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1、1本设计刊登在小学生数学报课程教学与研究2009 年第 6 期 “方中圆”活动课教学设计江苏省兴化市沈伦中心小学江苏省兴化市沈伦中心小学 王丽芳适用年级：五年级(学完圆的面积后使用)、六年级（学完圆柱和圆锥后使用）教学内容：方中圆 教析分析：“方中圆”即正方形中的内切圆，这一图形在苏教版数学五下教科书中出现了三处，一处是 107 页第 7 题，一处是 110 页第 8 题，一处是117 页第 23 题，这三处或是求圆的面积，或是比较边角料的大小，但对其中正方形与圆的面积关系，这一巨大的思维训练素材却遭到冷落，我们觉得开发用好这一资源，不仅是可能的，而且是必要的，因为这部分素材源于教材，又有别于
2、教材，对学生来说，是个熟悉的“陌生人” ， “熟悉”让他们有探求的知识和能力的储备， “陌生”让他们觉得新异而又富有挑战性，基于此，这一活动方案对学生来讲，就不是“海市蜃楼” ，而是数学园地中学生渴望采撷的一朵奇葩。设计思路：由正方形和圆这两个图形组成“方中圆” ，引入探求的问题“方中圆”中，正方形与圆面积的大小关系是怎样的？通过对“方中圆”的切割，诱发学生的猜想，圆的面积大约是它所在正方形面积的。这一猜想需要在验43证中完善，引导学生举例验算的过程，是他们发现数学奥妙的过程，也是他们计算能力，类比能力，合作意识提升的过程；当学生探求问题结果后，引导他们联想，由“方中圆” ，想到“圆中方” ，
3、想到“方中有圆，圆中有方” ，想到了“方中 n2个圆”由平面图形想到立体图形中的“方中圆”进一步扩展他们的课后研究的领域，让学生适时回味探求“方中圆”的过程，强化了科学研究的基本方法，为学生课后探究指明了方向。教学目标：1.让学生在“方中圆”的问题情境中，发现正方形和圆面积之间的关系，培养学生提出问题的能力，激发学生自主探究的欲望。2.让学生在探求问题的过程中，经历科学发现的过程，初步学会基本的科学研究方法，获得探究的基本经验，体验数学之间的密切联系。23.让学生在数学活动与讨论交流中，培养学生联想类推和独立探究的能力，提高学生解决问题的能力，增强合作的意识，树立学好数学的自信心，提高数学素养
4、。教学过程：一、引入问题一、引入问题师：生活中因为有了棱角分明的“正方形”而个性鲜明，因为有了完整和谐的“圆”而婀娜多姿，当正方形和圆的巧妙组合后，刚中有柔更加令人神往：（播放图片）师：同学们，当正方形和圆组合成“方中圆”时， 它里面隐藏了很多数学奥妙呢！你能从中发现哪些值得研究的数学问题吗？多媒体显示：生 1：知道正方形的面积怎样求出圆的面积？生 2：知道圆的面积怎样求出正方形的面积？生 3：正方形与圆的面积有什么关系？师：今天这节课，我就和同学们一同探求“方中圆”里，正方形与圆面积的大小关系，相信同学们一定会有很多美妙的发现！【意图：从学生熟悉的图形中，引出问题情境，新异而富有挑战性的问题
5、意图：从学生熟悉的图形中，引出问题情境，新异而富有挑战性的问题由学生提出，有利于激发学生探究的欲望。由学生提出，有利于激发学生探究的欲望。 】二、提出猜想二、提出猜想多媒体逐步显示：师：观察这一图形，你能猜出图中圆的面积大约是正方形面积的几分之几3吗？提出问题后，相机出示后两步，引导学生比较、猜想。生：圆的面积大约是它所在正方形面积的。43师：猜得对不对呢？究竟是多少？ 【意图：通过图形，诱发猜想，一方面有利于学生直觉思维的形成，另一意图：通过图形，诱发猜想，一方面有利于学生直觉思维的形成，另一方面又让方面又让“验证猜想验证猜想”成了学生迫切的需要。成了学生迫切的需要。 】三、验证猜想三、验证
6、猜想1、讨论验证思路师：怎样来验证这个猜想呢？学生思考片刻后，讨论再交流。生 1：我们可以根据正方形的边长，分别求出正方形和圆的面积来验证。生 2：我们也可以由正方形的面积推算出圆的面积来验证。生 3：我们还可能由圆的面积推算出正方形的面积来验证。2.举例验证（1）出示例 1：已知正方形的面积为 100 平方厘米，你能求出正方形中最大的圆的面积吗？这个圆的面积是正方形的几分之几？（圆周率直接用表示）学生独立计算，交流得出：正方形边长也就是圆的直径是 10 厘米，圆的面积是25平方厘米，圆的面积是正方形的面积的。4【意图：数无形则少直观，形无数则难入微。初次验证，不仅让学生体验意图：数无形则少直
7、观，形无数则难入微。初次验证，不仅让学生体验成功的快乐，而且也让学生领略了数形结合的美妙。成功的快乐，而且也让学生领略了数形结合的美妙。 】师：哇！ ！确实大约！你们的计算不仅验证了猜想，而且使猜想更4 43加完善。下面我讲个故事给大家听一听。一只公鸡被一位买主买回了家，第一天，主人喂了公鸡一把米；第二天，主人又喂了公鸡一把米；第三天，主人照样喂了公鸡一把米。连续 10 天，主人每天喂给公鸡一把米，公鸡有了 10 天的经验，它就得出结论：主人每天都喂它一把米，但是，就在它得出结论不久，主人家来了客人，公鸡被杀了招待客人。4师：同学们，听了公鸡推理法这个故事，你们有什么想法吗？生：单凭一个例子验
8、证猜想是正确的，还为时过早，我们还需再举出其他例子进行验证。【意图：意图：“公鸡推理法公鸡推理法”不仅让学生轻松一刻，而且让学生有所启迪：为不仅让学生轻松一刻，而且让学生有所启迪：为防止以偏概全，对猜想需要进一步举例验证。防止以偏概全，对猜想需要进一步举例验证。 】3.举例验证（2）出示例 2：把一个面积为 25 平方厘米的正方形纸片剪成一个最大的圆，剪出的圆的面积是多少？剪出的圆的面积是原正方形的几分之几？师：别急着求正方形的边长，大家能根据例 1 的答案推算出这个圆的面积吗？生 1：根据圆的面积是正方形面积的，这个圆的面积是425=（平方厘米） 。4 425师：“”仅仅是我们的猜想，不用这
9、个猜想，你能根据例 1 的答案推出4这个圆的面积吗？生：正方形的面积是 100 平方厘米，圆的面积是 25平方厘米；正方形的面积缩小 4 倍为 25 平方厘米，那么圆的面积也应该缩小 4 倍，是平方厘米，425可见圆的面积是正方形的面积的。4师：你的推想很独特，让我们再算一算，看看结果是不是这样。学生计算（略）【意图：让学生先类推再计算，学生的类比思维能力得到了培养，计算与意图：让学生先类推再计算，学生的类比思维能力得到了培养，计算与类推的结果相吻合，学生的快乐心情不言而喻。类推的结果相吻合，学生的快乐心情不言而喻。 】师：这一例子又进一步验证、完善了我们的猜想。让我们再看看下面这个例子。4.
10、举例验证（3）出示例 3：把一个面积为 50 平方厘米的正方形纸片剪成一个最大的圆，剪出的圆的面积是多少？剪出的圆的面积是原正方形的几分之几？学生分组讨论解决。教师巡视，相机引导，然后组织交流。5师：这道题与上两道题有什么不同？圆的半径不能求出，同学们又是怎样解答这道题的呢？生 1：与例 1 比较，圆的面积是 252平方厘米 。225生 2：与例 2 比较，圆的面积是2平方厘米 。425 225生 3：我们求不出半径，但可以根据 2r2r50，求出半径的平方504，圆的面积就平方厘米225 225师：你们不求出圆的半径也能求出圆的面积，真是太了不起啦！【意图：有了上次类比和计算的经验，学生通过
11、扩倍和缩倍类推出圆的面意图：有了上次类比和计算的经验，学生通过扩倍和缩倍类推出圆的面积并不难，问题是计算时求不出圆的半径怎么办？另辟蹊径，柳暗花明，学生积并不难，问题是计算时求不出圆的半径怎么办？另辟蹊径，柳暗花明，学生感受了原来数学竟是如此美妙！感受了原来数学竟是如此美妙！】5.举例验证（4）师：三个例子让我们相信猜想是正确的，但这样的例子不胜枚举，要使人们完全确信正方形中最大的圆的面积是正方形面积的，我们还可以请字母来4帮忙。出示例 4：图中圆的面积是正方形面积的几分之几？学生计算（略）【意图：由特殊到一般，字母的功劳无与伦比，由于字母的作用，不完全意图：由特殊到一般，字母的功劳无与伦比，
12、由于字母的作用，不完全归纳变成了完全归纳，学生对自己发现的归纳变成了完全归纳，学生对自己发现的 “正方形中最大的圆的面积是正方形正方形中最大的圆的面积是正方形面积的面积的” ，可谓深信不疑。在这过程中，数形结合的思想、类比思想，代数，可谓深信不疑。在这过程中，数形结合的思想、类比思想，代数4思想有机渗透其中。思想有机渗透其中。 】四、得出结论四、得出结论学生交流，得出：正方形中最大的圆的面积确实是正方形面积的。4师：祝贺你们，你们的猜想完全正确。五、联想延伸五、联想延伸6师：在猜想，验证，完善，得出结论的过程中，同学们一定有很多想法，在探求方与圆的面积关系中还想到了哪些问题？学生自由表达后，相
13、机出示图形。多媒体显示：师：看到这一图形，你们想到了什么问题？生：在“圆中方”里，正方形的面积是圆的面积的几分之几？【问题问题1】多媒体显示：师：看到这组图形，你又想到了什么？生：在正方形中，正方形的面积与它里面 4 个圆、9 个圆的面积之和有什么关系？【问题问题 2】多媒体显示：师：已经知道了“方中圆”里正方形与圆的面积关系，我们还想探求“圆中方”里圆与正方形的面积关系，看到这个图形，你又想到什么问题？生：图中小正方形的面积是大正方形面积的几分之几？【问题问题 3】（下面的问题供六年级教学时使用）师：要是我们由平面图形联想到立体图形，相信同学们还会提出新的问题？多媒体显示：7生：正方体中，最
14、大的圆柱体的体积是正方体体积的几分之几？【问问题题 4】【意图：由问号到句号，又由句号到问号，这种循环往复的过程，正是学意图：由问号到句号，又由句号到问号，这种循环往复的过程，正是学生思维历练的过程。这一过程，是一个不断挑战自我的过程，是形成问题意识、生思维历练的过程。这一过程，是一个不断挑战自我的过程，是形成问题意识、不断探索的过程，更是培养合作意识、创新和实践能力的过程。不断探索的过程，更是培养合作意识、创新和实践能力的过程。 】六、激励研究六、激励研究师：这些问题都值得我们去思考，你准备选择其中哪个问题去研究？学生自由选择师：我建议你们选择同一个问题的同学组成一个数学研究课题小组，志同道
15、合，众志成诚。我相信你们在研究问题的过程中，一定会有新的发现。大家先分组商议商议，设计出你们小组的研究思路。学生分组活动，师：能把你们小组的研究思路透露透露，让我们都来借鉴分享吗？学生回答后，归纳出：从探求“方中圆”面积关系的过程中，研究这些问题我们也可以先提出猜想，再通过计算验证，完善和得出结论。【意图：再次回顾问题研究的基本方法，使学生研究相关问题有路可循，意图：再次回顾问题研究的基本方法，使学生研究相关问题有路可循，终身受用。终身受用。 】师：同学们，让我们带着问题，携起手来，课后共同探索，将你们小组的研究过程和发现写成文章，在下次数学活动中进行汇报展示，从中评出最棒的课题研究小组。总评
16、：总评：这节课的设计有以下几个特点：这节课的设计有以下几个特点：1.1.教学内容立足于学生已有的知识和经验，选择的题材既源于教材，又有教学内容立足于学生已有的知识和经验，选择的题材既源于教材，又有别于教材；既贴近学生的实际，又接近学生的最近发展区；让学生充分感受数别于教材；既贴近学生的实际，又接近学生的最近发展区；让学生充分感受数8学知识间的密切联系，对数学的内在魅力，产生无限的向往。在探求问题的过学知识间的密切联系，对数学的内在魅力，产生无限的向往。在探求问题的过程中，所探求的问题由学生提出，问题的探索激活了学生原有的知识和经验，程中，所探求的问题由学生提出，问题的探索激活了学生原有的知识和经验，保证了学生探究能获得成功。保证了学生探究能获得成功。2.2.教学过程是学生自主经历科学发现的过程。在这个过程中，师生合作互教学过程是学生自主经历科学发现的过程。在这个过程中，师生合作互动，学生是探索活动的主体，教
