《2013年高考数学必考知识点7 三角恒等变换与解三角形》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013年高考数学必考知识点7 三角恒等变换与解三角形（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、20132013 年高考数学必考知识点年高考数学必考知识点 7 7 三角恒等变换与解三角形三角恒等变换与解三角形1(2012全国)已知为第二象限角，sin cos ，则 cos 2( ) 33A B 5359C. D.5953答案：A 将 sin cos 两边平方，可得 1sin 2 ，sin 2 ，所以(sin cos )331 32 321sin 2 ，因为是第二象限角，所以 sin 0，cos 0，所以sin cos ，所以 cos 5 31532(sin cos )(cos sin )，选A.532(2012江西)若 tan 4，则 sin 2( )1 tan A. B. 1 51 4
2、C. D.1 31 2答案：D tan 4，4tan 1tan2，1 tan 1tan2 tan sin 22sin cos .2sin cos sin2cos22tan 1tan22tan 4tan 1 23(2012天津)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知 8b5c，C2B，则 cos C( )A. B 7 257 25C D.7 2524 25答案：A 因为 8b5c，则由C2B，得 sin Csin 2B2sin Bcos B，由正弦定理得 cos B ，所以 cos Ccos 2B2cos2B1221，故选 A.sin C 2sin Bc 2b4 5(4 5)7
3、 254(2012北京)在ABC中，若a2，bc7，cos B ，则b_.1 4解析 由余弦定理，得b24(7b)222(7b)，解得b4.(1 4)答案 4来源:Z&xx&k.Com 1对于三角恒等变换，高考命题以公式的基本运用、计算为主，其中多以与角所在范围、三角函数的性质、三角形等知识结合为命题 的热点2对于解三角形，重点考查正弦定理、余弦定理两公式在解三角形中的应用，通过三角形中的边、角关系和相关公式的灵活运用来考查学生分析问题、解决问题的能力以及数学运算能力. 1在三角恒等变换过程中，准确地记忆公式，适当地变换式子，有效地选取公式是解决问题的关键2在解三角形的试题时，要弄清楚三角形三
4、边、三角中已知什么，求什么，这些都是解决问题的思维基础，分析题设条件，利用正、余弦定理进行边与角之间的相互转化是解决问题的关键.必备知识必备知识两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()sin coscos sin .(2)cos()cos cossin sin .(3)tan().tan tan 1 tan tan二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 22sin cos .(2)cos 2cos2sin22cos2112sin2.(3)tan 2.2tan 1tan2(4)降幂公式：sin2 ，cos2.1cos 2 21cos 2 2正弦定理及其变形2R(2R为ABC外接圆的直径
5、)a sin Ab sin Bc sin C变形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C.sin A，sin B，sin C.a 2Rb 2Rc 2Rabcsin Asin Bsin C.余弦定理及其推论a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C.推论：cos A，cos B，b2c2a2 2bca2c2b2 2accos C.a2b2c2 2ab变形：b2c2a22bccos A，a2c2b22accos B，a2b2c22abcos C.面积公式SABCbcsin Aacsin Babsin C.1 21 21 2必备方法必备方法
6、1 “变角”是三角变换的灵魂，因此要注意分析条件与所求之间角的联系，常考察是否具有和、差、倍、半关系或互余、互补关系如 2与是倍角关系此外，根据条件与所求中的角的特点，常要对角进行恰当的配凑，如：()，2()()等 2( 2) ( 2)2要充分把握三角函数的变换规律三角变换时，需会用“切化弦” “弦化切” “辅助角” “1 的代换”等技巧，追求“名、角、式”(三角函数名、角度、运算结构)的统一，其中角的变换是三角变换的核心3在三角形内求值、证明或判断三角形形状时，要用正、余弦定理完成边与角的互化，一般是都化为边或都化为角，然后用三角公式或代数方法求解，从而达到求值、证明或判断的目的解题时要注意
7、隐含条件4解三角形的应用问题时，要将条件和求解目标转化到一个三角形中，然后用正、余弦定理或三角公式完成求解，同时注意所求结果要满足实际问题的要求，还要注意对不同概念的角的正确理解与应用，如俯角、仰角、方位角、视角等.的化简、求值的化简、求值利利用用三三角角恒恒等等变变换换进进行行三三角角函函数数三角恒等变换是三角运算的核心和灵魂，常考查：三角恒等变换在化简、求值等方面的简单应用；三角恒等变换与三角形中相关知识的综合、与向量的交汇性问题，多以解答题形式出现，难度中档 来源:学科网 ZXXK【例 1】 (2012广东)已知函数f(x)2cos(其中0，xR R)的最小正周期为 10 .(x 6)(
8、1)求的值；(2)设，f ，f，求 cos()的值0， 2(55 3)6 5(55 6)16 17审题视点 听课记录审题视点 (1)由T10 可得的值；(2)化简所给的已知条件，求得 cos 、sin 的值，将 cos()展开，代入数据即可解 (1)f(x)2cos，0 的最小正周期T10， .(x 6)2 1 5(2)由(1)知f(x)2cos，(1 5x 6)而，f ，f(5)，0， 2(55 3)6 55 616 172cos ，1 5(55 3) 66 52cos，1 5(55 6) 616 17即 cos ，cos ，( 2)3 58 17于是 sin ，cos ，sin ，3 54
9、 515 17cos()cos cos sin sin .4 58 173 515 1713 85(1)给值求角的本质还是给值求值，即欲求某角，也要先求该角的某一三角函数值(2)由于三角函数的多值性，故要对角的范围进行讨论，确定并求出限定范围内的角(3)要仔细观察分析所求角与已知条件的关系，灵活使用角的变换，如()， 2等 2【突破训练 1】 已知 cos，x.(x 4)210( 2，34)(1)求 sin x的值；(2)求 sin的值(2x 3)解 (1)因为x，( 2，34)所以x， 4( 4，2)于是 sin .(x 4)1cos2(x4)7 210sin xsin(x 4) 4sinc
10、oscossin (x 4) 4(x 4) 4 .7 21022210224 5(2)因为x，( 2，34)所以 cos x .1sin2x1(45)23 5sin 2x2sin xcos x，cos 2x2cos2x1.24 257 25所以 sinsin 2xcos cos 2xsin .(2x 3) 3 3247 350三三角角函函数数与与解解三三角角形形以三角形为载体，以三角变换为核心，结合正(余)弦定理考查解斜三角形是高考的一个热点问题根据所给式子、三角形的特点合理选择正弦或余弦定理是解题的关键，综合考查学生逻辑分析和计算推理能力 【例 2】 (2011山东)在ABC中，内角A，B，
11、C的对边分别为a，b，c.已知.cos A2cos C cos B2ca b(1)求的值；sin C sin A(2)若 cos B ，b2，求ABC的面积S.1 4审题视点 听课记录审题视点 (1)根据所给式子和第(1)问式子的特征，采用边化角较为简单；(2)借用第(1)问的结果可知a、c间的关系，再结合 cos ，b2，利用余弦定理可求解1 4解 (1)由正弦定理，设k，a sin Ab sin Bc sin C则，2ca b2ksin Cksin A ksin B2sin Csin A sin B所以.cos A2cos C cos B2sin Csin A sin B即(cos A2c
12、os C)sin B(2sin Csin A)cos B，化简可得 sin(AB)2sin(BC)又ABC，所以原等式可化为 sin C2sin A，因此2.sin C sin A(2)由2，得c2a.sin C sin A由余弦定理b2a2c22accos B及 cos B ，1 4得 4a24a24a2 ，解得a1，从而c2.1 4又因为 cos B ，且 0B，所以 sin B.1 4154因此Sacsin B 12.1 21 2154154在含有三角形内角的三角函数和边的混合关系式中要注意变换方向的选择正弦定理、余弦定理、三角形面积公式本身就是一个方程，在解三角形的试题中方程思想是主要
13、的数学思想方法，要注意从方程的角度出发分析问题【突破训练 2】 (2012江西)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A，bsincsin 4( 4C)a.( 4B)(1)求证：BC； 2(2)若a，求ABC的面积2(1)证明 由bsincsina，应用正弦定理，得 sin Bsinsin Csinsin A，( 4C)( 4B)( 4C)( 4B)sin Bsin C，(22sin C22cos C)(22sin B22cos B)22整理得 sin Bcos Ccos Bsin C1，来源:学*科*网 Z*X*X*K即 sin(BC)1，由于 0B，C ，从而BC.3 4 2
14、(2)解 BCA，因此B，C.3 45 8 8由a，A，2 4得b2sin，c2sin，asin B sin A5 8asin C sin A 8所以ABC的面积Sbcsin Asinsincossin .1 225 8 82 8 81 2易错点拨 第(2)问考生往往在遇到非特殊角的情况下思维受阻，导致丢分，遇到这种情况时要学会分析推测或用转化法使解题进行下去向量与解三角形的综合考查解三角形问题常以向量为载体，解题时通常先利用向量知识将有关向量关系式转化为三角形中的边角关系，然后再借助解三角形的知识求解，难度中档偏低 【例 3】 在ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，A，(1)c2b. 63(1)求角C；(2)若
