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1、专题 2 动点轨迹成曲线，坐标关系是关键【题型综述题型综述】1.动点轨迹问题解题策略一般有以下几种：（1）直译法：一般步骤为：建系,建立适当的坐标系；设点,设轨迹上的任一点 P(x，y)；列式,列出动点 P 所满足的关系式；代换,依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为 x，y 的方程式，并化简；证明,证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.来源:Zxxk.Com(2)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(3)代入法(相关点法)：动点 P(x，y)依赖于另一动点 Q(x0，y0)的变化而变化，并且 Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则
2、可先用 x，y 的代数式表示 x0，y0，再将 x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程；(4)参数法：当动点 P(x，y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将 x，y 均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程2.解轨迹问题注意：（1）求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等.（2）要验证曲线上的点是否都满足方程，以方程解为坐标点是否都在曲线上，补上在曲线上而不满足方程解得点，去掉满足方程的解而不再曲线上的点.【典例指引典例指引】类型一类型一 代代点法求轨迹方程点法求轨迹方程例 1 【2017
3、 课标课标 II，理，理】设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C：上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足2 212xy为 N，点 P 满足。2NPNMuuu ruuuu r(1) 求点 P 的轨迹方程；(2)设点 Q 在直线上，且。证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F。 3x 1OP PQuuu r uuu r【解析】类型二类型二 定义法求轨迹方程定义法求轨迹方程例 2.【2016 高考新课标 1 卷】设圆的圆心为 A,直线 l 过点 B（1,0）且与 x 轴不重合,222150xyxl 交圆 A 于 C,D 两点,过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E.（I）
4、证明为定值,并写出点 E 的轨迹方程；EAEB（II）设点 E 的轨迹为曲线 C1,直线 l 交 C1于 M,N 两点,过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q 两点,求四边形 MPNQ 面积的取值范围.【解析】类型三类型三 参数法求轨迹方程参数法求轨迹方程例 320162016 高考新课标高考新课标文数文数 已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交C22yxFx12, l l于两点，交的准线于两点C,A BCPQ，（I）若在线段上，是的中点，证明；FABRPQ/ /ARFQ（II）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.PQFABFAB【解析】类型四类型四 直译法求轨迹方程
5、直译法求轨迹方程 例 4. 已知动圆过点，且在轴上截得的弦长为C1,0Qy2.（）求圆心的轨迹方程；来源:学+科+网 Z+X+X+KC（）过点的直线 交轨迹于两点，证明： 为定值，并求1,0QlC1122,A x yB xy2211QAQB出这个定值.【解析】点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、 “定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.【扩展链接扩展链接】1.若一个圆内含于另一个圆，则与大圆
6、内切与小圆外切的圆的圆心的轨迹为一椭圆，两圆的圆心为1C2C焦点，其长轴长为两圆半径之和；在一个圆内有一点，则过该点且与已知圆相切的圆的圆心的点的轨迹为一椭圆，且其长轴长为已知圆的半径。过两点的两条直线的斜率之积为一负常数的点的轨迹为一椭圆（两点除外）。两定点为椭圆的顶点，m两定点间的距离为长轴长。（时，焦点在 x 轴上；当 时，焦点在 y 轴上）来源:学+科+网10m 1m 将圆的横坐标（或纵坐标）拉伸或缩短为原来的倍，该圆变成椭圆；m连接圆内一定点与圆上任一点的线段的垂直平分线与圆上该点到圆心的连线的交点的轨迹为一椭圆。方椭圆的长半轴与圆的半径长相等；两个同心圆较大圆上任一点与圆心的连线与
7、小圆交于一点，从大圆上该点作 x 轴的垂线， 则过小圆交点向该垂线作垂线，其垂足的点的轨迹为椭圆。【同步训练同步训练】1在平面直角坐标系中，设点 (1，0)，直线 : ，点在直线 上移动， 是线段与xoyFl1x PlRPF轴的交点, 异于点R的点Q满足： ， .yRQFPPQl（1）求动点的轨迹的方程；Q（2） 记的轨迹的方程为，过点作两条互相垂直的曲线的弦. ，设. 的中点分QEFEABCDABCD别为问直线是否经过某个定点？如果是，求出该定点，如果不是，说明理由MN，MN【思路引导】 （1）由已知条件知，点 R 是线段 FP 的中点，RQ 是线段 FP 的垂直平分线，点 Q 的轨迹 E
8、是以 F 为焦点，l 为准线的抛物线，写出抛物线标准方程（2）设出直线 AB 的方程，把 A、B 坐标代入抛物线方程，再利用中点公式求出点 M 的坐标，同理可得 N的坐标，求出直线 MN 的斜率，得到直线 MN 的方程并化简，可看出直线 MN 过定点【详细解析】2.已知点 为圆上一动点，轴于点 ，若动点 满足（其中 为非零常数）（1）求动点 的轨迹方程；（2）若 是一个中心在原点，顶点在坐标轴上且面积为 8 的正方形，当时，得到动点 的轨迹为曲线 ，过点的直线 与曲线 相交于两点，当线段的中点落在正方形 内（包括边界）时，求直线 斜率的取值范围.【思路引导】(1)由相关点法得到 Q 点轨迹；（
9、2）求出线段中点坐标，点 在正方形 内（包括边界）的条件是即，解出来即可.【详细解析】3.在直角坐标系中， 已知定圆，动圆过点且与圆相切，记xOy22:136MxyN1,0FM动圆圆心的轨迹为曲线.NC （1）求曲线的方程；C（2）设是曲线上两点，点关于轴的对称点为 (异于点)，若直线分别交,A PCAxBP,AP BP轴于点，证明: 为定值.x,S TOS OT【思路引导】（1）由两圆关系得等量关系，再根据椭圆定义确定轨迹形状及6NMNFFM标准方程， （2）解析几何中定值问题，往往通过计算给予证明，先设坐标，列直线方程，求出与轴交点坐标，再利用点在椭圆上这一条件进行代入消元，化简计算为定值
10、 .xOS OT【详细解析】4.已知圆与直线相切，点 为圆上一动点，轴于点 ，且动点满足，设动点的轨迹为曲线 .（1）求动点的轨迹曲线 的方程；（2）若直线 与曲线 相交于不同的两点 、 且满足以为直径的圆过坐标原点 ，求线段长度的取值范围.【思路引导】 （1）由圆与直线相切，可得.然后设动点，即可求解.（2）设出直线 的，分斜率存在和不存在两种情形，以为直径的圆过坐标原点 可转化为 .再把直线方程和椭圆方程联立【详细解析】5.已知椭圆，过点作直线 交椭圆于两点， 是坐标原点2 214xy1,0M l,A BO（1）求中点的轨迹方程；ABP（2）求的面积的最大值，并求此时直线 的方程OABl
11、【思路引导】 （1）利用点差法，结合中点坐标公式，即可求中点的轨迹方程；ABP（2）令代入，利用韦达定理，表示出面积，利用函数的单调性，即可求:1l xhy2244xyOAB面积的最大值，及此时直线 的方程OABl 【详细解析】6.已知圆与轴交于两点，点为圆上异于的任意一点，圆在点22:4O xyx,A BMO,A BO处的切线与圆在点处的切线分别交于，直线和交于点，设点的轨迹MO,A B,C DADBCPP为曲线.E（1）求曲线的方程；E （2）曲线与轴正半轴交点为，则曲线是否存在直角顶点为的内接等腰直角三角形EyHEH ，若存在，求出所有满足条件的的两条直角边所在直线的方程，若不存在，Rt
12、 GHKRt GHK 请说明理由. 【思路引导】 （1）设，则处的切线为，切线 CD 与 AC,BD 组方程组可求得 C,D点坐标，再直线 AD,BC 组方程组，解点交点 P 轨迹方程。注意消参，需要用到点 M 在圆上。同时注意曲线方程变量范围。 （2）设，则， 与椭圆组方程组，可求得 GH,同理:1GHlykx1:1KHlyxk GHl求得，再利用进行分类讨论。HKGHHK 【详细解析】7.在平面直角坐标系中，点，圆，以动点为圆心的圆经过xOy13,0F 22 2:2 3130FxyxP点，且圆与圆内切.1FP2F（）求动点的轨迹的方程；PE（）若直线 过点，且与曲线交于两点，则在轴上是否存
13、在一点，使得l1,0E,A Bx,00D tt 轴平分？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.xADBt【思路引导】 （1）根据两圆内切得，再根据椭圆定义得动点的轨迹的方程；（2）124PFPFPE轴平分，就是直线的斜率相反，设直线，根据斜率坐标公式得xADB,DA DB:1l xny，将直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理代入化简可得1212210ny ytyy，即得.40n t 4t 【详细解析】8.已知点、，动点满足，设动点的轨迹为曲线，将曲线上所有点的1,0A4,0BP2PBPAPCC纵坐标变为原来的一半，横坐标不变，得到曲线.E（1）求曲线的方程；E（2）是曲线上两点，且，
14、 为坐标原点，求面积的最大值.,A BE2AB OAOB【思路引导】 （1）由直接法,即利用坐标表示条件，并化简可得，再根据伸缩变换2PBPA224xy得曲线 E 的方程为.（2）设直线方程为： ，由点到直线距离公式可得三角形高2 214xyABykxt，由三角形面积公式可得，利用直线方程与椭圆方程联立方程,结合韦 21td k 21221tSd k 达定理及弦长公式可得，代入消元可得一元二次函数,利用二次函数性质求最值. 2 2 23 4141ktkS【详细解析】9.已知点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积是，,A B2,0 ,2,0,AM BMM1 2点的轨迹为曲线.ME（）求的
15、方程；E（）过点作直线 交曲线于两点，交轴于点，若， ，证1,0FlE,P QyR1RPPFuu u ruuu r2RQQFuuu ruuu r明： 为定值.12【思路引导】 （1）设出动点坐标为，把斜率之积用坐标表示出来化简可得的方程（注意有些M, x yE点不合要求） ；（2）解析几何中的定值问题，设点的坐标分别为.由，,P Q R11220,0,P x yQ xyRy1RPPFuu u ruuu r可求得，并代入曲线的方程，得的方程，同理得的方程，这样发现是方程11,x yE1212, 的两个实数根，由韦达定理可得22 04220xxy12【详细解析】10.已知为坐标原点， ， 是椭圆上的点，且，设动O11,M x y22,N xy22 142xy121220x xy y点满足.P2OPOMONuuu ruuuu ruuu r（1）求动点的轨迹方程；PC（2）若直线与曲线相交于， 两个不同点，求面积的最大值.:0l yxm mCABOAB【思路引导】(1)利用向量关系可得动点的轨迹的方程为.2OPOMONuuu ruuuu ruuu r PC22 12010xy(2)联立直线与椭圆的方程可得面积函数 ，注ABCS22 223022305 2332mm
