《特征值与特征向量的概念、性质及其求法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《特征值与特征向量的概念、性质及其求法（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、机动目录上页下页返回结束四、小结思考题三、特征值与特征向量的求法二、特征值与特征向量的性质一、特征值与特征向量的概念四、小结思考题三、特征值与特征向量的求法二、特征值与特征向量的性质一、特征值与特征向量的概念第二节方阵的特征值与特征向量第二节方阵的特征值与特征向量第五章 相似矩阵及二次型机动目录上页下页返回结束一、特征值与特征向量的概念说明说明., 0. 1言的特征值问题是对方阵而特征向量言的特征值问题是对方阵而特征向量 x.0,0,. 2 的特征值都是矩阵的即满足方程值有非零解的就是使齐次线性方程组的特征值阶方阵的特征值都是矩阵的即满足方程值有非零解的就是使齐次线性方程组的特征值阶方阵AEA
2、xEAAn .,1的的特征向量特征向量的对应于特征值称为量非零向的的对应于特征值称为量非零向的特征值特征值称为方阵这样的数那末成立使关系式维非零列向量和如果数阶矩阵是设称为方阵这样的数那末成立使关系式维非零列向量和如果数阶矩阵是设定义定义AxAxAxxnnA 一、特征值与特征向量的概念一、特征值与特征向量的概念机动目录上页下页返回结束0. 3 EA 0212222111211 nnnnnnaaaaaaaaa次方程为未知数的一元称以次方程为未知数的一元称以n 0 EA . 的为 的为A特征方程特征方程,次多项式的它是次多项式的它是n 记记 EAf 称其称其. 的为方阵 的为方阵A特征多项式特征多
3、项式机动目录上页下页返回结束 则有的特征值为阶方阵设则有的特征值为阶方阵设,. 4 21nijaAn ;)1(221121nnnaaa .)2(21An 机动目录上页下页返回结束解解例1例1.3113的特征值和特征向量求的特征值和特征向量求 A的特征多项式为的特征多项式为A 31131)3(2 )2)(4(682 . 4, 221 的特征值为所以 的特征值为所以A,00 231123,2211 xx对应的特征向量应满足时当对应的特征向量应满足时当 机动目录上页下页返回结束 . 0, 02121 xxxx即即,21xx解得解得.111 p取为所以对应的特征向量可取为所以对应的特征向量可,00 1
4、111,00 431143,421212 xxxx即由时当即由时当 .11,221 pxx取为所以对应的特征向量可解得取为所以对应的特征向量可解得机动目录上页下页返回结束例例.201034011 的特征值和特征向量求矩阵 的特征值和特征向量求矩阵 A解解,)1( )2(2010340112 EAA的特征多项式为的特征多项式为. 1, 2321 的特征值为所以 的特征值为所以A由解方程时当由解方程时当. 0)2(,21 xEA 机动目录上页下页返回结束, 0000100010010140132 EA, 1001 p 得基础解系得基础解系.2)0(11的全部特征值是对应于所以 的全部特征值是对应于
5、所以 kpk 由解方程时当由解方程时当. 0)(,132 xEA , 000210101101024012 EA机动目录上页下页返回结束, 1212 p 得基础解系得基础解系.1)0(322的全部特征值是对应于所以的全部特征值是对应于所以 kpk机动目录上页下页返回结束例例设设, 314020112 A求求A的特征值与特征向量解的特征值与特征向量解 314020112 EA ,2)1(2 02)1(2令令. 2, 1321 的特征值为得 的特征值为得A机动目录上页下页返回结束 由解方程时当由解方程时当. 0,11 xEA , 000010101414030111 EA, 1011 p得基础解系
6、得基础解系的全体特征向量为故对应于的全体特征向量为故对应于11 ).0( 1 kpk机动目录上页下页返回结束由解方程时当由解方程时当. 02,232 xEA , 000000114114000114 2 EA得基础解系为：得基础解系为：, 401 , 11032 pp :232的全部特征向量为所以对应于的全部特征向量为所以对应于 ).0,(323322不同时为不同时为kkpkpk 机动目录上页下页返回结束例例证明：若是矩阵证明：若是矩阵A的特征值，是的特征值，是A的属于 的特征向量，则的属于 的特征向量，则 x.)1(是自然数的特征值是是自然数的特征值是mAmm .,)2(11的特征值是可逆时
7、当的特征值是可逆时当 AA 证明证明 xAx 1 xAxxAAxA xxA22 再继续施行上述步骤次，就得再继续施行上述步骤次，就得2 mxxAmm .,征向量的特对应于是且的特征值是矩阵故征向量的特对应于是且的特征值是矩阵故mmmmAxA(3)当当A可逆时，可逆时， -1|A|是是A*的特征值。的特征值。机动目录上页下页返回结束可得由可得由xAx xAxAAxA111 xxA11 , 0,2 可逆时当 可逆时当A., 1111的特征向量对应于是且的特征值是矩阵故的特征向量对应于是且的特征值是矩阵故 AxA机动目录上页下页返回结束(3)AA*=|A|EA*=|A|A-1A*x=|A|A-1x=
8、|A| -1x所以所以 -1|A|是是A*的特征值。的特征值。机动目录上页下页返回结束二、特征值和特征向量的性质.,.,221212121线性无关则各不相等如果向量依次是与之对应的特征个特征值的是方阵设线性无关则各不相等如果向量依次是与之对应的特征个特征值的是方阵设定理定理mmmmppppppmA证明证明使设有常数使设有常数mxxx,21 . 02211 mmpxpxpx则则 , 02211 mmpxpxpxA即即, 0222111 mmmpxpxpx 类推之，有类推之，有. 0222111 mmk mkkpxpxpx 1, 2 , 1 mk二、特征值与特征向量的性质二、特征值与特征向量的性质
9、机动目录上页下页返回结束把上列各式合写成矩阵形式，得把上列各式合写成矩阵形式，得 11 221 112211111,m mmmmmmpxpxpx 0 , 0 , 0 于是有可逆从而该矩阵该行列式不等于不相等时当各式列阵的行列式为范德蒙行上式等号左端第二个矩于是有可逆从而该矩阵该行列式不等于不相等时当各式列阵的行列式为范德蒙行上式等号左端第二个矩., 0,i ,0 ,0 ,0,2211 mmpxpxpx ., 2 , 10mjpxjj 即即, 0 jp但但 ., 2 , 10mjxj 故故.,21线性无关所以向量组线性无关所以向量组mppp机动目录上页下页返回结束注意注意. 属于不同特征值的特征
10、向量是线性无关 的属于不同特征值的特征向量是线性无关 的. 属于同一特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量属于同一特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量. 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征 值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一； 一个特征向量不能属于不同的特征值矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征 值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一； 一个特征向量不能属于不同的特征值机动目录上页下页返回结束即有的特征向量的的属于特征值同时是如果设因为即有的特征向量的的属于特征值同时是如果设因为,2121 Ax xAxxAx21, xx21 , 021 x , 021 由于由于, 0 x则则.与定义矛盾与定义矛盾机动目录上页下页返回结束三、特征值与特征向量的求法例5例5设设A是阶方阵，其特征多项式为是阶方阵，其特征多项式为n 011 1aaaAEfn nn A .的特征多项式求的特征多项式求AT解解 AEfT AT
