高等钢结构理论专题4

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1、1高等钢结构理论专题不同边界条件和不同荷载形式下板的稳定对于四边简支的均匀受压薄板，由于假设的挠曲线的特点，可以很方便的采用力的平 衡法求解出极限屈曲荷载，但是当板的边界条件不是四边简支时，由于假设的挠曲线表达 式使得从微分方程方程中明了的分离出屈曲条件很困难，求解很不方便，因此以下对其他 边界条件和荷载作用下的板的屈曲荷载采用能量法进行求解。 （一）用能量法求解板的屈曲荷载 能量法中，需要建立板在微弯状态时的总势能。总势能是板的应变能和外力势能的和。 对于如图所示的矩形薄板，作用有均匀的单位长度的压力 px，py和剪力 pxy。板的应变能 U 和外力势能 V 的表达式如下：dxdyyxwMy

2、wMxwMUabxyyx 0022222 221（式 1）dxdyyw xwpywpxwpVabxyyx 00222)()(21采用瑞利里兹法建立一个标量泛函 ，这里即是板的总势能，对于基本未知量挠曲 面函数，假定为符合板的几何边界条件的试探函数：（式 2）11),(mmmnyxfAw将此式代入泛函表达式中，积分后，根据势能驻值原理，建立一组VU 的线性方程组，它们有非零解的条件是此方程组的系数行列式为零，即得到板的屈0ijA曲方程。这里关键的步骤是假定合适的挠曲面函数。 （二）不同边界条件的单向均匀受压板的弹性屈曲荷载求解 1 三边简支薄板板的两个加载边是简支的，非加载边一边简支一边自由，p

3、y0，pxy0，假定板的挠 曲面函数为（式 3）axmfywsin此函数符合几何边界条件，当 x0 和 xa 时，0；当 y0 时，0；当 yb2时，0。代入求得总势能 ，并根据势能驻值原理有：（式 4）0)1 (322222222 abmpabm abDmffx又 f0，故求得当 m1 时存在 px的最小值，取钢材的 0.3，得到板的屈曲荷载：（式 5）2222 22)425. 0(bDkbDabpcr这里屈曲系数 k0.425b2/a2，当 ab 时，k0.425。可以得知，均匀受压的三边简 支板，在 x，y 向都是以一个半波发生凸曲的。2 两边简支、两边固结的薄板板的两个加载边是简支的，

4、非加载边两边固结，py0，pxy0，假定板的挠曲面函数 为（式 6）by axmfyw2sinsin这里函数符合几何边界条件，当 x0 和 xa 时，0；当 y0 和 yb 时，0，。建立迦辽金方程，并积分得到：0 yw（式 7）)316 38(22222222bma abm bDpxpx具有最小值的条件是，得到，代入（式 7）得到02dmdpx22 2 34bam ，与精确解只差 4，如果挠曲线函数由一项增加到两项， 22 283. 7bDpcr22 97. 6bDpcr则可得到更精确的解。 3加载边简支、非加载边变化的薄板 对单向均匀受压的矩形板，当加载边为简支，而非加载边取不同支承条件时

5、，屈曲系 数 k 的最小值有很大差别，见下表： 表 1 加载边简支时单向均匀受压板的屈曲系数序号12345非加载边 支承条件一边简支 一边自由一边固定 一边自由两边简支一边固定 一边简支两边固定屈曲系数 k0.4251.284.005.426.973可以看出，随着非加载边约束条件的加强，即由自由到固定，屈曲系数 k 由 0.425 增 加到 6.97，跨度最大的是由一边自由一边简支到两边简支，k 增长约 9 倍；而由两边简支 到两边固定，k 才增长不到 1.5 倍。 对于现实中的板件，一般被加劲肋所分割，例如工型梁的上下翼板，箱梁的上顶板的 悬出肢，非加载边有一边是自由的，受力模型类似于上表中

6、的情况 1 或 2；而加劲肋横纵 划分的板件，以及工型梁腹板和箱梁的腹板及底板，受力就介于上表的情况 35。 4嵌固系数 加劲肋或腹板顶底板对板件边界的支承条件，分析时假定为简支时将使结果偏于保守， k 值较小，而假定为固定时 k 值较大，使得结果便不安全。为了较精确的描述这种支承条 件，设计中引入嵌固系数。对于情况 1 和 2，非自由的非加载边一般是介于简支和固定之 间，这两种 k 值从 0.425 到 1.28 相差 3 倍，可以根据实际腹板和翼板的刚度对比，以及实 际受力后的各自的变形形态来确定腹板对翼板的约束作用，从而决定取用合理的嵌固系数， 使得取用的 k 值位于 0.4251.28

7、 之间；对于腹板而言，非加载边从两边简支到两边固定， k 值从 4 到 6.97 相差 1.75 倍，同样也是采用嵌固系数来考虑这个问题。 多数板件都是四边受约束，上面考虑的情况都是加载边均为简支的。下图比较了当板 的加载边是简支和是固定时，屈曲系数 k 的变化幅度。15 是指非加载边的约束分类，同 上表。可以看出，加载边由简支变为固定，k 将有所提高，但是当 a/b2 时，k 的提高幅 度很小，只有当 a/b2 时，才有较高的提高。实际的板件，加载边的约束也是介于简支和 固定之间的。这样可以得出同上篇类似的结论：对于单向受压的狭长的板，试图用横向加 劲肋来改变 a/b，是不能明显提高板的屈曲

8、系数 k 的，而把加劲肋间距取到小于 2b 又很不 经济。对于很宽薄板，采用纵向加劲肋以减小 b 是很有效的。（三）不同荷载形式作用下板的弹性屈曲荷载求解 实际的板件，除了可能承受单向的均匀压力荷载外，还可能承受非均匀压力荷载、四 边受剪力荷载或是以上几种荷载的组合。 1 单向非均匀受压简支板的弹性屈曲4如图示的四边简支矩形板，在均匀压力和弯距的共同作用下，其截面应力为线性分布， 最大压应力在上缘为 1，距上缘 y 处的应力为：（式 8）)1 (1by其中 0为应力梯度，。当 00 时即为均匀受压板，当 02 时121)(为纯弯作用下的板的应力。用里兹法求解板的屈曲荷载时，对于四边简支板，取用

9、符合边 界条件的挠曲面函数为二重三角级数，这是根据问题求解需要以及前人探索得到的：（式 9）byn axmAwmnmnsinsin11作用于中面上缘的单位长度荷载为，板的屈曲荷载以此为准。为了得到近视tpX11解，Timoshenko S.P.在计算板的屈曲荷载时只取了（式 9）中的前三项：（式 10）by axAby axAby axAw3sinsin2sinsinsinsin131211上式中 m1，因为此四边简支板屈曲时在 x 向只形成一个半波。将（式 10）代入总势能计算式，再由势能驻值原理，求解即可得到表达式，其最小值即为所求的屈曲荷1Xp载。对于 02 的纯弯板，屈曲荷载为：（式

10、11）22bDkpcr其中 （式 12） 81/1)91 (625/9)1 (32)91)(41)(1 (222222222 k这里我们引入 a/b，当 2/3 时 x 向半波数 m1，即板在 x 向只形成一个半波， 半波长即为 a，此时得到最小值 k23.9；当 2/3 时 x 向半波数 m 依次增大，半波长在 2b/3 附近振荡，当 am*2b/3 时 k 能取到最小值 23.9。下图给出了纯弯板的屈曲系数 k， 可见 a/b 趋于无穷大时，k 趋向于最小值 23.9。5对于 a/b2/3 的板件，受非均匀压力、应力梯度为 0的四边简支板弹性屈曲系数 k 见下表，也可以由下面的近似公式确定

11、：（式 13）42203 0k表 2 非均匀受压简支板的弹性屈曲系数 k000.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0精确解4.0004.4434.9925.6896.5957.8129.50311.6715.1819.5223.92近似解4.0004.4164.9285.6326.6248.0009.85612.2915.3919.2624.00表中可以得知，板受纯弯时的 k 是受均匀压力时的 6 倍，因此板在纯压状态下比弯压 状态更为危险。 2 匀受剪简支板的弹性屈曲如图所示的均匀受剪的四边简支板，在其对角线方向存在较大的主压应力，容易发生 屈曲失稳。用能量法求解剪切屈曲

12、荷载时，板的挠曲面函数可用二重三角级数来表示。 通过对矩形板作精确的理论分析，可得：（式22bDkpscrxy14） 式中 ks为剪切屈曲系数，对于四边简支板，当 ab 时 2)/(0 . 434. 5abks当 ab 时 2)/(34. 50 . 4abks6对于四边固定的受剪板，剪切屈曲系数当 ab 时 2)/(6 . 598. 8abks当 ab 时 2)/(98. 86 . 5abks下图给出了均匀受剪矩形板的屈曲系数。可以看出，四边简支的 k 最小为 5.34，四边固定的 k 最小为 8.98，比四边简支的受压 板的 k4 高。同时对于 a/b1 的受剪板件，可以在板的两侧设置横向加

13、劲肋以缩小板 的幅面尺寸，从而提高板的剪切屈曲系数。 3 不同荷载作用下板的弹性屈曲比较 对于同样四边简支的矩形板，所受荷载不同，其屈曲失稳的形态有相似的地方。在单 向受力的情况下，非加载边都只有一个半波发生，而加载边的半波数则基本上随着 a/b 的 增大而增加。同时屈曲系数 k 当 a/b 趋于无穷大时趋于一个最小值，下表进行了比较： 表 3 四边简支板当 ab 时的屈曲系数受力状态均匀受压纯弯均匀受剪屈曲系数 k4.00023.9225.34可见受压板的屈曲系数较小。对于承受压力和弯距的板，纵向加劲肋比横向加劲肋有 效，对抗剪的板，沿着主压应力方向设置加劲肋最有效，但通常还是设置横向加劲肋来减 小板幅，提高屈曲系数。（四）板的宽厚比设计 根据板的屈曲失稳极限荷载可以推出设计规范中关于板的宽厚比规定。屈曲应力的表 达通式为：（式 15）222)/()1 (12/tbEktpcrcr 有上式可知，屈曲应力与板的宽厚比的平方成反比，在设计中一般要求板的屈曲荷载 要大于或等于构件的屈曲荷载，保证局部板的失稳后于构件整体失稳发生，即要求：，表达式可以变换为：yfcr（式 16）yfEktb)1 (12/22 这里就得到宽厚比的要求，b/t 与 k 和 fy有关，k 又由板的边界条件和所承受的荷载形7式决定，fy为钢的屈服强度。以（式 2）为出发点，可以解释规范中的各类规定。