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1、 网址:网址: 测试测试 15 导数的综合运用导数的综合运用一、选择题一、选择题1曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 ( )xxy3 31 34, 1(A)(B)91 92(C)(D)31 322设函数 f(x)、g(x)分别是 R 上的奇函数和偶函数,且 x0 时,f (x)0,g(x)0,则 x0 时 ( ) (A)f (x)0,g (x)0(B)f (x)0,g(x)0 (C)f (x)0,g (x)0(D)f (x)0,g(x)0 3已知函数 f(x)x3ax2(a6)x1 有极大值和极小值,则 a 的取值范围为 ( ) (A)(1,2)(B)(3,6) (C)(,1)(2,)
2、(D)(,3)(6,) 4函数 yxcosxsinx 在下面哪个区间内是增函数 ( )(A)(B)(,2) 23,2(C)(D)(2,3) 25,235已知二次函数 f(x)ax2bxc 的导数为 f (x),f (0)0,对于任意实数 x,都有 f(x)0,则的最小值为 ( )0( ) 1 ( ff(A)3(B)25(C)2(D)23二、填空题二、填空题6直线 yxb 是曲线 ylnx(x0)的一条切线,则实数 b_217若函数,则_ 0,0, 3)(2xxxxxf11d)(xxf8设曲线 yeax在点(0,1)处的切线与直线 x2y10 垂直,则 a_9曲线 y上任何一点处的切线与坐标轴围
3、成的三角形面积为_x110函数 f(x)|3xx3|在2,2上的最大值是_ 三、解答题三、解答题网址:网址: 11设 b,cR,函数 f(x)x3bx2cx,且 f(x)在区间(1,1)上单调递增,在区间31(1,3)上单调递减 (1)若 b2,求 c 的值; (2)求证:c312如图,将边长为 6 的等边三角形各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个 无盖的正三棱柱形的容器(1)若这个容器的底面边长为 x,容积为 y,写出 y 关于 x 的函数关系式并注明定义域; (2)求这个容器容积的最大值13已知 f(x)ax3bx2cx 在区间0,1上是增函数,在区间(,0),(1,)上是减函数
4、,且23)21( f(1)求 f(x)的解析式; (2)若在区间0,m(m0)上恒有 f(x)x 成立,求 m 的取值范围14已知函数 f(x)(c0 且 c1,kR)恰有一个极大值点和一个极小值点,其中cxkx 21一个是 xc (1)求函数 f(x)的另一个极值点; (2)求函数 f(x)的极大值 M 和极小值 m,并求 Mm1 时 k 的取值范围15设函数 f(x)x2aln(1x)有两个极值点 x1,x2,且 x1x2 (1)求 a 的取值范围,并讨论 f(x)的单调性;(2)证明:f(x2)42ln21网址:网址: 参考答案参考答案测试测试 15 导数的综合运用导数的综合运用 一、选
5、择题一、选择题 1C 2B 3D 4B 5C 提示: 5f (x)2axb,f (0)b0由对于任意实数 x,都有 f(x)0,得 . 04, 02acba从而有 a0,b0,c0,b24ac(ac)2bac,所以,2111)0() 1 (bca bcba ff 即的最小值为 2)0() 1 ( f f二、填空题二、填空题6ln21 7 82 92 102623提示:9设切点为,函数 y的导函数为,)1,(00xxx121xy2 01 xk切线方程为:,)(11 02 00xxxxy可求出切线在两坐标轴上的交点为(2x0,0)和,)2, 0(0x切线与两坐标轴围成的三角形面积为2|2|2|21
6、00xxS10容易判断此函数为2,2上的偶函数,故只需考虑函数 f(x)|3xx3|在0,2上的 最大值即可因为 . 23,3, 30 ,3)( 33xxxxxxxf所以 . 23, 33, 30 ,33)( 22xxxxxf令 f (x)0,解得 x1网址:网址: 因为 f(x)0,f(1)2,f()0,f(2)2,3所以 f(x)|3xx3|在0,2上的最大值是 2,此时 x1,或 x2 故 f(x)|3xx3|在2,2上的最大值是 2 三、解答题三、解答题 11解:(1) f (x)x22bxc, 依题意得 f (1)0,即 12bc0 将 b2 代入,解得 c3(2)由(1)得,代入
7、f (x)的解析式,21cb得 f (x)x2(c1)xc 令 f (x)0,则 x11,x2c 由 f(x)在区间(1,1)上单调递增,在区间(1,3)上单调递减,得 当1x1 时,f (x)0,当 1x3 时,f (x)0, 画出 yf (x)的示意图,可得 c312解:(1)由正三棱柱的底面边长为 x,可得正三棱柱的高为)6(63 33 26xx所以容积,)6(6360sin21 31xxxyo即)60)(6(2412xxxy(2)解:由,)6(2412xxy可得,)60(241 4132xxxy则)60(81 212xxxy令 y0,得 0x4;令 y0,得 4x6所以,函数在(0,4
8、)上是增函数,在(4,6)上是减函数)60)(6(2412xxxy所以,当 x4 时,y 有最大值,即这个容器容积的最大值为34 3413解:(1)f (x)3ax22bxc,由已知 f (0)f(1)0,网址:网址: 即解得 , 023, 0 cbac.23, 0abcf (x)3ax23ax,a2,23 23 43)21( aaff(x)2x33x2 (2)令 f(x)x,即2x33x2x0,x(2x1)(x1)0,或 x1210 x又 f(x)x 在区间0,m上恒成立,210m即 m 的取值范围是21, 0(14解:(1)解:,222222)(2 )() 1(2)()( cxckxkx
9、cxkxxcxkxf由题意知 f (c)0, 即 c2k2cck0,(*)c0,k0 由 f (x)0 得kx22xck0,由韦达定理知另一个极值点为 x1(或)kcx2(2)由(*)式得,即12 ckkc21当 c1 时,k0;当 0c1 时,k2 由(1)知函数 f(x)的两个极值点为 1 和c,从而22)() 1)()( cxxcxkxf当 k0 时,f(x)在(,c)和(1,)内是减函数,在(c,1)内是增函数,0211) 1 (k ckfM,0)2(21)(22kk cckccfm由及 k0,解得 k1)2(222 kkkmM2当 k2 时,f(x)在(,c)和(1,)内是增函数,在
10、(c,1)内是减函数,0)2(2)(2 kkcfM02) 1 (kfm网址:网址: 恒成立121) 1(12)2(222 kkk kkmM综上可知,k 的取值范围为(,2),) 215(1)由题设知,函数 f(x)的定义域是(1,),xaxxxf122)( 2且 f (x)0 有两个不同的根 x1,x2,故 2x22xa0 的判别式48a0,即,且,21a2211 1ax22112ax又 x11,故 a0因此 a 的取值范围是 )21, 0(当 x 变化时,f(x)与 f (x)的变化情况如下表:(1,x1)x1(x1,x2)x2(x2,)f (x)00f(x)极大值极小值因此,f(x)在区间(1,x1)和(x2,)内是增函数,在区间(x1,x2)内是减函数(2)由题设和知,a2x2(1+x2),021 2x于是 f(x2)x222x2(1x2)ln(1x2) 设函数 g(t)t22t(1t)ln(1t),则 g(t)2(12t)ln(1t)当时,g(t)0;当时,g(t)0,故在区间是增函数21t)0 ,21(t)0 ,21于是,当时,)0 ,21(t42ln21)21()( gtg因此42ln21)()(22xgxf