信号与系统复习要点2010.2(1)

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1、信号与系统复习 第一章 信号与系统 1、信号的分类 连续信号和离散信号 周期信号和非周期信号 连续周期信号连续周期信号 f(t)满足满足f(t) = f(t + mT)， 离散周期信号离散周期信号 f(k)满足满足f(k) = f(k + mN)，m = 0,1,2, 两个周期信号 x(t)，y(t)的周期分别为 T1和 T2，若其周期之比 T1/T2为有理数，则其和信 号 x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为 T1和 T2的最小公倍数。 能量信号和功率信号 因果信号和反因果信号 2、信号的基本运算（+ - ） 2.1 信号的（+ - ） 2.2 信号的时间变换运算 （反转、平移和尺度变

2、换） 3、奇异信号 3.1 单位冲激函数的性质f(t) (t) = f(0) (t) ， f(t) (t a) = f(a) (t a) 例：3.2 序列序列(k)和和(k)f(k)(k) = f(0)(k) f(k)(k k0) = f(k0)(k k0) 4、系统的分类与性质 4.1 连续系统和离散系统 4.2 动态系统与即时系统动态系统与即时系统 4.3 线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统 线性性质线性性质 T af () = a T f ()(齐次性齐次性) T f1()+ f2() = T f1()+T f2() （可加性可加性） 当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统：

3、当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统：y () = yf() + yx() = T f () , 0+ T 0，x(0) (可分解性可分解性)Ta f () , 0 = a T f () , 0 Tf1(t) + f2(t) , 0 = T f1 () , 0 + T f2 () , 0(零状态线性零状态线性)T0,ax1(0) +bx2(0) = aT0,x1(0) +bT0,x2(0)(零输入线性零输入线性)0(d)()(ftttf)(d)()(aftattf?d)()4sin(91ttt)0( d)()( fttft)0() 1(d)()()()(nnnfttft4)2(2)2(

4、ddd)( )2(0022tttttttt)(1 |1)()()(taaatn nn)(|1)(taat)(|1)(0 0attatat)0()()(fkkfk4.4 时不变系统与时变系统时不变系统与时变系统 T0，f(t - - td) = yf(t - - td)(时不变性质时不变性质) 直观判断方法：直观判断方法：若若 f ()前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。 LTI 连续系统的微分特性和积分特性连续系统的微分特性和积分特性 微分特性：微分特性： 若若 f (t) yf(t) ， 则则 f (t) y f (t) 积

5、分特性：积分特性： 若若 f (t) yf(t) ， 则则 4.5 因果系统与非因果系统因果系统与非因果系统 5、系统的框图描述、系统的框图描述 第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析 1、LTI 连续系统的响应连续系统的响应 1.1 微分方程的经典解微分方程的经典解 y(t)(完全解完全解) = yh(t)(齐次解齐次解) + yp(t)(特解特解） 描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = f(t)求求（1）当当 f(t) = 2e- -t，t0；y(0)=2，y(0)= - -1 时的全解时的全解；（2）当当 f(t) = e

6、- -2t，t0；y(0)= 1，y(0)=0 时的全解时的全解2、冲激响应 系统在单位冲激信号作用下的零状态响应，求解方法 系数平衡法系数平衡法 系统方程两端对应系数相等系统方程两端对应系数相等由单位阶跃响应求单位冲激响应，即由单位阶跃响应求单位冲激响应，即 ( )( )dttdt例例 y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t) 3、阶跃响应 系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应。 4、卷积积分4.1 定义 1212( )( )( )()f tf tff t4.2 任意任意信号作用下的零状态响应信号作用下的零状态响应 4.3 卷积积分的求法 按照定义图解法 4.4 卷积积分的性质 交换律结

7、合律分配率 积分性质 微分性质 任意时间函数与冲激函数的卷积f(t)*(t)=(t)*f(t) = f(t) ；f(t)*(t) = f(t) ；f(t)*(t) 卷积的时移性质 f1(t t1)* f2(t t2) = f1(t t1 t2)* f2(t) = f1(t)* f2(t t1 t2) = f(t t1 t2) ttxxyxxfd)(d)(fnnnnnnttftftfttftftftd)(d*)()(*d)(d)(*)(dd2 121 21d)(*)()(*d)(d)(*)(212121tttftftffff第三章第三章 离散系统的时域分析离散系统的时域分析 1、LTI 离散系统

8、的响应离散系统的响应 1.1 差分与差分方程差分与差分方程 1.2 差分方程的经典解（和微分方程相类似）差分方程的经典解（和微分方程相类似）1.2.1y(k) = yh(k) + yp(k) 当特征根当特征根为为单根单根时，齐次解时，齐次解 yn(k)形式为：形式为： Ck当特征根当特征根为为 r 重根重根时，齐次解时，齐次解 yn(k)形式为：形式为： (Cr-1kr-1+ Cr-2kr-2+ C1k+C0)k 当特征根当特征根为一对共轭复根为一对共轭复根 时，齐次解时，齐次解 yn(k)形式为：形式为：1.2.2 特解特解 yp(k): 特解的形式与激励的形式雷同特解的形式与激励的形式雷同

9、(r1） 。 所有特征根均不等于所有特征根均不等于 1 时时; yp(k)=Pmkm+P1k+P0有有 r 重等于重等于 1 的特征根时的特征根时; yp(k)=krPmkm+P1k+P0 （2） 激励激励 f(k)=ak当当 a 不等于特征根时不等于特征根时; yp(k)=Pak当当 a 是是 r 重特征根时重特征根时;yp(k)=（Prkr+Pr-1kr-1+P1k+P0)ak（3）激励）激励 f(k)=cos(k)或或 sin(k) 且且所有特征根均不等于所有特征根均不等于 ej ； yp(k)=Pcos(k)+Qsin(k) 若描述某系统的差分方程为若描述某系统的差分方程为 y(k)+

10、 4y(k 1) + 4y(k 2) = f(k) 已知初始条件已知初始条件 y(0)=0，y(1)= 1；激励激励 f(k)=2k，k0。求方程的全解。求方程的全解。 1.3 零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应 2、单位序列响应和阶跃响应、单位序列响应和阶跃响应 2.1 单位序列响应单位序列响应 2.1.1 定义定义 2.1.2 求法求法 递推求初始值，求齐次差分方程的解递推求初始值，求齐次差分方程的解 例例 已知某系统的差分方程为已知某系统的差分方程为 y(k) -y(k-1)-2y(k-2)= f(k) 求单位序列响应求单位序列响应 h(k)。 例例 若方程为：若方程为：y(k

11、) y(k 1) 2y(k 2)=f(k) f(k 2)1,2je cos()sin()kCkDk求单位序列响应求单位序列响应 h(k) 2.2 阶跃响应阶跃响应 2.2.1 定义定义 2.2.2 求法求法3 常用序列常用序列01( )( )(1)( )()( )(1) ( )1( )(1) ( )21( )(1)1ikikikk iikkkkkiikkiik kkaaiaa4 离散信号的卷积和 4.1 任意序列的分解任意序列的分解 f(k) 4.2 列作用下的零状态响应列作用下的零状态响应4.3 定义定义4.4 卷积和的求法卷积和的求法4.4.1 图解法图解法卷积过程可分解为卷积过程可分解为

12、四步四步： （1）换元换元： k 换为换为 i得得 f1(i)， f2(i) （2）反转平移反转平移：由：由 f2(i)反转反转 f2(i)右移右移 k f2(k i) （3）乘积乘积： f1(i) f2(k i) （4）求和求和： i 从从 到到对乘积项求和。对乘积项求和。 注意：注意：k 为参变量。为参变量。 4.1.2 不进位乘法求卷积不进位乘法求卷积 例例1(k) =0， 2 ， 1 ， 5，0k=1f2(k) =0， 3 ， 4，0，6，0k=0 4.2 卷积和的性质卷积和的性质 4.2.1 乘法的三律：乘法的三律：(1) 交换律交换律, (2) 分配律分配律,(3) 结合律结合律.

13、0)()()(jkjjkhihkg，h(k) = g(k) iikif)()(ifikhifky)()()(iikfifkf)()()(214.2.2f（k)*(k) = f(k) ， f(k)*(k k0) = f(k k0) 4.2.3. f(k)*(k) = kiif)(4.2.4f1(k k1)* f2(k k2) = f1(k k1 k2)* f2(k) 第四章第四章 连续系统的频域分析连续系统的频域分析 1 傅里叶级数傅里叶级数 1.1 傅里叶级数的三角形式傅里叶级数的三角形式1.2 波形的对称特性和谐波特性波形的对称特性和谐波特性 A .f(t)为偶函数为偶函数对称纵坐标对称纵坐

14、标 展开为余弦级数展开为余弦级数 B .f(t)为奇函数为奇函数对称于原点对称于原点 展开为正弦级数展开为正弦级数 C f(t)为奇谐函数为奇谐函数f(t) = f(tT/2) 傅里叶级数中只含奇次谐波分量傅里叶级数中只含奇次谐波分量 D f(t)为偶谐函数为偶谐函数f(t) = f(tT/2) 只有直流只有直流(常数常数)和偶次谐波。和偶次谐波。 1.3 傅里叶级数的指数形式傅里叶级数的指数形式2 周期信号频谱的特点周期信号频谱的特点(1)周期信号的频谱具有谐波周期信号的频谱具有谐波(离散离散)性。谱线位置是基频性。谱线位置是基频 的整数倍；的整数倍； (2)一般具有收敛性。总趋势减小。一般具有收敛性。总趋势减小。例：周期信号例：周期信号 f(t) =试求该周期信号的基波周期试求该周期信号的基波周期 T，基波角频率，基波角频率，画出它的单边频谱图。，画出它的单边频谱图。 3 傅里叶变换傅里叶变换 3.1 定义定义 3.2 常用函数的傅里叶变换常用函数的傅里叶变换（1）单边指数函数）单边指数