《一元微分学的进一步讨论---taylor公式初探及一元微分学在应用问题上的算法化简》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一元微分学的进一步讨论---taylor公式初探及一元微分学在应用问题上的算法化简（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一元微分学的进一步讨论 -Taylor 公式初探及一元微分学在应用问题上的算法化简数理基础科学 孙宇浩1一元微分学的进一步讨论 -Taylor 公式初探及一元微分学在应用问题上的算法化简微积分诞生之初就显示了强大的威力，解决了许多过去认为是高不可攀的困难问 题，取得了辉煌的胜利。在几百年间，关于其的研究结果如黄河之水源源不竭，其 逻辑基础也不断强化 。对于初学者的我们更应该用其精华来武装自己的头脑。而学 习的过程总会有很多的思考与体会，现在我打算从头讲起与你们分享学生的一些拙 见。 先来基础的热身，因为它将很大程度上改变对这些基础知识其本身及 Taylor 公 式的看法，从低起点出发便会从高观
2、点来看一些事物，学生是这样认为的，所以在 论文（或者学习笔记更为恰当）中也是这样做的。 第一部分第一部分 预备知识预备知识【1】 我们来计算. k 1(1) )nppkk 这和式表示 ppppppL（1 -0 ）+(2 -1 )+(n -(n-1) ).因而. k 1(1) )=npppkkn 由此做出以下讨论【2】我们有恒等式22(1)21kkk对于 k=1,2，,n,将相应的恒等式加起来，我们得到22111(1) )21,nnnkkkkkk212,nknkn2111(1) 222nkn nknn我们得到了熟悉的公式2(1)122n nnL【3】由恒等式 332(1)331kkkk可得332
3、1111(1) )331nnnnkkkkkkkk32211133()22nknknn2321111(1)(21) 3266nkn nnknnn 类似地，由恒等式 4432(1)4641kkkkk可得443211111(1) )4641nnnnnkkkkkkkkkk4332214(23)2()nknknnnnnn343221111(1)() .4242nkn nknnn 采用类似的推理方式，利用数学归纳法可以证明以下结论：可以表示成 n 的 p+1 次多项式，其最高项系数为，常数项 1npkk 1 1p 为 0，即311 12 11.1npppp p kknc nc nc npL对于给定的 p,
4、上面公式中的系数当然都可以具体求出。鉴于本论1,pccL文所需，我们这里不再作深入的讨论了。 【5】设有这样一个曲线图形，它由曲线，OX 轴和直线 x=b 围成，我们来求pyx这个图形的面积。我们把 OX 轴上的闭区间分成 n 等份，其中第 n 个等份是0,b1,kkbbnn 相应的把曲线把上述曲线图形分成 n 个等宽的条形 1,0,1,2, .pkkbxbyxknnnL每一条形的面积介于两矩形条之间：kS 1().pp kkbkbSbnnnn（b）我们可以把矩形条之和当做曲线图形面积 S 的近似111nn ppkkkbkb nnnn（b）与（b）值。所分成的矩形条越细，这样的近似度就越高。事
5、实上，我们有11 1111 1211 1111=()()11ppnn ppppppp pppp kkcckbbbknc nc nc nbnnnnppnn LL（b）11 11 1 11111=()1ppnnpppp pp kkcckbbbkbnnnnpnn L（b）当 n 无线增大时上面两个和数趋于共同的极限值。这共同的极限应该看做所求11pb p的面积 S.这样我们求得这里，我们记和式的极限为。11pbSp a( )bf x dx所以我们有.11p pxcxp L（1）在热身将结束前，我们给出一个重要的积分式4这里我们认为 lnx+c 是在区间1ln xcdxxL（2）1 x （0，+）的标
6、准原函数表示（微积分学教程（第二卷） 第 263 目注 36）有了上述铺垫，下面，我们进入 Taylor 公式的讨论。 第二部分第二部分 TaylorTaylor 公式的讨论公式的讨论 牛顿曾说过， “微分即是把非线性的函数以线性映射代之” （古今数学思想第二卷） ， 而“数学是模式的科学” （在云大谭建国教授所开设课程“数学文化”中所得，学生 认为很是经典） ，所以我们的任务是要找到把一个非线性函数用一个较为简单的一元 多项式替之（学生知识面较窄，只能讨论一元微积分学的内容，这在论文之首便是 表明的）的宽泛算法。对于其探究过程的方法的讨论，我们可以由科学方法论的知 识清楚地知道，这两者之间我
7、们必然要定义一个联系。如对任意一个函数 f,和一个 一元多项式 g,我们可以这样描述它们的关系 （如是，我们有了以下的讨论，不过这 只是方法之一）探究道路一探究道路一 定义定义 对在的某领域有定义的任意一个函数 f,和一个一元多项式 g，其中 f，g 存0x在 n 阶导数，那么我们称多项式 g 为函数 f 的 n 阶近似，当 （1）f 与 g 在 x 处函数值相等 （2）f 的 k 阶导数与 g 的 k 阶导数在 x 处函数值相等（k=1,2,n） (该定义为学生自己做的，与其说是做，不如说只是把课本上的定义过程进行抽象化 与模式化，见笑，毕竟学生才疏学浅，如逻辑上有错误之处还望老师指出)有了
8、这个定义后，我们就可以把 g 拟合 f 的程度量度化，即自然数 n 的大小。 可上述讨论中，拟合程度只是基于那些来拟合的一元多项式函数（只不12,ng ggL过是建立在一元 n 次多项式环的精确度上）作比较，而没有与被拟合的函数 f 本身 作比较，这样的比较是较为空泛的，是不怎么可靠的，所以我们引入相对误差的慨 念，有了它之后，我们可以依据微分中值定理（1.本身 g 就是为对 f 实行导数的方 法所筛定的 2.这里我们已经认为 f 与 g 为等价，只不过是建立在一5元 n 次多项式环的精确度上，这是做差再除以的想法是自然的）得到其相对误差，0nx并称其对应的绝对误差为“拟合余项” 。 鉴于该思
9、路与高教社数学分析的思路是一样的，余下的应该有的或之前的讨论的补充就由该书来完成。之前，我们是通过定义两者之间的联系来讨论的，下面，我们将从两者各自本身出 发，研究其间关系 探究道路二探究道路二 【6】先考虑如下等比级数求和，并由高中知识，不难得出21111n npppppL可以看出，当，时，等式右边变为11p pn 1 1p也就是说，无穷幂级数之和的函数在上与函数是等价的，即1,11 1p 21=11,11npppp LL ：p所以，由式（1）21ln(1)=- 11nppppp LL（）2 =-2npppnLL（）其中1,1 p所以62 1ln(1)=2n nppppnLL（-1）其中1,
10、1 p所以，我们可以说 111111ln2=12345221kkLL这是多么美丽而又对称的式子，数学是美丽的科学，是为人惊叹的科学！【7】下面，我们来考察指数函数。 我们知道自然对数 e 是这样定义的 1lim(1)e又1 1 1lnln1,xxxxxxx所以1ln()ln11ln(1) ,1xxxx 设,那么1zxlimln(1)ln lim(1)zzz即 lim(1)zze 7由牛顿二项展开式（这里底数取值范围非常接近 1，故可用牛顿二项式展开）211211(1)(1)(1)(1)2!n zzzneznnnnn LLL当 n 趋于时，所以，代入上式，并以 x 代 z,我们得到了重要的展开公
11、式，10n如下2 n1()2!n xxxexo xnLL（3）特别的，当 x=1 时11112!3!enLL！【8】记,则由复数的知识xcossini（4）xcossinnnin（5）cossiniei由（3）式， 2( )12!n xixixexin LL212( 1)( 1)13!(21)!2!(2 )!inn nnxxi xxxnnLL（）（）=si nx+cosx8所以，实部对实部，虚部对虚部，即得212122( 1)sin()3!(21)!( 1)cos1()2!(2 )!n nnn nnxxxxo xnxxxo xn LL第三部分第三部分 一元微分学在一些个别案列中算法的简化一元微
12、分学在一些个别案列中算法的简化 在一些应用问题中，往往会遇到如下情况：根据题意我们得到一个关于未知量的 函数 f，需要求出在 f 某一实际范围内的最大值或者最小值（如最大收益额，最小耗 材等）.这时我们往往是通过求其一阶导数（甚至有时还要求出二阶导数）研究其值 的增长或递减性，而得出结果。这是比较麻烦的。但学生虽解题不多，但在解题过 后，发现，其中有些案列是不需要求导直接可看出结果的，比如【9】 （高教社数学分析第三版 226 页 11 题） 做一个圆柱形锅炉，已知其体积为 V，两端面材料的每单位面积价格为 a 元，侧面材 料的每单位面积价格为 b 元,问锅炉的直径与高的比等于多少时，造价最省
13、？解：记直径为 d,高为 h,造价为 s,则2 s24dab dh又24dvh所以由 AM-GM 不等式，得22 3242333s24242dabvab dhabd h其中，等号当且仅当2=dba db dhha，即时，等式成立9至此，漂亮地给出了该题的解法。 还有如下的题目也可以类似处理 【10】 （高教社数学分析第三版 227 页 19 题）椭圆的切线与两坐标轴分别交于 A,B 两点，22221xy ab（1） 求 AB 两点间距离的最小值； （2） 求OAB 的最小面积。解：记切点为00(,)p xy根据题意，可得.这些过程太简单，略去。2200,(,0)(0,)Bab xyA那么，44
14、44 2222 002222 00001()()abababABb xa yxyxyL（4）再由Cauchy 不等式，可得44 222222 0022 001=ababb xa yabxy（4）式右端等号当且仅当 344 2222020022 000=,xabab xa yxyyb：，即（）时等号成立。3300,abxyabab 对于第二问，AM-GM 不等式便直接给出了答案，不在赘述。10参考文献1 数学分析新讲，张筑生编著，北京大学出版社，1990 年 1 月第一版，2012. 2 微积分学教程，菲赤金哥尔茨，高教社，2006 年 1 月第二版，2009. 3 数学分析讲义，陈天权编著，北京大学出版社，2009 年 8 月第一版，2009. 4 数学分析，欧阳光中等编，高教社，2007 年 4 月第三版，2012. 5 古今数学思想，M.克莱因著，上海科学技术出版社，2009. 6 微积分和数学分析引论，R.柯朗，科学出版社，1982. 7 What is mathematics? R.柯朗,H.罗宾，I.斯图尔特著，复旦大学出版社，2012.
