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1、第三十讲第三十讲 生活中的数学生活中的数学( (四四) )买鱼的学问买鱼的学问鱼是人们喜欢吃的一种高蛋白食物，所以谁都希望买到物美价廉的 鱼假定现在商店里出售某种鱼以大小论价，大鱼 A 每斤 1.5 元，小鱼 B 每斤 1 元如果大鱼的高度为 13 厘米，小鱼的高度为 10 厘米(图 2- 171)，那么买哪种鱼更便宜呢？有人可能觉得大鱼 A 和小鱼 B 高度之比为 1310，差不了许多，而 小鱼的价格却比大鱼便宜许多，因此，买小鱼比较合算这种想法是合 理的吗？我们还是用数学来加以分析吧！在平面几何中，我们已经知道以下定理定理定理 1 1 相似形周长的比等于相似比定理定理 2 2 相似形面积的
2、比等于相似比的平方例例 1 1 已知：ABCABC，并且 AB=2c，BC2a，AC=2b，AB3c， BC=3a，AC=3b求证： ABC 和ABC周长的比是 23(图 2-172)证证 ABC 的周长是2a2b2c=2(abc)，ABC的周长是3a3b+3c=3(abc)，所以ABC 和ABC的周长的比是2(a+b+c)3(abc)=23例例 2 2 图 2-173 是两个相似矩形，如果它们的相似比是 34，求证： 它们面积的比是 3242证证 矩形 ABCD 的面积是 3a3b=32ab，矩形 ABCD的面积是 4a4b=42ab，所以矩形 ABCD 和矩形 ABCD的面积之比是32ab
3、42ab=3242从定理 1 和定理 2，我们自然会想到：相似的两个立体的体积之比 与它们的相似比有什么关系呢？为此，我们看下面的例子例例 3 3 图 2-174 是两个相似的长方体，它们的相似比为 35，求它们 的体积之比解解 长方体(a)的体积是3a3b3c=33abc，长方体(b)的体积是5a5b5c=53abc，所以长方体(a)与长方体(b)的体积的比是33abc53abc3353例例 4 4 图 2-175 是两个相似圆柱，它们的相似比为 23，求它们的体 积之比解解 小圆柱的体积是(2a)22b23a2b，大圆柱的体积是(3a)23b33a2b，所以小圆柱与大圆柱的体积之比为 23
4、33定理定理 3 3 相似形的体积之比，等于它的相似比的立方有了上面的知识，我们回到本题，是买小鱼便宜呢？还是买大鱼便 宜呢？我们假定同一种鱼的体形是相似形，对于鱼 A 和鱼 B 来说，A 与 B 的相似比为 1310，因此，根据定理 3，A 与 B 的体积之比为由于 A 鱼的价格是 1.5 元，B 鱼的价格是 1 元，所以价格比是 1.51=1.5，我们可以看到，A 的体积是 B 的体积的 2.197 倍，可是 A 的价格却是 B 的价格的 1.5 倍，所以买大鱼 A 比买小鱼 B 更合算下面我们进一步考虑一下鱼的高度和体积的关系，为此，我们先规 定标准：设 M 鱼高 1 厘米时，体积是 2
5、 厘米3，那么 N 鱼高是 x 厘米时，体积是 y 厘米3由于 M 和 N 是相似形，所以由相似形体积之比与相似根据上式，当 x 的值变化时，y 的值相应地跟着变化，于是，我们 就得到表 30.1从表中可以看到：当 x=1 时，x3=1，y=2x3=2这就是 M 鱼的身高与 体积的关系当 x 的长度由 1 厘米增长到 2 厘米，即增长 2 倍时，其体积 y 相应 地由 2 厘米3增长到 16 厘米3，即增长了 8(23)倍当 x 的长度由 1 厘米增长到 3 厘米，即增长 3 倍时，其体积 y 相应 地由 2 厘米3增长到 54 厘米3，即增长了 27(33)倍一般地，当 x 增长 n 倍时，
6、则体积 y 相应地增长 n3倍根据上表中的 x 和 y 的对应数值，可以画出 y=2x3的图像(图 2- 176)例例 5 5 利用 y=2x3的图像(图 2-176)，解答下列问题：(1)当 x=2.75 时，y 的值是多少？(2)当 y=10 时，x 的值是多少？解解 (1)在 x 轴上，对应于 x2.75 取一个点，通过这一点作 y 轴平 行线交 y=2x3的图像上的某一点，过这一点再作 x 轴的平行线交 y 轴于 一点，这一点对应的数值是 40，这样，就在 y 轴上得到了 x=2.75 时对 应的 y 值，即 y=40这就说明，当鱼 N 的高度为 2.75 厘米时，它的体 积约为 40
7、 厘米3(2)在 y 轴上对应于 y=10 取一点，过此点作 x 轴的平行线，交 y=2x3的图像于某点，再过这点作 y 轴的平行线，在 x 轴上得到了 y=10 对应的 x 值 1.75这说明当 N 的体积为 10 厘米3时，高度约为 1.75 厘米上面我们研究了鱼的身高和体积的图像，下面我们进一步考虑鱼的 身高和价格的关系为此，引用前面的条件，设鱼 B 的身高为 10 厘米， 价格是每斤 1 元，其体积假定为 50 厘米3由于鱼是相似的，在买鱼的时候，考虑到价格的便宜，假设鱼的价格和体积成正比例，那么鱼的身 高和价格之间有着怎样的关系呢？为此，设鱼 C 的身高为 x 厘米，体积 是 y 厘
8、米3，价格是 z 元，那么我们列出表 30.2首先，由于“鱼的体积与其身高的三次方成正比例”，所yax3， 考虑到鱼 B 的身高和体积，即 x=10 时，y=50，代入式，就有 50=a103，所以 a=0.05于是式就成为y=0.05x3 其次，根据“鱼的价格和体积成正比例”的假定，对于鱼 C 则有z=by， 由于式对于鱼 B 也是成立的，即 y=50 时，z=100，代入式，有 100=b50，所以 b=2，这样式就成为z=2y 再把代入，就得到z=20.05x3，所以 z=0.1x3 这就是鱼的身高和价格的关系表达式利用式就可以计算下面的 问题例例 6 6 设鱼的身高为 13 厘米，它的
9、价格每斤是多少元？解解 把 x=13 代入式，z0.11330.12197=219.7=220(分)=2.2(元)即每斤约二元二角如果把式中 x 和 z 的关系用数值来表示，就有表 30.3这个表中，以 x=10 时，z=100 作标准，联系到前面表中的结果，可 以看出：(1)鱼的身高增到 1.5 倍，价格便增到 3.375 倍(1.53倍)；(2)鱼的身高增到 2 倍，价格便增到 8 倍(23倍)；(3)鱼的身高增到 2.5 倍，价格便增到 15.625 倍(2.53倍)；(4)鱼的身高增到 3 倍，价格便增到 27 倍(33倍)一般地，鱼的身高增到 n 倍，其价格便增到 n3倍，根据表中
10、x 和 z 的对应数值，画出 z=0.1x3的图像，就得到图 2-177.练习三十练习三十1根据图 2-177 回答：(1)鱼的身高为 20 厘米时，它的每斤的价格是多少元？(2)鱼的价格是每斤 4 元时，其身高是多少厘米？2两张照片是同一张底片拍出的如果两张照片对应边长的比是 12，并且第一张照片的面积是 96 厘米2，那么第二张照片的面积是多少平方厘米？3设桌子正上方有一盏电灯，距离桌面 100 厘米，桌子高 30 厘米， 如果桌子的长为 60 厘米，宽为 35 厘米，那么桌面被电灯照射后的影子 是多少平方厘米？又影子周长是多少厘米？一 个半径为 2 厘米的银球，乙有五个半径为 1 厘米的银球，乙要用他的五 个银球换甲的那一个银球，如果交换成功，甲乙谁合算呢？
