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1、课 题：空间向量的坐标表示空间向量的坐标表示教学目标：1能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算；2会根据向量的坐标判断两个空间向量平行。教学重点：空间向量的坐标运算教学难点：空间向量的坐标运算教学过程：一、创设情景一、创设情景1、平面向量的坐标表示分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底奎屯王新敞新疆任作一个向量，由平xyivjrar面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得xyj yi xarrr把叫做向量的（直角）坐标，记作),(yxar),(yxa r其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的xarxyary坐标， 特别地，奎屯王新敞新疆)0 , 1 (ir) 1 , 0(jr)0
2、, 0(0 r二、建构数学二、建构数学1、空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为 ，1这个基底叫单位正交基底，用表示； , , i j kr r r（2）在空间选定一点和一个单位正交基底，O , , i j kr r r以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条O, ,i j kr r r数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴我们称建xyz立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量OxyzO都叫坐标向量通过每两个坐标轴的平面叫坐标, ,i j kr r r平面，分别称为平面，平面，平面。xOyyOzzOx（3）作空间直角坐标系时，一般使（或） ，；Oxyz135xOyo45o9
3、0yOzo（4）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，如果xyykiA(x,y,z)Ojxz中指指向轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系奎屯王新敞新疆规定立几中建立的坐标系为右手z直角坐标系奎屯王新敞新疆2、空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐标系和向量，设为坐标向量，则存在唯一的有序实数组ar, ,i j kr r r，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系123(,)a a a123aa ia ja krrrr123(,)a a aar中的坐标，记作Oxyz123(,)aa a ar在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯OxyzA一的有序实数组，使，
4、有序实数组( , , )x y zOAxiyjzkuu u rrr叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记( , , )x y zAOxyz作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标( , , )A x y zxyz3、空间向量的直角坐标运算律（1）若，123(,)aa a ar123( ,)bb b br则，112233(,)abab ab abrr，112233(,)abab ab abrr，123(,)()aaaaRr，112233/,()abab ab abRrr（2）若，则111( ,)A x y z222(,)B xyz212121(,)ABxx yy zzuuu r一个向量在直角坐标系中的坐标
5、等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。三、数学运用三、数学运用1、例 1 已知，求)4,10, 3(),8 , 3, 1 (baababa3 ,解：)4 , 7 , 4( ba)12,13, 2(ba)24, 9, 3(3aykiykiB(b1,b2,b3)A(a1,a2,a3)O Ojxzjxz2、已知空间四点和，求证：四边形是矩形)10, 0 ,10(),3 , 5, 2(),1 , 3 , 2(CBA)9 , 4 , 8(DABCD解：， )2 , 8, 4( OAOBAB) 1 , 4, 2( DCDCAB2所以， 所以四边形是矩形。DCAB/DCAB ABCD3、课堂
6、练习课本 78 页练习 16三、回顾总结三、回顾总结空间向量的坐标表示及其运算四、布置作业四、布置作业课 题：空间向量的数量积空间向量的数量积教学目标：1掌握空间向量的夹角的概念，掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律，了解空间向量数量积的几何意义；2掌握空间向量数量积的坐标形式，会用向量的方法解决有关垂直、夹角和距离问题。教学重点：空间向量的夹角的概念，掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律教学难点：用向量的方法解决有关垂直、夹角和距离教学过程一、创设情景一、创设情景1、空间直角坐标系中的坐标；2、空间向量的直角坐标运算律；3、平面向量的数量积、夹角、模等概念。二、建构数学二、建构数学
7、1、夹角定义：是空间两个非零向量，过空间任意一点 O，作，则ba,bOBaOA ,叫做向量与向量的夹角，记作AOBabba,规定：ba,0特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向；如果0,baabba,ab，那么与垂直，记作。090,baabba 2、数量积（1）设是空间两个非零向量，我们把数量叫作向量的数量积，ba,baba,cos|ba,记作，即babababa,cos|（2）夹角：1 1223 3222222 123123cos| |aba ba ba ba babaaabbbr rr rrr（3）运算律；abba)()(abbacabacba)(（4）模长公式：若，123(,)aa
8、a ar123( ,)bb b br则，222 123|aa aaaarr r222 123|bb bbbbrr r（5）两点间的距离公式：若，111( ,)A x y z222(,)B xyz则，或2222 212121|()()()ABABxxyyzzuuu ruuu r222 ,212121()()()A Bdxxyyzz（6）00212121zzyyxxbaba三、数学运用三、数学运用1、例 1 已知，求：)3 , 1 , 3(A(1,0,5)B（1）线段的中点坐标和长度；AB（2）到两点的距离相等的点的坐标满足的条件奎屯王新敞新疆,A B( , , )P x y z, ,x y z解
9、：（1）设是线段的中点，则MAB)23, 3 , 2()(21OBOAOM的中点坐标是，AB)23, 3 , 2()3 , 4 , 2(AB29)3(4)2(|222AB（2） 点到两点的距离相等，( , , )P x y z,A B则,222222)0()5() 1()3() 1()3(zyxzyx化简得：,07684zyx所以，到两点的距离相等的点的坐标满足的条件是,A B( , , )P x y z, ,x y z07684zyx点评：到两点的距离相等的点构成的集合就是线段 AB 的中垂面，若,A B( , , )P x y z将点的坐标满足的条件的系数构成一个向量，发P, ,x y z
10、07684zyx)6 , 8, 4( a现与共线。)3 , 4 , 2(AB2、例 2 已知三角形的顶点是，试求这个三角形的面积 。(1, 1,1)A(2,1, 1)B( 1, 1, 2)C 分析：可用公式来求面积奎屯王新敞新疆1| | sin2SABACAuuu ruuu r解：，(1,2, 2)AB uuu r ( 2,0, 3)AC uuu r，222|12( 2)3AB uuu r22|( 2)0( 3)13AC uuu r，(1,2, 2) ( 2,0, 3)264AB AC uuu r uuu r，44 13coscos,39| |313AB ACAAB ACABACuuu r u
11、uu ruuu r uuu ruuu ruuu r213101sinsin,1 cos,39AAB ACAB AC uuu r uuu ruuu r uuu r所以，1101| | sin22ABCSABACAuuu ruuu r四、回顾总结四、回顾总结五、布置作业五、布置作业课 题：直线的方向向量与平面的法向量直线的方向向量与平面的法向量教学目标：1理解直线的方向向量和平面的法向量；2会用待定系数法求平面的法向量。教学重点：直线的方向向量和平面的法向量教学难点：求平面的法向量A1xD1B1ADBCC1yz教学过程一、创设情景一、创设情景1、平面坐标系中直线的倾斜角及斜率，直线的方向向量，直线
12、平行与垂直的判定；2、如何用向量描述空间的两条直线、直线和平面、平面和平面的位置关系？二、建构数学二、建构数学1、直线的方向向量我们把直线 上的向量以及与共线的向量叫做直线 的方向向量leel2、平面的法向量如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ，记n作，如果，那么向量叫做平面 的法向量。nnn三、数学运用三、数学运用1、例 1 在正方体中，求证：是平面的法向量1111DCBAABCD 1DB1ACD证：设正方体棱长为 1，以为单位正交基底，1,DDDCDA建立如图所示空间坐标系xyzD ，) 1 , 1 , 1 (1DB)0 , 1 , 1(AC) 1 , 0
13、, 1(1AD，所以01 ACDBACDB 1同理11ADDB 所以平面1DBACD从而是平面的法向量。1DB1ACD2、 例 2 在空间直角坐标系内，设平面经过点，平面的法向量为),(000zyxP，为平面内任意一点，求满足的关系式。),(CBAe ),(zyxMzyx,解：由题意可得),(000zzyyxxPM0 PMe即0),(),(000zzyyxxCBA化简得0)()()(000zzCyyBxxA3、课堂练习已知点是平行四边形所在平面外一点，如果，PABCD(2, 1,4)AB uuu r，奎屯王新敞新疆(4,2,0)AD uuu r( 1,2, 1)AP uuu r（1）求证：是平
14、面的法向量；APuuu rABCD（2）求平行四边形的面积ABCD（1）证明：，( 1,2, 1) (2, 1, 4)0AP AB uuu r uuu r，( 1,2, 1) (4,2,0)0AP AD uuu r uuu r，又，平面，APABAPADABADAIAP ABCD是平面的法向量APuuu rABCD（2），222|(2)( 1)( 4)21AB uuu r222|4202 5AD uuu r，(2, 1, 4) (4,2,0)6AB AD uuu r uuu r，63 105cos(,)10521 2 5AB AD uuu r uuu r， 932sin110535BAD| |sin8 6ABCDSABADBADYuuu ruuu r四、回顾总结四、回顾总结1、直线得方向向量与平面法向量得概念；2、求平面法向量得方法五、布置作业五、布置作业
