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1、第四节第四节 不定积分的换元积分法不定积分的换元积分法不定积分时若凑微分法、分部法均解决不了问题，且被积函数中含有复杂的量（如：、等） ，则可以考虑使用换元积分法.arcsin xnaxb一、换元积分法例 641 求不定积分.1 1dxx解 这里主要障碍是 “” ，不妨令 此时 xt2xt这样把复杂的量“”换元成最简单的变量“ ”xt则 1 1dxx21 1dtt2 1tdtt1 121tdtt 12 (1)1dtt22ln 1ttC.22ln 1xxC例 642 求不定积分.1 1xdxe解 同样令主要障碍，此时xetlnxt则1 1xdxe1ln1dtt1 1dtt t11()1dtttl
2、nln 1ttC.ln(1)xxeC例 643 求不定积分.arcsin xdx解 令，此时，则arcsin xtsinxtarcsin xdxsintdtsinsintttdtsincostttC.2arcsin1xxxC例 644 求不定积分.2101xdx x解 令，此时，则1xt1xt 2101xdx x21011td tt21021ttdtt8910(2)tttdt789111 749Cttt .789111714191C xxx 从以上例题可见，换元可使复杂积分变得简单，可关键是怎么换.二、换元积分举例例 645 用换元法求下列不定积分：（1）； （2）； （3）；1xdxxxed
3、x1 1 1 1xdxx （4）； （5）； （6）.25xxdx311dx xx11xdx e 解（1）1xdxx2 1ttdttx22 1tdtt21 121tdtt 1211tdtt =222ln 1tttC=；22ln 1xxxC（2）xedx2txt e dt2tte dt22tttee dt21tetC=； 21xexC（3）1 1 1 1xdxx 21111txtd tt 2 21ttdt t22221ttdtt 2221tdtt244ln1tttC=；1 414ln1 1xxxC （4）25xxdx222225()55ttxttd4224 25ttdt5324 12575ttC
4、=；5324252512575xxC（5）311dx xx66 321 1xtdttt226t66 1dtt66arctanttC=；6666arctanxxC（6）11xdx e 211ln(1)xetdtt 2121dtt11 11dttt1ln1tCt.221 1ln 1 1eC e 可见前边例子中直接令“”或其它复杂的量“”也就行了.可若“”下含有t“”项，问题就不是那么简单了.2x例 646 利用三角公式（）换元，求积分.21 sincostt,2 2t 21x dx解 21x dxsincossinxttdt2cos tdt1 cos2 2tdt11cos2224dttd t11s
5、in224ttC11sin cos22tttC.11arcsincos arcsin22xxxC例 647 利用三角公式（）换元，求积分.21tansectt,2 2t 214dx x解 214dx x12tan2tan2secxtdttsectdtln sectanttC.ln sec arctan22xxC例 648 利用三角公式（）换元，求积分.2sec1tantt 0,2t329dxxx 解 329dxxx 33sec3sec27sec3tandtxttt211 27secdtt21cos27tdt1(1 cos2 )54t dt11sin254108ttC11sin cos5454t
6、ttC.1313arccossin arccos5418Cxxx例 649 求下列不定积分：（1）；（2）；（3）.sin sincosxdxxx1 1xdxx 23x xdx解（1）sin sincosxdxxx1 1 cotdxxcot xt1cot1darctt211 11dttt 2111 211tdttt 21111 2 12 1tdtdttt 2211111 2 12 12 1tdtdtdtttt 2111ln 1ln 1cot242ttarctC =；2111ln 1 cotln 1 cot242xxxC（2）1 1xdxx 2211txtdt t 222 1ttdt t 222
7、1 122 11ttdtdt tt 查积分表 （见文献文献）22212 1212 1tt dtdt t 2212 12arcsin12arcsin22tttttC 222 11arcsinttttC =；2+1arcsinxxxC（3）23x xdx3sectx3sec3tan3secttdt223 3 sectanttdt23 3 tantantdt33tan tC；333tanarcscoCx此题还可以用另一个很简单的解法：23x xdx22132xdx 1 2221332xd x；3 22133xC可见换元积分法不是一个很好的方法，凑微分法、分部法均解决不了，再考虑用它.思考题思考题 6
8、.46.41本节介绍的换元积分法中，换元的根本目的是什么？应注意什么问题？2总结一下利用三角公式换元积分法（三角代换法）的三种类型.3思考凑微分法、分部法及换元法三种积分方法的优先次序，如何选用？练习题练习题 6.46.41. 用换元法求下列不定积分：（1）； （2）； （3）.1xdxx31 12dxx31xdx x2. 利用三角代换求下列不定积分：（1）； （2）； 22ax dx0a 2214dx xx （3） 221dx x xa0a 练习题练习题 6.46.4 答案答案1.解 （1）1xdxx2 2111txtd tt221tdt3223ttC=；3212 13xxC（2）31 12
9、dxx331221xtd tt23 1tdtt21 131tdtt 1311tdtt =2333ln 12tttC=；233332323ln 122xxxC（3）31xdx x3111tdtt-x=t31tdtt2311dttt212Ctt =.212 11Cxx2. 解（1）22ax dx0a sincos( sin )xat atd at22cosatdt2 1 cos22at dt22 sin224aattC=；2 22arcsin22axxaxCa（2） 2214dx xx 21x2tan2tan4tan2sectdttt21cos 4sintdtt211sin4sindtt1 4sinCt ；1csc arctan42xC （3） 221dx x xa0a 1xsecsecsectanatdatatat1dta1tCa1arccosaCax
