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1、第 1 页 老王伴你飞高一立体几何解答题高一立体几何解答题 以多面体体积与存在性问题为主以多面体体积与存在性问题为主一解答题（共一解答题（共 15 小题）小题）1如图，在四棱锥 PABCD 中，PC平面 ABCD，ABDC，DCAC（1）求证：DC平面 PAC； （2）求证：平面 PAB平面 PAC； （3）设点 E 为 AB 的中点，在棱 PB 上是否存在点 F，使得 PA平面 CEF？说明理由2在如图所示的几何体中，D 是 AC 的中点，EFDB （）已知 AB=BC，AE=EC，求证：ACFB； （）已知 G，H 分别是 EC 和 FB 的中点，求证：GH平面 ABC3如图，在直三棱柱
2、ABCA1B1C1中，D，E 分别为 AB，BC 的中点，点 F 在侧棱 B1B 上，且 B1DA1F，A1C1A1B1求证： （1）直线 DE平面 A1C1F； （2）平面 B1DE平面 A1C1F第 2 页 老王伴你飞4如图，在四棱锥 PABCD 中，PACD，ADBC，ADC=PAB=90，BC=CD=AD（I）在平面 PAD 内找一点 M，使得直线 CM平面 PAB，并说明理由； （II）证明：平面 PAB平面 PBD5如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F 为棱 AD、AB 的中点（）求证：EF平面 CB1D1； （）求证：平面 CAA1C1平面 CB1D16 （1）定理
3、：平面内的一条直线与平面的一条斜线在平面内的射影垂直，则这条直线垂直 于斜线 试证明此定理：如图 1 所示：若 PA，A 是垂足，斜线 PO=O，a，aAO，试证 明 aPO（2）如图 2，正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 P 在侧面 BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持 APBD1，试证明动点 P 在线段 B1C 上7如图，在三棱锥 PABC 中，PA平面 ABC，ACAB，AP=BC=4，ABC=30，D、E 分别是 BC、AP 的中点，（1）求三棱锥 PABC 的体积；第 3 页 老王伴你飞（2）若异面直线 AB 与 ED 所成角的大小为 ，求 tan 的值8如图，在底面为梯形
4、的四棱锥 SABCD 中，已知 ADBC，ASC=60，AD=DC=，SA=SC=SD=2 （）求证：ACSD；（）求三棱锥 BSAD 的体积9在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，ABC 是正三角形，AC 与 BD 的交点 M 恰好是 AC 中点，又 PA=AB=4，CDA=120，点 N 在线段 PB 上，且 PN= （）求证：BDPC； （）求证：MN平面 PDC10如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，PA 是四棱锥 PABCD 的高，PA=AB=2，点 M，N，E 分别是 PD，AD，CD 的中点 （1）求证：平面 MNE平面 ACP； （2）求四面体 AM
5、BC 的体积第 4 页 老王伴你飞11如图，已知三棱锥 ABPC 中，APPC，ACBC，M 为 AB 中点，D 为 PB 中点，且PMB 为正三角形 （1）求证：DM平面 APC； （2）求证：平面 ABC平面 APC；（3）若 BC=4，AB=20，求三棱锥 DBCM 的体积12如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱 AA1底面 ABC，ABBC，D 为 AC 的中点，A1A=AB=2，BC=3（1）求证：AB1平面 BC1D；（2）求四棱锥 BAA1C1D 的体积13如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，D、E 分别是棱 BC、AB 的中点，点 F 在棱 CC1上，已知 AB=AC，
6、AA1=3，BC=CF=2 （1）求证：C1E平面 ADF；第 5 页 老王伴你飞（2）若点 M 在棱 BB1上，当 BM 为何值时，平面 CAM平面 ADF？14如图，四棱锥 PABCD 的底面是边长为 1 的正方形，侧棱 PA底面 ABCD，且PA=2，E 是侧棱 PA 上的动点（1）求四棱锥 PABCD 的体积；（2）如果 E 是 PA 的中点，求证：PC平面 BDE； （3）是否不论点 E 在侧棱 PA 的任何位置，都有 BDCE？证明你的结论15如图，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是矩形，AB=2，且侧面 PAB 是正三角形，平面 PAB平面 ABCD，E 是棱 PA 的中点
7、 （1）求证：PC平面 EBD；（2）求三棱锥 PEBD 的体积第 6 页 老王伴你飞高一立体几何解答题高一立体几何解答题 以多面体体积与存在性问题为主以多面体体积与存在性问题为主参考答案与试题解析参考答案与试题解析一解答题（共一解答题（共 15 小题）小题）1 （2016北京）如图，在四棱锥 PABCD 中，PC平面 ABCD，ABDC，DCAC（1）求证：DC平面 PAC； （2）求证：平面 PAB平面 PAC； （3）设点 E 为 AB 的中点，在棱 PB 上是否存在点 F，使得 PA平面 CEF？说明理由【分析】 （1）利用线面垂直的判定定理证明 DC平面 PAC； （2）利用线面垂直
8、的判定定理证明 AB平面 PAC，即可证明平面 PAB平面 PAC； （3）在棱 PB 上存在中点 F，使得 PA平面 CEF利用线面平行的判定定理证明 【解答】 （1）证明：PC平面 ABCD，DC平面 ABCD，PCDC， DCAC，PCAC=C，DC平面 PAC； （2）证明：ABDC，DCAC，ABAC， PC平面 ABCD，AB平面 ABCD， PCAB， PCAC=C，AB平面 PAC， AB平面 PAB， 平面 PAB平面 PAC； （3）解：在棱 PB 上存在中点 F，使得 PA平面 CEF 点 E 为 AB 的中点，EFPA， PA平面 CEF，EF平面 CEF， PA平面
9、CEF 【点评】本题考查线面平行与垂直的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查学生分析解 决问题的能力，属于中档题2 （2016山东）在如图所示的几何体中，D 是 AC 的中点，EFDB （）已知 AB=BC，AE=EC，求证：ACFB；第 7 页 老王伴你飞（）已知 G，H 分别是 EC 和 FB 的中点，求证：GH平面 ABC【分析】 （）由条件利用等腰三角形的性质，证得 BDAC，EDAC，再利用直线和平 面垂直的判定定理证得 AC平面 EFBD，从而证得 ACFB （）再取 CF 的中点 O，利用直线和平面平行的判定定理证明 OG平面 ABC，OH平 面 ABC，可得平面 OGH平面 A
10、BC，从而证得 GH平面 ABC 【解答】 （）证明：如图所示，D 是 AC 的中点，AB=BC，AE=EC，BAC、EAC 都是等腰三角形， BDAC，EDAC EFDB，E、F、B、D 四点共面，这样， AC 垂直于平面 EFBD 内的两条相交直线 ED、BD，AC平面 EFBD 显然，FB平面 EFBD，ACFB （）已知 G，H 分别是 EC 和 FB 的中点，再取 CF 的中点 O， 则 OGEF，OGBD，OGBD，而 BD平面 ABC，OG平面 ABC 同理，OHBC，而 BC平面 ABC，OH平面 ABCOGOH=O，平面 OGH平面 ABC，GH平面 ABC【点评】本题主要考
11、查直线和平面垂直的判定和性质，直线和平面平行的判定与性质，属 于中档题3 （2016江苏）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，D，E 分别为 AB，BC 的中点，点 F在侧棱 B1B 上，且 B1DA1F，A1C1A1B1求证： （1）直线 DE平面 A1C1F； （2）平面 B1DE平面 A1C1F第 8 页 老王伴你飞【分析】 （1）通过证明 DEAC，进而 DEA1C1，据此可得直线 DE平面 A1C1F1； （2）通过证明 A1FDE 结合题目已知条件 A1FB1D，进而可得平面 B1DE平面 A1C1F 【解答】解：（1）D，E 分别为 AB，BC 的中点，DE 为ABC 的中位
12、线， DEAC，ABCA1B1C1为棱柱，ACA1C1， DEA1C1， A1C1平面 A1C1F，且 DE平面 A1C1F， DEA1C1F；（2）ABCA1B1C1为直棱柱，AA1平面 A1B1C1， AA1A1C1， 又A1C1A1B1，且 AA1A1B1=A1，AA1、A1B1平面 AA1B1B， A1C1平面 AA1B1B， DEA1C1， DE平面 AA1B1B， 又A1F平面 AA1B1B， DEA1F， 又A1FB1D，DEB1D=D，且 DE、B1D平面 B1DE， A1F平面 B1DE， 又A1F平面 A1C1F， 平面 B1DE平面 A1C1F 【点评】本题考查直线与平面
13、平行的证明，以及平面与平面相互垂直的证明，把握常用方 法最关键，难度不大4 （2016四川）如图，在四棱锥 PABCD 中，PACD，ADBC，ADC=PAB=90，BC=CD=AD第 9 页 老王伴你飞（I）在平面 PAD 内找一点 M，使得直线 CM平面 PAB，并说明理由； （II）证明：平面 PAB平面 PBD 【分析】 （I）M 为 PD 的中点，直线 CM平面 PAB取 AD 的中点 E，连接 CM，ME，CE，则 MEPA，证明平面 CME平面 PAB，即可证明直线 CM平面 PAB； （II）证明：BD平面 PAB，即可证明平面 PAB平面 PBD 【解答】证明：（I）M 为 PD 的中点，直线 CM平面 PAB取 AD 的中点 E，连接 CM，ME，CE，则 MEPA，ME平面 PAB，PA平面 PAB， ME平面 P
