学生建模能力的培养与发展

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1、学生建模能力的培养与发展 摘要“数学建模”课堂的基本操作模式：模型准备（从生活情境中，抽象出一个比较清 晰的数学“问题”）模型假设（针对问题特点和建模目的作出合理的、简化的假设） 模型求解（运用适当的数学工具，进行数学抽象，得到一个数学结构）模型应用（回归 原题验证，解释应用）关键词数学建模 抽屉原理 数学模型抽屉原理教学中的数学建模在小学数学中，数学的概念、法则、公式、性质、数量关系都可以说是数学模型，低 年级的退位减法不就是吗？ 13 可以分成 10 和 3，用 10-8 的余数再加 3，其实就是凑十法 的运用，但它有自己的模型。乘法分配律、结合律 ab+ac=a(b+c)，分数乘除法运算

2、法则， 应用题中呈现的各种各样的数量关系，如：求“单位 1”的几分之几，就用“单位 1”的量 =占“单位 1” 的量，都是数学模型可以说数学模型随时随地都存在于数学中， 在数学的地方就有数学模型，教师在课堂教学中要渗透建模思想，强化这方面的教学。下 面拿我在教学中的案例作探讨。一、抽屉原理的教学与思考抽屉原理共三个例子，例 1、把 4 只铅笔放进 3 个文具盒，不管怎么放，总有一个文 具盒里至少放进 2 枝铅笔，为什么呢？例 2、把 5 本书放进 2 个抽屉中，如果一共有 7 本 书会怎样呢？9 本呢？你是这样想的吗？你有什么发现呢？例 1 用直观的方法描述的最简单的“抽屉原理”：把 m 个物

3、体任意分放进 n 个空抽屉里当 mn，n 是非自然数，那么一定大一个抽屉中放进至少 2 个物体，例 2 描述了“抽屉原理”， 更为一般的形式：把多于 kn 个物体任意分放进 n 个空抽屉里（k 是正整数），那么一定有 一个抽屉中放进了至少（k+1）个物体，从例 1 到例 2 是思维的深化与飞跃更接近原理的本 质。例 3 是“抽屉原理”的具体应用，并且模型的逆向应用，这种变式练习更高要求了学 生，后面练习帮助学生加深对“抽屉原理”的理解，并学会利用“抽屉原理”解决简单的 实际问题。教学环节一：游戏导入模型准备师：同学们，这个东西大家认识吧！生：扑克师：今天，我们一起玩扑克。师从扑克牌中抽出两张王

4、牌，还剩桃杏梅方四个花色各 13 张，共 52 张。师：谁愿意玩魔术，任意抽 5 张，我来猜。生抽师猜：你抽的扑克中至少有 2 张是同花色的。生出示所抽扑克：生再抽师再猜：你抽的扑克中至少有 2 张是同花色的。生再抽，不管学生怎样抽，总能符合老师的结论。师：老师厉害吧！你能想办法让我猜不中吗？生思考操作生：不能，桃、杏、梅、方各抽一张，还有一张也是这四个花色的任意一个，所以总有重 复的。因为抽的是 5 张，要是只抽 4 张就好了师：你太棒了（激励）师：这里面有个深奥的数学问题“抽屉原理”，今天我们就来研究这一类问题。（板书课 题）这个环节，我游戏导入，提高学生学习的自主性，参与到学习中来，设置

5、情况，让学生在 “生活原型”中感知触摸到“数学模型”。环节二：教学例 1模型假设活动题目：把 4 枝铅笔放进 3 个文具盒中。师：前后四个同学一个小组，凑 4 枝笔，3 个文具盒，看看有多少种放法。生操作，师巡视，汇报活动结果。生：第一个文具盒放 1 只，第二个文具盒放 1 只，第三个文具盒放 2 只。师：（1、1、2）生：第一个文具盒放 1 只，第二个文具盒放 3 只，第 3 个不放。师：（1、3、0）生：第一个文具盒放 2 只，第二个也放 2 只，第三个不放。师：（2、2、3）生：第一个放 4 只，第二个第三个都不放。师：（4、0、0）还有不同的放法吗？生：第一个文具盒放 2 只，第二个文

6、具盒放 1 只，第 3 个文具盒也放 1 只。生出现异议师：前面有这一种放法吗？（2、1、1）其它和（1、1、2）一样，不管 2 只放在第几个文 具盒，都是有一个文具盒里有 2 只，一个文具盒 1 只，一个文具盒 1 只。师：谁能把这几种分法不重复，不遗漏再说一次。生：（4、0、0）（1、3、0）（2、2、0）（1、1、2）师：你是怎么记住的。生：4 可以分成 4 和 0、1 和 3、还有 2 和 2，要分成三个数，分别加个 0 就行。最后一种 把 4 分成 3 个数（1、1、2）。师：板书师：显而易见，每一种结果中的 3 个数至少有一个数不小于 2，把多个或 2 个放进同一个 笔盒中，最能满

7、足结论，不易满足的是平均分配，平均使每个铅笔盒中放的铅笔数最小化， 所以我们重点讨论最后一种结论。师：把 4 枝铅笔平均分配给 3 个文具盒。生：3 个文具盒一个一枝，则还多一枝。师：那多的一枝怎么办泥？生：随便放进哪个文具盒中都可以。师：对，这个多的一枝不管放进哪个笔盒，都会有 1+1=2，满足结论。师：你能用一个式子表示出 4 枝铅笔平均分进 3 个文具盒，每个放 1 枝，还多 1 枝吗？生：43=11师：你真棒！（出示做一做）师：7 只鸽子飞回 5 个鸽舍，至少有 2 只鸽子要飞进同一个鸽舍，为什么？生：75=12，每只鸽舍一只鸽子，多的 2 只放进一个鸽舍，就有 3 只了，满足结论，

8、即使多的 2 只，1 个鸽舍放 1 只，也会有后来的 1 只加放进的 1 只，也是 2 只，满足结论。 所以总有一个鸽舍至少放进 1+1=2 只鸽子。（师板书）师：所以抽屉原理也称为“鸽巢原理”，我们只要能找清，什么是“待分的东西”，什么 是“抽屉”，是地几放进几个抽屉里，问题就能很快解决了，开始老师玩的扑克牌也是一 样的，谁能解释？生：5 张牌放进 4 个花色，即 4 个抽屉，肯定有 2 个同色。54=11 1+1=2这个环节学生动手操作，放 4 枝笔进 3 个笔盒，完全符合学生认知特点和知识起点，较清 楚的感知到数学问题，把“待分的东西”放进“抽屉”，后面“枚举法”“反证法”“假 设法”都

9、很好的发展学生思维，学生逐步建立模型，只要待分物体数比“抽屉数”大，那 么一定有一个抽屉中至少放进 2 个物体。环节三：教学例 2模型求解我把“做一做”改编成例 2（接上）师：7 只鸽子飞进 5 个鸽舍至少有 2 只鸽子飞回同一个鸽舍，那 8 只鸽子飞进 5 个鸽舍呢？ 总有一个鸽舍至少有几只呢？9 只呢？10 只呢？生：85=13 所以也是至少有 2 只飞回同一鸽舍。生：（板书接上）75=12 1+1=2 只85=13 1+1=2 只95=14 1+1=2 只105=20 2 只115=21 2+1=3 只125=22 2+1=3 只135=23 2+1=3 只145=24 2+1=3 只1

10、55=3 3 只5 的余数只能是 1、2、3、4、0，所以归纳总结出：被除数除数=商余数（板书）商+1 就是“抽屉”里的至少数这一环节追问学生 8 只、9 只、10 只、11 只呢发展学生类推能力，加深运用已建 立的数学模型，mn 时，总会有个“抽屉”到少放 2 个。在发现商相同，余数不同的情况 下，至少飞进同一鸽舍的数相同。商不同，飞进同一鸽舍的最小数随之改变。学生通过研 究并发现其规律，把简单的抽屉原理模型一般化，把 kn+i 和物体放进 n 个抽屉，（kn+i） n=ki 时，必有 k+1 个物体至少在同一个抽屉里。我通过“有余数的除法”这一核心 思想，让学生借助直观理解，抽屉原理的数学

11、形式。使知识体系达到完整和统一，逐步理 解并掌握。环节四：巩固练习模型应用1、实验三小学六年级共有 370 名学生，其中六（1）班有 49 名学生。六年级里一定有两人 的生日是同一天，六（1）班中至少有 5 人是同一个月出生，这种说法对吗？为什么？2、张叔叔参加飞镖比赛，投了 5 镖，成绩是 41 环，张叔叔至少有 1 镖不低于 9 环，为什 么？学生自答，总结课堂收获。这一环节是联系实际问题与数学的桥梁，是提升数学学习质量的一种途径。让学生利 用抽象出的模型回归原题验证，解释应用，让生活中的实际问题化繁为简，更好的解释实 际，解决问题。二、数学建模教学中的几点想法我的教案设计结合学生的认知规

12、律和心理特点，初步设计“数学建模”课堂的基本操作 模式：模型准备（从生活情境中，抽象出一个比较清晰的数学“问题”）模型假设（针 对问题特点和建模目的作出合理的、简化的假设）模型求解（运用适当的数学工具，进 行数学抽象，得到一个数学结构）模型应用（回归原题验证，解释应用）在模型准备过程中一定要为学生提供一个比较熟悉的问题情景，让学生对背景材料感 兴趣，学生生活经验有限，文字叙述要让学生对实际原形有充分的了解，明确原型特征， 甚至可以让学生参与社会实践活动等，体验生活。这个环节还要注意找准学生的最近发展 区，呈现的问题要能引发学生的思考。“模型假设”时，教师要引导学生进行合理想象、 假设，调动学生

13、储备的数学知识，要鼓励学生积极开展发散性思维，因势利导启发学生往 “模型求解”发展。“模型求解”这一环节不仅仅是获得数学结论，更重要是渗透模型化 思想，培养思维能力，学生自主探索、尝试、发现、建构的过程中学会分析、比较、综合、猜想与验证、抽象、概括等思维方法。可多设建互动活动，共享集体资源，启迪个人智慧。 “模型运用”要让数学来源于生活，回归于生活，逐步培养学生做数学、学数学、创造数 学、应用数学的意识。当然，对学生“模型”意识的培养和“建模”方法的指导是多层次的，多角度的，要 根据具体内容和具体年级恰到好处的结合日常实例和常规教学对学生进行“模型”和“模 型意识”的渗透、点化，培养初步的建模能力，提高学生的综合素质。