《2018版高中数学北师大版选修1-1学案：第一章+2.3+充要条件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学北师大版选修1-1学案：第一章+2.3+充要条件（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.3 充要条件充要条件学习目标 1.理解充要条件的意义.2.会判断、证明充要条件.3.通过学习，弄清对条件的判断应该归结为对命题真假的判断知识点一 充要条件的概念思考 1 命题“若整数 a 是 6 的倍数，则整数 a 是 2 和 3 的倍数”中条件和结论有什么关系？它的逆命题成立吗？思考 2 若设 p：整数 a 是 6 的倍数，q：整数 a 是 2 和 3 的倍数，则 p 是 q 的什么条件？q 是 p 的什么条件？梳理 一般地，如果既有 pq，又有 qp，就记作_此时，我们说，p 是 q 的_，简称_知识点二 充要条件的判断1由原命题与逆命题的真假情况判断充分条件、必要条件和充要条件若原命
2、题为“若 p，则 q” ，则逆命题为“若 q，则 p” ，那么 p 与 q 有以下四种情形：原命题逆命题条件 p 与结论 q 的关系结论真假p 是 q 成立的充分不必要条件假真p 是 q 成立的必要不充分条件真真p 是 q 成立的充要条件假假p 是 q 成立的既不充分又不必要条件由上表可得充要条件的判断方法：原命题和逆命题均为真命题，p 才是 q 的充要条件2从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件若 AB，则 p 是 q 的充分条件，若 AB，则 p 是 q 的充分不必要条件若 BA，则 p 是 q 的必要条件，若 BA，则 p 是 q 的必要不充分条件若 AB，则 p，q 互为充要条件
3、若 AB 且 BA，则 p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件其中 p：Ax|p(x)成立，q：Bx|q(x)成立类型一 充要条件的判断例 1 下列各题中，p 是 q 的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件)(1)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；(2)p：a2b20，q：ab0；(3)p：x1 或 x2，q：x1；x1(4)p：sin sin ，q：.反思与感悟 充要条件的常用判断方法(1)命题判断法：设“若 p，则 q”为原命题，那么：原命题为真，逆命题为假时，p 是 q 的充分不必要条件；原命题为假，逆命题为真时，p 是 q 的必要不充
4、分条件；原命题与逆命题都为真时，p 是 q 的充要条件；原命题与逆命题都为假时，p 是 q 的既不充分又不必要条件(2)集合法：若 p 与 q 确定的集合分别是 A，B，则当且仅当 AB 时，p 是 q 的充要条件跟踪训练 1 (1)“x1”是“log (x2)0”的( )12A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分又不必要条件(2)设 x0，yR，则“xy”是“x|y|”的( )A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分又不必要条件类型二 充要条件的探求与证明命题角度 1 探求充要条件例 2 求关于 x 的一元二次不等式 ax2ax1a0 对于一切实数 x 都成
5、立的充要条件反思与感悟 探求一个命题的充要条件，可以利用定义法进行探求，即分别证明“条件结论”和“结论条件” ，也可以寻求结论的等价命题，还可以先寻求结论成立的必要条件，再证明它也是其充分条件跟踪训练 2 设 a、b、c 为ABC 的三边，求方程 x22axb20 与 x22cxb20 有公共根的充要条件命题角度 2 充要条件的证明例 3 求证：一元二次方程 ax2bxc0 有一正根和一负根的充要条件是 ac0，若 p 是 q 的一个充分不必要条件，求 m 的取值范围反思与感悟 首先应把 p 与 q 之间的关系转化为 p，q 确定的集合之间的包含关系，然后，构建满足条件的不等式(组)求解同时要
6、注意命题的等价性的应用跟踪训练 4 已知 p：xk，q：2 017”是“x22 016”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件2 “ab”是“a|b|”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分又不必要条件3已知实系数一元二次方程 ax2bxc0(a0)，下列结论中正确的是( )b24ac0 是这个方程有实根的充分条件；b24ac0 是这个方程有实根的必要条件；b24ac0 是这个方程有实根的充要条件；b24ac0 是这个方程有实根的充分条件A B C D4直线 xym0 与圆(x1)2(y1)22 相切的充要条件是_5已知 p：
7、3xm0，若 p 是 q 的一个充分不必要条件，求 m 的取值范围1充要条件的判断有三种方法：定义法、命题等价法、集合法2充要条件的证明与探求(1)充要条件的证明是分充分性和必要性两方面来证明的，在证明时要注意两种叙述方式的区别：p 是 q 的充要条件，则由 pq 证的是充分性，由 qp 证的是必要性；p 的充要条件是 q，则由 pq 证的是必要性，由 qp 证的是充分性(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件答案精析答案精析问题导学知识点一思考 1 只要满足条件，必有结论成立，它的逆命题成立思考 2 因为 pq 且 qp，
8、所以 p 是 q 的充分条件也是必要条件；同理，q 是 p 的充分条件，也是必要条件梳理 pq 充分必要条件 充要条件知识点二1pq，但 q/ p qp，但 p/ q pq，qp，即 pq p/ q，q/ p题型探究例 1 解 (1)四边形的对角线互相平分/ 四边形是矩形，四边形是矩形四边形的对角线互相平分，p 是 q 的必要不充分条件(2)a2b20ab0ab0，ab0D/a2b20，p 是 q 的充分不必要条件(3)当 x1 或 x2 成立时，可得 x1成立，反过来，当 x1成立时，可以x1x1推出 x1 或 x2，p 是 q 的充要条件(4)由 sin sin 不能推出 ，反过来由 也不
9、能推出 sin sin ，p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件则 p 是 q 的既不充分又不必要条件跟踪训练 1 (1)B 由x1x230，0x21x1，故“x1”是“1 2log2x1 2log2x0”成立的充分不必要条件故选 B.1 2log2x(2)C 当 x1，y2 时，xy，但 x|y|不成立；因为|y|y，所以若 x|y|，则 xy.所以 xy 是 x|y|的必要不充分条件例 2 解 充分性：当 00 对一切实数 x 都成立而当 a0 时，不等式 ax2ax1a0 化为 10.显然当 a0 时，不等式 ax2ax1a0 对一切实数 x 都成立必要性：因为 ax2ax1
10、a0 对一切实数 x 都成立，所以 a0 或Error!解得 0a0 对一切实数 x 都成立的充要条件45跟踪训练 2 解 先由题意求出条件：设 是两方程的公共根，显然 0，则 22ab20，22cb20，得 222(ac)0，(ac)代入，得(ac)22a(ac)b20，即 a2b2c2，以上求条件的过程就是必要性的证明过程再证明充分性：a2b2c2，方程 x22axb20，可化为 x22axa2c20，它的解为 x1(ac)，x2ca.同理方程 x22cxb20 可化为x22cxa2c20，它的解为 x3(ac)，x4ac.x1x3，方程 x22axb20 与 x22cxb20 有公共根综上所述，方程 x22axb20 与 x22cxb20 有公共根的充要条件是 a2b2c2.例 3 证明 充分性：ac0，方程一定有两个不等实根，设两实根为 x1，x2，则 x1x2 0，ca即 ac0 得，x3.q：Bx|x3pq 而 q/ p，A 是 B 的真子集， 1，m3m3，即 m 的取值范围是3，)跟踪训练 4 B q：x2，由题意知，x|xkx|x2，则 k2，k 的取值范围是(2，)当堂训练1A 2.B 3.D 4.m4 或 m05解 由 3xm0，得 x3，q：Bx|x3pq 而 q/ p，AB， 1，m3m3，即 m 的取值范围是3，)
