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1、 网址：网址： 测试测试 15 导数的综合运用导数的综合运用一、选择题一、选择题1曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 ( )xxy3 31 34, 1(A)(B)91 92(C)(D)31 322设函数 f(x)、g(x)分别是 R 上的奇函数和偶函数，且 x0 时，f (x)0，g(x)0，则 x0 时 ( ) (A)f (x)0，g (x)0(B)f (x)0，g(x)0 (C)f (x)0，g (x)0(D)f (x)0，g(x)0 3已知函数 f(x)x3ax2(a6)x1 有极大值和极小值，则 a 的取值范围为 ( ) (A)(1，2)(B)(3，6) (C)(，1)(2，)
2、(D)(，3)(6，) 4函数 yxcosxsinx 在下面哪个区间内是增函数 ( )(A)(B)(，2) 23,2(C)(D)(2，3) 25,235已知二次函数 f(x)ax2bxc 的导数为 f (x)，f (0)0，对于任意实数 x，都有 f(x)0，则的最小值为 ( )0( ) 1 ( ff(A)3(B)25(C)2(D)23二、填空题二、填空题6直线 yxb 是曲线 ylnx(x0)的一条切线，则实数 b_217若函数，则_ 0,0, 3)(2xxxxxf11d)(xxf8设曲线 yeax在点(0，1)处的切线与直线 x2y10 垂直，则 a_9曲线 y上任何一点处的切线与坐标轴围
3、成的三角形面积为_x110函数 f(x)|3xx3|在2，2上的最大值是_ 三、解答题三、解答题网址：网址： 11设 b，cR，函数 f(x)x3bx2cx，且 f(x)在区间(1，1)上单调递增，在区间31(1，3)上单调递减 (1)若 b2，求 c 的值； (2)求证：c312如图，将边长为 6 的等边三角形各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个 无盖的正三棱柱形的容器(1)若这个容器的底面边长为 x，容积为 y，写出 y 关于 x 的函数关系式并注明定义域； (2)求这个容器容积的最大值13已知 f(x)ax3bx2cx 在区间0，1上是增函数，在区间(，0)，(1，)上是减函数
4、，且23)21( f(1)求 f(x)的解析式； (2)若在区间0，m(m0)上恒有 f(x)x 成立，求 m 的取值范围14已知函数 f(x)(c0 且 c1，kR)恰有一个极大值点和一个极小值点，其中cxkx 21一个是 xc (1)求函数 f(x)的另一个极值点； (2)求函数 f(x)的极大值 M 和极小值 m，并求 Mm1 时 k 的取值范围15设函数 f(x)x2aln(1x)有两个极值点 x1，x2，且 x1x2 (1)求 a 的取值范围，并讨论 f(x)的单调性；(2)证明：f(x2)42ln21网址：网址： 参考答案参考答案测试测试 15 导数的综合运用导数的综合运用 一、选
5、择题一、选择题 1C 2B 3D 4B 5C 提示： 5f (x)2axb，f (0)b0由对于任意实数 x，都有 f(x)0，得 . 04, 02acba从而有 a0，b0，c0，b24ac(ac)2bac，所以，2111)0() 1 (bca bcba ff 即的最小值为 2)0() 1 ( f f二、填空题二、填空题6ln21 7 82 92 102623提示：9设切点为，函数 y的导函数为，)1,(00xxx121xy2 01 xk切线方程为：，)(11 02 00xxxxy可求出切线在两坐标轴上的交点为(2x0，0)和，)2, 0(0x切线与两坐标轴围成的三角形面积为2|2|2|21
6、00xxS10容易判断此函数为2，2上的偶函数，故只需考虑函数 f(x)|3xx3|在0，2上的 最大值即可因为 . 23,3, 30 ,3)( 33xxxxxxxf所以 . 23, 33, 30 ,33)( 22xxxxxf令 f (x)0，解得 x1网址：网址： 因为 f(x)0，f(1)2，f()0，f(2)2，3所以 f(x)|3xx3|在0，2上的最大值是 2，此时 x1，或 x2 故 f(x)|3xx3|在2，2上的最大值是 2 三、解答题三、解答题 11解：(1) f (x)x22bxc， 依题意得 f (1)0，即 12bc0 将 b2 代入，解得 c3(2)由(1)得，代入
7、f (x)的解析式，21cb得 f (x)x2(c1)xc 令 f (x)0，则 x11，x2c 由 f(x)在区间(1，1)上单调递增，在区间(1，3)上单调递减，得 当1x1 时，f (x)0，当 1x3 时，f (x)0， 画出 yf (x)的示意图，可得 c312解：(1)由正三棱柱的底面边长为 x，可得正三棱柱的高为)6(63 33 26xx所以容积，)6(6360sin21 31xxxyo即)60)(6(2412xxxy(2)解：由，)6(2412xxy可得，)60(241 4132xxxy则)60(81 212xxxy令 y0，得 0x4；令 y0，得 4x6所以，函数在(0，4
8、)上是增函数，在(4，6)上是减函数)60)(6(2412xxxy所以，当 x4 时，y 有最大值，即这个容器容积的最大值为34 3413解：(1)f (x)3ax22bxc，由已知 f (0)f(1)0，网址：网址： 即解得 , 023, 0 cbac.23, 0abcf (x)3ax23ax，a2，23 23 43)21( aaff(x)2x33x2 (2)令 f(x)x，即2x33x2x0，x(2x1)(x1)0，或 x1210 x又 f(x)x 在区间0，m上恒成立，210m即 m 的取值范围是21, 0(14解：(1)解：，222222)(2 )() 1(2)()( cxckxkx
9、cxkxxcxkxf由题意知 f (c)0， 即 c2k2cck0，(*)c0，k0 由 f (x)0 得kx22xck0，由韦达定理知另一个极值点为 x1(或)kcx2(2)由(*)式得，即12 ckkc21当 c1 时，k0；当 0c1 时，k2 由(1)知函数 f(x)的两个极值点为 1 和c，从而22)() 1)()( cxxcxkxf当 k0 时，f(x)在(，c)和(1，)内是减函数，在(c，1)内是增函数，0211) 1 (k ckfM，0)2(21)(22kk cckccfm由及 k0，解得 k1)2(222 kkkmM2当 k2 时，f(x)在(，c)和(1，)内是增函数，在
10、(c，1)内是减函数，0)2(2)(2 kkcfM02) 1 (kfm网址：网址： 恒成立121) 1(12)2(222 kkk kkmM综上可知，k 的取值范围为(，2)，) 215(1)由题设知，函数 f(x)的定义域是(1，)，xaxxxf122)( 2且 f (x)0 有两个不同的根 x1，x2，故 2x22xa0 的判别式48a0，即，且，21a2211 1ax22112ax又 x11，故 a0因此 a 的取值范围是 )21, 0(当 x 变化时，f(x)与 f (x)的变化情况如下表：(1，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f (x)00f(x)极大值极小值因此，f(x)在区间(1，x1)和(x2，)内是增函数，在区间(x1，x2)内是减函数(2)由题设和知，a2x2(1+x2)，021 2x于是 f(x2)x222x2(1x2)ln(1x2) 设函数 g(t)t22t(1t)ln(1t)，则 g(t)2(12t)ln(1t)当时，g(t)0；当时，g(t)0，故在区间是增函数21t)0 ,21(t)0 ,21于是，当时，)0 ,21(t42ln21)21()( gtg因此42ln21)()(22xgxf
