动量定理及动量守恒定律第三章

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1、动量定理及动量守恒定律第三章动量定理及动量守恒定律第三章第三章动量定理及动量守恒定律本章讨论质点运动状态与质点受力的关系，其中心内容是牛顿运动定律，它包括牛顿定律的建立、定律的内容、它的适用范围和应用等。本章对涉及到的基本概念、物理定律和物理思想都比中学作了更深入的讲述，有些内容，例如伽利略变换、非惯性系等，也是中学未曾讲过的内容，因此对本章的学习应与于足够的重视。牛顿定律的研究对象是质点，适应的参考系是惯性系。在非惯性系中，为保留牛顿定律的形式，引入了惯性力。一 章节小结（一） 惯性定律1惯性定律：自由粒子永远保持静止或匀速直线运动状态。2惯性参考系 对某一特定物体惯性定律成立的参考系。其特

2、性：（1）在惯性系中所有物体遵从惯性定律。（2）一切相对惯性系作匀速直线运动的参考系都是惯性系。3相对性原理 对于牛顿动力学规律，一切惯性系都是等价的。4惯性质量 m 物体惯性大小的量度。质量的操作型定义 （二） 力1定义 ：单位时间内物体在相互作用中传递的动量。即： 2常见的几种力：（1）重力（主动力）： ；重力的大小叫重量。 （2）弹簧的弹力（主动力）： （3）支撑力（被动力）：重物对支持面的压力和支持面对重物的支承力都属于这种力。（4）绳的张力（被动力）：不考虑绳的质量和摩擦力时，绳的张力处处相等。（5）摩擦力（被动力）：静摩擦力： ； 滑动摩擦力： （三） 牛顿三定律（只在惯性系中成立

3、）1第一定律：惯性定律2第二定律：质点的惯性质量与其加速度的乘积等于该质点所受合力。数学表达式： 3第三定律：作用力与反作用力大小相等，方向相反，作用在一条直线上。数学表达式： 说明：（1）作用力与反作用力是相对而言的，没有主从之分，同时出现，同时消灭。（2）作用力与反作用力分别施于不同物体，不是平衡力。（3）使用于近距作用，每一时刻都存在。（4）作用力与反作用力属于同一性质的力。（四） 惯性力惯性在非惯性系中的表现直线加速非惯性系中 惯性力 其中 是直线加速非惯性系相对惯性系的加速度。转动参考系中：离心惯性力 ，其中 是转动参考系相对惯性系匀速转动的角速度。（五） 动量定理和质心运动定理1动

4、量： 2冲量： 平均力 3动量定理：质点的动量定理： 质点系的动量定理： 或 ；4动量守恒定律：当 时， 常量5质心运动定理：质心的位置矢量： 或 质心运动定理：质心系所受的合力等于总质量乘以质心的加速度。即 二 解题要求和例题讲解（一）应用牛顿定律解题步骤和例题步骤：1 明确研究对象（即选隔离体）：因为牛顿规律只适用于质点，所以所选研究对象必须能视为质点，以便使所研究的力暴露出来，成为研究对象所受的外力例如，对阿特武德机，只能分别选两个物体为研究对象，而不能把两个物体作为一个研究对象来应用牛顿运动定律。2 分析研究对象的受力情况，画出受力图。3 建立坐标系：有了坐标系，才便于把力、加速度等矢

5、量向坐标轴投影，使矢量运算化为标量运算，在动力学中坐标原点的位置可以任意。4 依据牛顿运动定律建立方程，先写出矢量方程 ，然后再将其向坐标轴投影得到标量方程。例如：在直角坐标系中： ， ， 在自然坐标系中： ， 其中 是 、 在坐标轴上的投影，均为代数量，其正负由矢量和坐标轴方向间的夹角小于或大于 来定。方程的数目等于未知数的数目，有时要根据题目中的物理条件列出数字方程。5 解方程，对所得结果进行必要的讨论。例题讲解：1 如图所示，在光滑的水平地面上放一质量为 M 的契块，契块底角为 ，斜边光滑，今在其斜边上放一质量为 m 的物体，求物体沿契块下滑时对契块和对地面的加速度。解：参考系：地面研究

6、对象：契块和物体mmgNm受力分析： 契块 物体且 N=-NmXYMmMMgNN坐标系：如图所示 设物体相对地面的加速度为 ，和水平面的夹角为 向下物体相对契块的加速度为 ，沿斜面，和地面成角 契块相对地面的加速度为 ，沿水平方向后。根据相对性： ，在坐标轴上的投影： ， 对物体应用牛顿第二定律：x 向 y 向 则： -（1）-（2）对契块应用牛顿第二定律：则 x 向 -（3）解（1） 、 （2） 、 （3）得 ， ， 2 两全同轻弹簧上依次挂着三个同样的小球，求（1）割断上面细线的瞬时各小球的加速度 （2）割断下面弹簧的瞬时各小球的加速度分析：细线和轻弹簧质量可以忽略，因此细线中的张力处处相

7、等，每个弹簧中的弹性力也处处相等。解题时应先计算未割断线和弹簧时，细线和弹簧中的受力，然后再根据力的瞬时性和小球的惯性来分析，计算所求的加速度。解：研究对象：三个小球：分别为 1、2、3，均视为质点1TW1T1T12W2T2参考系：地面3T2W3OY坐标系：0y 如图所示三个小球处于平衡时的受力如图设三个小球的质量均为 m，则：W1=W2=W3=mg且 ， 1 球： 即： -（1）2 球： 即： -（2）3 球： 即： -（3）解得： ， ， （1） 割断上部细线瞬间，由于力的瞬时性知：T=0，各小球所受重力不变。由于小球的惯性，此瞬时各弹簧尚未来得及发生长度的变化，因此弹簧中的力也尚未来得及

8、变化。1 球： 即： 2 球： 即： 3 球： 即： 又因： ， 解得： （2） 割断下面弹簧的瞬时，引起弹簧形变的外力（作用于球 3 的力）消失，所以弹簧的弹性力也随之变为零，而弹簧 1的形变未来得及变化，即 、 、 尚未来得及变化。所以：1 球： 即： 2 球： 即： 3 球： 即： 且： ， 解得： 3 光滑台面上放置一长度为 L 质量为 m 的柔绳，开始时绳子垂下部分长为 h，求绳子自初速度为零开始下落过程中某一时刻的速度分析：把柔绳看成质点组，认为柔绳不可伸长，则柔绳下落过程中，其上个点的速度、加速度大小都一样，使柔绳下落的力只是绳垂下的重力，它随绳垂下部分的增大而增大，因而绳质心下

9、落的加速度也随垂下部分的增加而变大。hoy解：参考系：地面（惯性系）坐标系：取绳子下端点的开始位置为原点，竖直向 下建立 oy 坐标轴研究对象：柔绳，视为质点组受力分析：柔绳所受外力有重力和台面的支撑力，处于台面上的部分所受的重力和支撑力矢量和为零，因而柔绳垂下部分所受的重力就是整个柔绳向下运动的外力。设某时刻 t 柔绳下端点的坐标为 y，则此时垂下绳子的重量为： 柔绳质心的加速度 又因柔绳上各点的速度大小相等，所以， ，即： 根据质心运动定理： ，所以 ， 解得： 4 质量为 =500kg，长为 L=4m 的木船浮在静止水面上，一质量 的人站在船上，现在人以时快时慢不规则的速率从船尾走到船头

10、，问船相对岸走了多少距离？船与水之间的摩擦力可以忽略。分析：因人的速度不规则，直接用动量守恒定率求解比较麻烦，但人和船体系在水平方向不受作用力，其质心加速度为零，体系原来静止，所以质心在水平方向的位移保持不变，所以用质心定理求解。解：参考系：地面（岸） ； 研究对象：人和船组成的体系x0xc坐标系：取 x 轴沿水平方向，取原来船的中点为坐标原点，以人的行走方向 x 轴为正方向人在船尾时，体系质心的坐标为 xc，当人走到船头后，设船的中心坐标为 x，则体系的质心坐标 因质心位置不变，则： ，即： ， 5 质量为 m1，长为 的均匀绳索在光滑的水平面上以角速度 绕其一端匀速旋转，在其自由端系有一质

11、量为 m2 的小球，求绳索中个点的张力。分析：本题考察质量连续分布物体（绳索）的运动，不能直接用牛顿定律求解，因为绳索各部分的运动情况不同，不能看成一个质点。但只要把绳索分割成许多小段，使每一段的长度 很小，可作质点处理。这就要用到微分概念，对于连续分布的系统，这种方法是常用的。小球仍看成质点。解：取长为 ，距中心为 r 的一段绳索，其质量为： ，其受力如图：F（r）F(r+ )则： 当 很小时， ，所以： ， 对此式从 r 到 求和即积分，得： 又： ，所以： 可见，张力是 r 的函数，越近固定端点的张力越大。通过本题的求解可以看出，对有质量的绳索，当绳作加速运动时，绳索各部分的张力并不相等

12、。在许多问题中，一般总是认为绳索各处张力相等，那时忽略绳索质量或绳索无加速度的情况。（二）应用动量定理和动量守恒定律解题的要求及例题解题的要求：1 明确参考系：由于动量定理和动量守恒定律是由牛顿定律导出的，所以也只适用于惯性系，解题时一定在同一惯性系中列矢量方程。2 建立坐标系：以便于正确列出矢量方程的投影式方程。3 恰当划分系统，分清内力、外力，即明确研究对象，包括那些可视为质点的体系，分析清楚系统内各物体的受力情况，明确那是内力，那是外力，有时还需要对内力、外力进行比较，看是否满足内力远远大于外力，以便在误差允许范围内，运用动量守恒研究系统内物体的动量变化。4 分析过程：明确过程的是始末状

13、态，有时还需要把一个过程分成若干阶段，根据不同阶段的特点再分别选择研究对象，分析受力。5 依据有关规律列方程、解方程，讨论。例题讲解1 吊在空中一柔软均质绳子质量为 M，长为 L，下端距地为 H，求绳子自由下落到未落地部分长为 时，绳子对地面的作用力。分析：由绳子柔软这个已知条件可知， （1）绳子落地后对其上部未落地部分没有作用力， （2）柔绳在整个自由下落过程中，其各部分之间都没有相互作用力（3）当一部分落地后，其未落地部分仍照常继续自由下落，未落地部分不影响已着地部分对地的作用力绳子对地面的压力包括：（1）落地绳子（L- ）对地面的压力，即这部分绳子的重量， （2）刚落地时小元绳段对地面的

14、冲力这个力可通过动量定理和牛顿第二定律求解。解：参考系：地面坐标系：如图，绳子吊在空中时的上端点所在位置为原点，向下建立坐标系 oz研究对象：未开始下落时距 o 为 的小元段绳 dm 为研究对象，其长为 dz，视为质点，位置坐标为 z，它刚要落地时的速度为 ，dm 刚落地时受力：重力 ，地面作用的冲力 。zLHo研究过程及始末状态：dm 刚要落地到落到地面后静止那一瞬间。其初速度： dmwf其末速度： 根据动量定理： 因为：f 远远大于 w，所以：， 是 dm 在任意瞬时的速度，当 dm 刚落地时 所以： ，绳子对地面的冲力 已落地的绳子对地面的压力 N： 这时绳子对地面的作用力为： 讨论：若

15、 H=0， =0，则 ，说明如果开始时，柔绳的下端刚好接触地面，则当绳子全部落到地上时，对地面的作用力的大小等于绳子重量的三倍。2 三只质量均为 M 的小船鱼贯而行，速度都为 ，中间一船以水平速度 （相对与中船）把质量均为 m 的物体同时抛向前后两只船上，问：当两物体落入船后，三只船的速度个如何？分析：（1）抛出和接受物体后，三只船受到抛出物体的作用，其动量均可能发生变化（2）选择物体和船构成的质点组作为研究系统，物体与船的作用力是内力，只改变一个质点的动量，不影响质点组的总动量，质点组 外=0，所以动量守恒。解：参考系：岸，注意：用动量守恒定律解题时，要求参考系是惯性系，并且解题过程中参考系不变。坐标系：以船行进方向为坐标轴正方向，建立坐标轴 ox，如图研究对象：第 2 船（M-2m）及抛出的二物体；XO123第 1 船