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1、I、圆的相关概念与性质 A1I 圆的相关概念与性质一，圆和圆相关的定义：（图一） （图二） （图三）1. 圆的定义：如图一，在一个平面内，线段 0A 绕它固定的的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形就叫做圆。记作O，读作圆 O.点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径。确定一个确定一个 圆需要两个条件：第一是圆心，第二是半径。圆需要两个条件：第一是圆心，第二是半径。2. 弦和直径：(1)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图二中的 CD.(2)直径：经过圆心的弦叫做直径，如图中的 AB.直径等于半径的两倍。3.弧：(1) 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号表示，以
2、A,B 为端点的的弧记作,读作弧 AB.AB(2)半圆、优弧、劣弧：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。大于半圆的弧叫做优弧，优弧大于 180 用三个字母表示，如图三中的.小于半圆ACB的弧叫做劣弧，如图三中的。AB（3）等弧：在同圆或者等圆中能够相互重合的弧是等弧，度数或者长度相等的弧不一度数或者长度相等的弧不一定是等弧定是等弧。I、圆的相关概念与性质 A2（图四） （图五）4. 同心圆与等圆（1）同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。如图四，半径为 r1与半径 为 r2的O 叫做同心圆。（2）等圆：圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆。如图五中的O 1与O
3、2的半径 都是 r,它们是等圆。同圆或者等圆的半径相同。（3）同圆是指同一个圆；等圆、同心圆是指两个及两个以上的圆。（图六） （图七） 5. 圆心角和圆周角 （1）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如图六中的AOB.(圆心角的度数等于它 所对弧的度数) （2）圆周角：顶点在圆上且两边都和圆相交的角，如图六中的ACB.二、其它图形与圆的关系1. 三角形的外接圆与外心 （1） 不在同一条直线上的三点确定一个圆。经过三角形的三个顶点的圆叫做三角 形的外接圆，这个三角形叫做圆的内接三角形。三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心。如 图七，O 是ABC 的外接圆，ABC 是O 的内接三角形，点 O 是ABC
4、 的外心。（2） 外心的位置：三角形外心实质上是三角形三条垂直平分线上的交点。三角形外心实质上是三角形三条垂直平分线上的交点。锐角三 角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心是直角三角形斜边的中点；钝角三角形 的外心在三角形的外部。 （3） 三角形外心的性质：三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，同时也三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，同时也 等于外接圆的半径。一个三角形有且只要一个外接圆，但一个圆有无所个内接三角形。等于外接圆的半径。一个三角形有且只要一个外接圆，但一个圆有无所个内接三角形。 I、圆的相关概念与性质 A3（图八） （图九）2. 三角形的内切圆与内心（1） 切线：
5、和圆只有一个公共点的直线是圆的切线，唯一公共点叫做切点。（2） 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。如图八，I 是ABC 的内切圆，ABC 是I 的外切三角形，点 I 是ABC 的内心。（3） 一个三角形有且只要一个内切圆，但一个圆有无所个外切三角形。一个三角形有且只要一个内切圆，但一个圆有无所个外切三角形。（4） 三角形的内心是三条角平分线的交点，三角形的内心是三条角平分线的交点，因此，钝角三角形、直角三角形、锐角三角形的内心都在三角形的内部。（5） 三角形的内心到三边的距离相等，且等于三角形内切圆的半径。（6）如果三
6、角形的三边长为 a,b,c.内切圆半径为 r,则三角形的面积为 S= (a+b+c)r.12如果直角三角形（如图九）的两直角边长为 a,b.斜边长为 c,则此直角三角形的内切圆的半径 r=a + b - c2I、圆的相关概念与性质 A4（图九） （图十） (图十一)（图十二） （图十三）3. 圆的内接四边形（1） 如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，这个四边形就叫做圆的内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆。如图九，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，O 是四边形 ABCD 的外接圆。（2） 任意一个三角形都有一个外接圆，但任意一个四边形不一定有外接圆，所以圆内接四边形是特殊的四边形。
7、四边形的外接圆圆心到这个四边形的各个顶点的距离四边形的外接圆圆心到这个四边形的各个顶点的距离相等且等于外接圆的半径相等且等于外接圆的半径；反过来，如果四边形的各个顶点到某一点的距离相等，则这个四边形的四个顶点在同一个圆上（四点共圆） 。4. 圆的外切四边形（1） 各边都与圆相切的四边形叫做圆的外切四边形。如图十，四边形 ABCD 是O 的外切四边形，O 是四边形 ABCD 的内切圆。（2） 任何一个三角形都有内切圆，但任意一个四边形不一定有内切圆。如果一个四边形的两组对边之和相等，则这个四边形一定有一个内切圆。一个圆可以有无数个外切四边形。四边形内切圆的圆心到各边的距离相等，且都等于内切圆的半
8、径。四边形内切圆的圆心到各边的距离相等，且都等于内切圆的半径。（3）圆的外切平行四边形是菱形，圆的外接矩形是正方形。5. 弓形和扇形（1） 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形，如图十一，弦 AB 和弧 AB 与弧 ACB 组成两个不同的弓形（2） 扇形：一天弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。如图十二。弧 AB 和半径 OA,OB 组成的图形是一个扇形，读作扇形 OAB.(3) 图十三中的阴影部分面积（即弓形面积）一般为 S S 弓形弓形=S=S 扇形扇形 AOB-SAOBAOB-SAOBI、圆的相关概念与性质 A5三、圆的基本性质（图十四） （图十五） （图十六）1.
9、圆的对称性：（1）圆是中心对称图形：将圆绕圆心旋转 180 能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心。（2）圆是轴对称图形：经圆心任意画一条直线，并沿直线将圆对折，直线两旁的部分能够完成重合，所以圆是轴对称图形。每一条直径所在的的直线都是它的对称轴，所以圆有所以圆有无数条对称轴。无数条对称轴。 （圆的对称轴不是直径，而是直径所在的直线）（圆的对称轴不是直径，而是直径所在的直线）2.垂径定理及其推论（1） 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。如图十四，CD 是O 的直径，AB 是弦，CDAB,垂足为 E,则 AE=EB, = ，= 。ADDBACBC（2）
10、平分弦（非直径）（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。（3） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（4） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。（5） 圆的两条平行弦所夹的弧相等。如图十五，如果 CDAB, 则= ADBC（6） a 经过圆心，b 垂直于弦，c 平分弦（被平分的弦不是直径） ，d 平分弦所对的优弧或者劣弧，一条直线如果满足上面四项条件中的两项，也一定满足其它两项。3. 圆心角、弧、弦、和弦心距之间的关系（1） 在同圆或者等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，弦心距相等。（2） 在同圆或者等圆中，如果两个圆心角、两条弧、
11、两条弦或者两条弦的弦心距中有一对量相等。那么它们所对应的其余各组量都分别相等。如图十六，O 中，AOB=COD,AB=CD, = ，OM=ON,四个条件中有一个条件满足，其它三个结论也相应ABCD成立。I、圆的相关概念与性质 A6（图十七） （图十八） 4. 圆周角定理及其推论（1） 在同圆或者等圆中，同弧或者等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。如图十七所示，圆周角A 和圆心角BOC 同对着，则A= BOCBC12（2） 同弧或等弧（决对不能改成同弦或者等弦）（决对不能改成同弦或者等弦）所对的圆周角相等，同圆或者等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。（3） 半圆（或直径）所对的
12、的圆周角等于 90，90 的圆周角所对的弧也相等。（4） 如果三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。5. 圆内接四边形的定理（1） 圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角(与某个外角相邻的内角的对角)。如图十八，A+C=180，B+2=180，1=B.（2） 如四边形的一组对角互补，或者四边形的一个外角等于它的内对角，则这个四边形内接于圆。（图十九） （图二十） （图二十一）例 1.如图十九，是一条铺设的的直径为 2 米的通水管道横截面，其水面宽为 1.6 米，则这条管道中此时的水深为多少米？（0.4）例 2.如图二十，AB=2CD,那么与 2间是什么关
13、系？ABCDI、圆的相关概念与性质 A7例 3.如图二十一，AB 为O 的直径，AB=AC,BC 交O 于点 D,AC 交O 于点 E,BAC=45.求 1.EBC 的度数(22.5)，2.求证：BD=CD.（图二十二） （图二十三） （图二十四）题一：如图二十二，AB 是O 的弦，半径 OCAB 于点 D,且 AB=6cm,OD=4cm，求 DC 的长。题二：ABC 的三条边长为 a,b,c,它的内切圆半径为 r,则ABC 的面积为多少？题三：如图二十三，AB 为O 的直径，CD 为圆内的一条弦，如果 AB=10cm，CD=8cm,则 A,B两点到直线 CD 的距离的和等于多少？题四：如图二十四，在同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于 C,D,已知 AB=2CD，AB 的弦心距等于 CD 的一半，那么同心圆大圆与小圆的半径之比是多少？
