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1、1竞赛讲座竞赛讲座 05几何解题途径的探求方法几何解题途径的探求方法一充分地展开想象一充分地展开想象想象力，就是人们平常说的形象思维或直觉思维能力。想象力对于人们的创造性劳动的重要作用，马克思曾作过高度评价：“想象是促进人类发展的伟大天赋。 ”解题一项创造性的工作，自然需要丰富的想象力。在解题过程中，充分展开想象，主要是指：1全面地设想全面地设想设想，是指对同一问题从各个不同的角度去观察思考和深入分析其特征，推测解题的大致方向，构思各种不同的处理方案。例 1在中，AB=AC，D 是 BC 边上一点，E 是线段 AD 上一点 ，且ABCD，求证：BD=2CD（92 年全国初中联赛试题）BACCE
2、DBED2例 2 在中，ABAC，的外角平分线交的外接圆于 D，于ABCAABCABDEE。求证：（89 年全国高中联赛试题）2)(ACABAE3在的斜边上取一点 D，使的内切圆相等。证明：ABCRtACDABD和（31 届 IMO 备选题）2ADSABC例 4设 A 是三维立体的长方体砖块。若 B 是所有到 A 的距离不超过 1 的点的集合abc（特别地，B 包含 A） ，试用的多项式表示 B 的体积（84 年美国普特南数学竟赛试题）abc2广泛地联想联想，是指从事物的相联糸中来考虑问题，从一事物想到与其相关的各种不同的事物，进行由此彼的思索。在解题过程中，我们如能根椐问题特征广泛地联想熟知
3、命题，并设法将其结论或解法加以利用，则无疑是获得解题途径的简捷方法。例 5在中角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若角 A，B，C 的大小成等比数列，ABC且，求角 B（85 年全国高中联赛试题）acab22例 6四边形 ABCD 内接于，对角线于，是的中点，oBDACPECD（78 年上海高中竟赛试题）OF。PEF。ABOF求证于2例 7 在正方体中，是的中点，在棱上，且1111DCBAABCD EBCF1AA，求平面与底面所成的二面角。 （85 年全国高中联赛试2:1:1FAFAEFB11111DCBA题）例 8 设为0 的内接四边形，依次为4321AAAA4321,HHHH的垂心。
4、求证：四点在同一个, 321214143432,AAAAAAAAAAAA432, 1,HHHH圆上，并确定该圆的圆心位置。 （92 年全国高中联赛试题）3大胆地猜测想猜想，是指由直觉或某些数学事实，推测某个判断或命题可能成立的一种创造性的思维活动过程。科学家都非常重视猜想的作用。誉满世界被称为数学王子的德国数学家高斯就曾深有体会地说：“没有大胆的猜想就不可能有伟大的发现。 ” “若无某种放肆的猜想，一般是不可能有知识的进展的。 ”在解题过程中，通过猜想不仅可以得到问题的结论，而且还可以获得解题的途径，但应注意，由猜想所得出的结论不一定可靠，其正确性还必须经过严格的逻辑证明或实践的检验。例 9
5、正方形的边长为 1，分别是边与边上各一点。若的ABCDQP,ABADAPQ周长为 2。求（88 年国家队选拔试题）PCD例 10已知圆内接四边形的对角线与相交于。求证：ACBDMMCAM CDAD CBAB例 11已知四面体的六条棱长之和为 ，并且ABCp l，试求它的最大体积。 （28 届 IMO 备选题）090CPABPCAPB例 12设正方体的棱长为，过棱上一点作一直线与棱1111DCBAABCD a11CBQ和的延长线分别交于，试问：当在棱上移动时，线段最短时的1AADCRP,Q11CBPR 长度是多少？证明你的结论。二精心地进行类比类比，是指人们在观察或思考问题时，往往把相似的事物加
6、以比较，并把处理某些事物的成功经验用到与其性质相似的另一些事物上去的思维方式。在解题过程中，若能将它与相似的问题精心地进行类比，则往往可由此得到解题途径，甚至发现新的知识。例 13四边形内接于，对角线与相交于，设ABCDOACBDP和的外接圆圆心分别为。求证：CDPBCPABP,DAP4321,OOOO三直线共点。 （90 年全国高中联试题）OPOOOO,42313例 14在四面体中，已知，试问：ABCO 090COABOCAOB之间有何关系？证明你的结论。COABOCAOBABCSSSS,例 16设是四体内部的任意一点，和的延长线分别与面OABCD,COBOAODO和交于。求证：ABDACD
7、BCD,ABCDCBA,1 DDDO CCCO BBBO AAAO三合理地利用特殊例 17.和在边的同侧,且边与边相交ABCABDAb180ADBACBBCAD于点.求证:.E2ABBCBEADAE例 18.已知半径分别为、（）的两圆内切于，是外圆的直径，的垂RrRrAAEAE线与两圆分别交于同侧的两点和，试求的外接圆直径（83 年苏联竞赛题）AEBCABC例 19设是的角平分线，且点共线（） ，则AOiiCABiiCOB,ni, 2 , 1L（79 年苏联竞赛题）22121132211132211 nnnnnnnn ACACACABABAB OCCCCCCCOCOBBBBBBBOB LL L
8、L例 20已知菱形外切于，是与边分别交于的的任ABCDOMNCDAD,NM,O一切线，求证：为定值。 （89 年苏联奥赛题）CNAM 例 21设是正三角形外接圆的劣弧上任一点，求证：（1）；PABCBCPAPCPB（2）22ABPAPCPB例 22求证：顶点在单位圆上的锐角三角形的三个内角的余弦之和小于这个三角形周长的一半。例 23外接于，是弧上一点，过作的垂线，与分ABCOPABPOBOA,BCAC,别于，与分别义于。求证：的充要条件是。TS,ABNM,MSPM NTPN 例 24在凸六边形中，若对角线中的每一条都把六边形分成面ABCDEFCFBEAD,积相等的两部分，则这三条对角线相交于一
9、点（88 年苏联奥赛题）习题1若是的的平分线，且，则（78 年CEABCCEBAECE22:1:ACAE四川联赛试题）2在中，任意延长到，再延长到，使。ABCACAB CAPABQBQAP 4求证：的外心与四点共圆（94 年全国初中联赛试题）ABCQPA,3平面上已给一锐角，以中直径的圆交高及延长线于，以为ABCAbCC NM,AC直径的圆交高及其延长线于，证明：四点共圆（90 年美国 19 届奥BB QP,QPNM,赛题）4已知一凸五边形中，且ABCDEDECDBCBAE,3，求证：（90 年全国初中联2180 CDEBCDDAECADBAC赛题）5在中，的对边分别为，已知，ABCBA ,C
10、cba,222bbcaca，求它的最大角的度数（90 年苏联奥赛试题）222cbcaca6已知锐角的顶点到垂心，外心的距离相等，求（90 年匈牙利奥赛题）ABCCACB7在三棱锥中，和都有等腰三角形，是边ABCS SCSASBCABCDBC上任意一点，在平面内作于，是的中点，求证：SADADSHHPSH为定值。SDHtgPAHtg9设不过给定的平行四边形顶点的任一直线分别与直线交于ABCDDACDBVAB,，则与的另一交点必在定直线上。HGFE,EFCGHC10设是任意四边形（包括凹四边形） ，则的充要条件是：ABCDBDAC（1912 年匈牙利竞赛试题）2222BCADCDAB11如图，圆的三条弦两两相交，交点分别为。若111,RRQQPPCBA,。求证：是正三角形。 （28 届 IMO 备选题）111,CQBPARCRBQAPABC12已知锐角的外接圆半径为，分别是边上的点，求证：ABCRFED,ABCABC,是三条高的充要条件是：(86 年全国高中联赛CFBEAD,2)(FDEFDERSABC试题)13.凸四边形内接于,对角线与相交于,与的外接ABCDOACBDPABPCDP圆相交于和另一点,且三点两两不重合,则(第 8 届 CMO 试题)PQQPO,90OQP
