现在是三块面积不同的草地为了解决这个问题，需要将三块草地的面积统一起来 （这是面积不同时得解题关键） 求【5，
15、6，8】得最小公倍数为 1201、因为 5 公顷草地可供 11 头牛吃 10 天，120524，所以 120 公顷草地可供1124264(头)牛吃 10 天2、因为 6 公顷草地可供 12 头牛吃 14 天，120620，所以 120 公顷草地可供1220240(头)牛吃 14 天3、120815，问题变为：120 公顷草地可供 1915285(头)牛吃几天？这样一来，例 2 就转化为例 1，同理可得：（264X）10（240X）14（285X）Y（264X）10（240X）14 【1】（240X）14（285X）Y 【2】解方程组：X=180（头） Y=8（天）典型例题“牛吃草”已介绍完毕。
16、第二章：“牛吃草”变型以下几道题目都是“牛吃草”的变型，解法和上面我讲的一摸一样，因为我在前边写的很详细了，所以下面的例题不再给出详解，略作说明即可。请大家自行验证。例 3 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少已知某块草地上的草可供 20 头牛吃 5 天，或可供 15 头牛吃 6 天照此计算，可供多少头牛吃 10 天？解析：本题的不同点在草匀速减少，不管它，和前边设 X、Y 一样来理想化，解出的 X 为负数（无所谓，因为 X 是我们理想化的产物，没有实际意义） ，解出 Y 为我们所求。例 4 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼已知男孩每分钟走 20 级梯级，女孩每分钟走 15 级梯级，结果男孩用了 5 分钟到达楼上，女孩用了 6 分钟到达楼上问：该扶梯共有多
