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1、第十三章第十三章 全等三角形全等三角形13.313.3 角的平分线的性质角的平分线的性质目标导航目标导航 1、能够利用三角形全等，证明角平分线的性质和判定。 2、会用尺规作已知角的平分线。 3、能够利用角平分线的性质和判定进行推理和计算，解决一些实际问题。 4、进一步发展我们的的推理证明意识和能力。名师引领名师引领 1角的平分线的性质： 定理 1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 定理 2到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。 2三角形的三条角平分线交于三角形内一点，并且这个点到三角形三边的距离 相等师生互动师生互动 共解难题共解难题 例 1：三角形的三条角平分线交于一点
2、，你知道这是为什么吗？ 分析：我们知道两条直线是交于一点的，因此可以想办法证明第三条角平分线 通过前两条角平分线的交点。 已知：如图，ABC 的角平分线 AD 与 BE 交于点 I，求证：点 I 在ACB 的平分 线上。证明：过点 I 作 IHAB、IGAC、IFBC，垂足分别是点 H、G、F。 点 I 在BAC 的角平分线 AD 上，且 IHAB、IGAC IH=IG（角平分线上的点到角的两边距离相等） 同理 IH=IF IG=IF（等量代换） 又 IGAC、IFBC 点 I 在ACB 的平分线上（到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平 分线上） 即：三角形的三条角平分线交于一点。 例
3、2：如图，已知ABC 中BAC=90，AB=AC，CD垂直于ABC的平分线 BD 于 D，BD 交 AC 于 E，求证：BE=2CD。分析：要证 BE=2CD，想到要构造等于 2CD 的线段，结合角平分线，利用翻折 的方法把CBD 沿 BD 翻折，使 BC 重叠到 BA 所在的直线上，即构造全等三角形 （BCDBFD） ，然后证明 BE 和 CF（2CD）所在的三角形全等。 证明：延长 BA、CD 交于点 F BDCF（已知） BDC=BDF=90（垂直的定义） BD 平分ABC（已知） 1=2（角平分线的定义） 在BCD 和BFD 中21()()()BDBDBDCBDF 公公公公公公公BCD
4、BFD（ASA） CD=FD（全等三角形的对应边相等） 即 CF=2CD 5=4=90，BDF=90 3+F=90，1+F=90（直角三角形两锐角互余） 1=3（同角的余角相等） 在ABE 和ACF 中4513()ABAC 公公ABEACF（ASA） BE=CF（全等三角形对应边相等） BE=2CD（等量代换）积累运用积累运用 举一反三举一反三 一、选择题一、选择题 1到三角形三边的距离相等的点是三角形（ ） 。 A三条边上的高的交点 B三个内角平分线的交点 C三边上的中线的交点 D以上结论都不对 2如图 1，ABC 中，ACCB，CD 平分ACB，点 E 在 AC 上，且 CE=CB，则下
5、列结论：CD 平分BDE；BD=DE；B=CED；A+CED=90。其中 正确的有（ ） 。A1 个 B2 个 C3 个 D4 个DCBAE图 1 3如图 2，已知点 D 是ABC 中 AC 边一点，点 E 在 AB 延长线上，且 ABCDBE，BDA=A若A：C=5：3，则DBE 的度数是（ ） 。DCBAE图 2 A100 B80 C60 D120 4下列说法：角的内部任意一点到角的两边的距离相等；到角的两边距 离相等的点在这个角的平分线上；角的平分线上任意一点到角的两边的距离 相等；ABC 中BAC 的平分线上任意一点到三角形的三边的距离相等，其中 正确的（ ） 。 A1 个 B2 个
6、C3 个 D4 个 5. 已知 AD 是ABC 的角平分线，DEAB 于 E,且 DE=3cm,则点 D 到 AC 的距离是 ( )。 A.2cm B.3cm C.4cm D.6cm 6如图 3，已知 CE、CF 分别是ABC 的内角和外角平分线，则图中与BCE 互余的角有（ ） 。 A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 7如图 4，已知点 P 到 AE、AD、BC 的距离相等，则下列说法：点 P 在BAC 的平分线上；点 P 在CBE 的平分线上；点 P 在BCD 的平分线上；点 P 是BAC、CBE、BCD 的平分线的交点，其中正确的是（ ） 。A B C DDCBAEFPDCBAE图
7、3 图 4二、填空题二、填空题 1ABC 中 AB=AC，点 D 是BAC 平分线上一点，且 BD=2cm，则点 D 与点 C 之 间的距离是_。 2如图 3，ABC=ADC=90，要证明ABCADC，可补充条件 _或_（填写两组适合的条件即可） 。DCBA图 33如图 4，DEF 由ABC 沿直线 BC 平移而得到的，则 AB=_，CF=_，A=_。DCBAEF 图 4 4用直尺和圆规平分已知角的依据是_。 5角的平分线上的点到_相等；到_相等的点在这个角的平分 线上。 6如图 3，ABCD，AP、CP 分别平分BAC 和ACD，PEAC 于 E，且 PE=2cm，则 AB 与 CD 之间的
8、距离是_。三、解题题三、解题题 1如图，D、E 是ABC 中 AB、AC 边上的点，且 AD=AE，1=2，求证 BD=CE。2如图，已知 ABAC 于 A，BDDC 于 D，要想得到 AC=BD，你认为需要补充什 么条件？请说明你的理由。DCBA3如图，A、B 两点分别位于池塘两侧，小亮用下面的方法测量 A、B之间的距 离：先在地上取一个可以直接到达 A 点和 B 点的 C 点，连接 AC、BC，并分别 延长至 D、E 两点，使 DC=AC，EC=BC那么量出 DE 的长就是 A、B 间的距离。 请说明一下这样做的道理。DCBAE4如图 1，AD 是ABC 的角平分线，DE 和 DF 分别是
9、ABD 和ACD 的高，求 证：AD 垂直平分 EF。DCBAEHF5如图，四边形 ABCD 中 AB=AD，CB=CD，点 P 是对角线 AC 上一点，PEBC 于 E，PFCD 于 F，求证 PE=PF。PDCBAEF6如图，四边形 ABCD 中 AB=AD，ABBC，ADCD，P 是对角线 AC 上一点，求 证：PB=PC。PDCBA7如图，已知 CDAB 于 D，BEAC 于 E，CD 交 BE 于点 O。若 OC=OB，求证：点 O 在BAC 的平分线上。若点 O 在BAC 的平分线上，求证：OC=OB。DCBAE O答案： 一、一、1B 2D 3A 4. B 5. B 6. C 7. A 二、 12cm ； 2AB=AD；BAC=DAC； 3DE；BE；D； 4SSS； 5角的两边的距离；角的两边的距离； 6.4cm。 三、 1先证ABEACD 得到 AB=AC，再用等式性质证明 BD=CE 2比如：AB=DC 或ABC=DCB 或ACB=DBC 3证ABCDEC4证AEHAFH 5.证明 AC 平分BCD 6.先证 RtABCRtADC，再证APBAPD 7证明COEBOD 得到 OE=OD；先由角平分线的性质证明 OE=OD，再证 明COEBO
