2013中考数学压轴专题训练1-第一部分函数图象中点的存在性问题

《2013中考数学压轴专题训练1-第一部分函数图象中点的存在性问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013中考数学压轴专题训练1-第一部分函数图象中点的存在性问题（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、2013 中考数学压轴专题训练中考数学压轴专题训练11-1 因动点产生的相似三角形问题因动点产生的相似三角形问题（12 宁波宁波 26）如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象交 x 轴于 A（1，0） ，B（2，0） ，交 y 轴于 C（0，2） ，过A，C 画直线 （1）求二次函数的解析式； （2）点 P 在 x 轴正半轴上，且 PA=PC，求 OP 的长； （3）点 M 在二次函数图象上，以 M 为圆心的圆与直线 AC 相切，切点为 H 若 M 在 y 轴右侧，且CHMAOC（点 C 与点 A 对应） ，求点 M 的坐标；若M 的半径为，求点 M 的坐标分析：（1）根据与 x 轴的两

2、个交点 A、B 的坐标，利设出两点法解析式，然后把点 C 的坐标代入计算求出 a 的值，即可得到二次函数解析式； （2）设 OP=x，然后表示出 PC、PA 的长度，在 RtPOC 中，利用勾股定理列式，然后解方程即可； （3）根据相似三角形对应角相等可得MCH=CAO，然后分（i）点 H 在点 C 下方时，利用同位角相等，两直线平行判定 CMx 轴，从而得到点 M 的纵坐标与点 C 的纵坐标相同，是2，代入抛物线解析式计算即可；（ii）点 H 在点 C 上方时，根据（2）的结论，点 M 为直线 PC 与抛物线的另一交点，求出直线 PC 的 解析式，与抛物线的解析式联立求解即可得到点 M 的坐

3、标； 在 x 轴上取一点 D，过点 D 作 DEAC 于点 E，可以证明AED 和AOC 相似，根据相似三角形对应边 成比例列式求解即可得到 AD 的长度，然后分点 D 在点 A 的左边与右边两种情况求出 OD 的长度，从而得到 点 D 的坐标，再作直线 DMAC，然后求出直线 DM 的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点 M 的 坐标解答：解：（1）设该二次函数的解析式为：y=a（x+1） （x2） ，将 x=0，y=2 代入，得2=a（0+1） （02） ，解得 a=1，抛物线的解析式为 y=（x+1） （x2） ，即 y=x2x2；（2）设 OP=x，则 PC=PA=x+1，在 Rt

4、POC 中，由勾股定理，得 x2+22=（x+1）2，解得，x= ，即 OP= ；（3）CHMAOC，MCH=CAO，2013 中考数学压轴专题训练中考数学压轴专题训练2（i）如图 1，当 H 在点 C 下方时，MCH=CAO，CMx 轴，yM=2，x2x2=2，解得 x1=0（舍去） ，x2=1，M（1，2） ，（ii）如图 1，当 H 在点 C 上方时，MCH=CAO，PA=PC，由（2）得，M 为直线 CP 与抛物线的另一交点，设直线 CM 的解析式为 y=kx2，把 P（ ，0）的坐标代入，得 k2=0，解得 k= ，y= x2，由 x2=x2x2，解得 x1=0（舍去） ，x2= ，

5、此时 y= 2=，M（ ，） ，在 x 轴上取一点 D，如图（备用图） ，过点 D 作 DEAC 于点 E，使 DE=，在 RtAOC 中，AC=，COA=DEA=90，OAC=EAD，AEDAOC，=，即=，解得 AD=2，D（1，0）或 D（3，0） 过点 D 作 DMAC，交抛物线于 M，如图（备用图）则直线 DM 的解析式为：y=2x+2 或 y=2x6，当2x6=x2x2 时，即 x2+x+4=0，方程无实数根，当2x+2=x2x2 时，即 x2+x4=0，解得 x1=，x2=，点 M 的坐标为（，3+）或（，3） 2013 中考数学压轴专题训练中考数学压轴专题训练3点评：本题是对二

6、次函数的综合考查，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，相似三角形的 性质，两函数图象交点的求解方法，综合性较强，难度较大，要注意分情况讨论求解1-2 因动点产生的等腰三角形问题因动点产生的等腰三角形问题（12 临沂临沂 26）如图，点 A 在 x 轴上，OA=4，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120至 OB 的位置 （1）求点 B 的坐标； （2）求经过点 AO、B 的抛物线的解析式； （3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点 P，使得以点 P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在， 求点 P 的坐标；若不存在，说明理由解答：解：（1）如图，过 B 点作 BCx 轴，垂足

7、为 C，则BCO=90，AOB=120，BOC=60，又OA=OB=4，OC= OB= 4=2，BC=OBsin60=4=2，点 B 的坐标为（2，2） ；（2）抛物线过原点 O 和点 AB，可设抛物线解析式为 y=ax2+bx，将 A（4，0） ，B（22）代入，得，解得，此抛物线的解析式为 y=x2+x（3）存在， 如图，抛物线的对称轴是 x=2，直线 x=2 与 x 轴的交点为 D，设点 P 的坐标为（2，y） ，若 OB=OP，则 22+|y|2=42，解得 y=2，当 y=2时，在 RtPOD 中，PDO=90，sinPOD=，POD=60，POB=POD+AOB=60+120=18

8、0， 即 P、O、B 三点在同一直线上，y=2不符合题意，舍去，点 P 的坐标为（2，2）若 OB=PB，则 42+|y+2|2=42，解得 y=2，2013 中考数学压轴专题训练中考数学压轴专题训练4故点 P 的坐标为（2，2） ，若 OP=BP，则 22+|y|2=42+|y+2|2，解得 y=2，故点 P 的坐标为（2，2） ，综上所述，符合条件的点 P 只有一个，其坐标为（2，2） ，1-3 因动点产生的直角三角形问题因动点产生的直角三角形问题（12 广州广州 24）如图，抛物线 y=与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C （1）求点 A、B

9、的坐标； （2）设 D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当ACD 的面积等于ACB 的面积时，求点 D 的坐标； （3）若直线 l 过点 E（4，0） ，M 为直线 l 上的动点，当以 A、B、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三 个时，求直线 l 的解析式分析：（1）A、B 点为抛物线与 x 轴交点，令 y=0，解一元二次方程即可求解 （2）根据题意求出ACD 中 AC 边上的高，设为 h在坐标平面内，作 AC 的平行线，平行线之间的距离 等于 h根据等底等高面积相等的原理，则平行线与坐标轴的交点即为所求的 D 点 从一次函数的观点来看，这样的平行线可以看做是直线 AC 向上或向下平移而形

10、成因此先求出直线 AC 的 解析式，再求出平移距离，即可求得所作平行线的解析式，从而求得 D 点坐标 注意：这样的平行线有两条，如答图 1 所示 （3）本问关键是理解“以 A、B、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个”的含义 因为过 A、B 点作 x 轴的垂线，其与直线 l 的两个交点均可以与 A、B 点构成直角三角形，这样已经有符合 题意的两个直角三角形；第三个直角三角形从直线与圆的位置关系方面考虑，以 AB 为直径作圆，当直线与 圆相切时，根据圆周角定理，切点与 A、B 点构成直角三角形从而问题得解2013 中考数学压轴专题训练中考数学压轴专题训练5注意：这样的切线有两条，如答图 2 所

11、示解答：解：（1）令 y=0，即=0，解得 x1=4，x2=2，A、B 点的坐标为 A（4，0） 、B（2，0） （2）SACB= ABOC=9，在 RtAOC 中，AC=5，设ACD 中 AC 边上的高为 h，则有 ACh=9，解得 h=如答图 1，在坐标平面内作直线平行于 AC，且到 AC 的距离=h=，这样的直线有 2 条，分别是 l1和 l2，则直线与对称轴 x=1 的两个交点即为所求的点 D设 l1交 y 轴于 E，过 C 作 CFl1于 F，则 CF=h=，CE= 设直线 AC 的解析式为 y=kx+b，将 A（4，0） ，B（0，3）坐标代入，得到，解得，直线 AC 解析式为 y

12、= x+3来源:学.科.网直线 l1可以看做直线 AC 向下平移 CE 长度单位（ 个长度单位）而形成的，直线 l1的解析式为 y= x+3 = x 则 D1的纵坐标为 （1） =，D1（4，） 同理，直线 AC 向上平移 个长度单位得到 l2，可求得 D2（1，）综上所述，D 点坐标为：D1（4，） ，D2（1，） （3）如答图 2，以 AB 为直径作F，圆心为 F过 E 点作F 的切线，这样的切线有 2 条 连接 FM，过 M 作 MNx 轴于点 NA（4，0） ，B（2，0） ，F（1，0） ，F 半径 FM=FB=3又 FE=5，则在 RtMEF 中，ME=4，sinMFE= ，cos

13、MFE= 2013 中考数学压轴专题训练中考数学压轴专题训练6在 RtFMN 中，MN=MNsinMFE=3 =，FN=MNcosMFE=3 = ，则 ON= ，M 点坐标为（ ，）直线 l 过 M（ ，） ，E（4，0） ，设直线 l 的解析式为 y=kx+b，则有，解得，所以直线 l 的解析式为 y=x+3同理，可以求得另一条切线的解析式为 y=x3综上所述，直线 l 的解析式为 y=x+3 或 y=x3点评：本题解题关键是二次函数、一次函数以及圆等知识的综合运用难点在于第（3）问中对于“以 A、B、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个”条件的理解，这可以从直线与圆的位置关系方面入手解

14、决本题难度较大，需要同学们对所学知识融会贯通、灵活运用1-4 因动点产生的平行四边形问题因动点产生的平行四边形问题（12 福州福州 21 ）如图，在 RtABC 中，C90，AC6，BC8，动点 P 从点 A 开始沿边 AC 向点 C 以 每秒 1 个单位长度的速度运动，动点 Q 从点 C 开始沿边 CB 向点 B 以每秒 2 个单位长度的速度运动，过点 P 作 PDBC，交 AB 于点 D，连接 PQ点 P、Q 分别从点 A、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一 点也随之停止运动，设运动时间为 t 秒(t0) (1) 直接用含 t 的代数式分别表示：QB_，PD_ (2) 是否存在 t

15、的值，使四边形 PDBQ 为菱形？若存在，求出 t 的值；若不存在，说明理由并探究如 何改变点 Q 的速度(匀速运动)，使四边形 PDBQ 在某一时刻为菱形，求点 Q 的速度； (3) 如图，在整个运动过程中，求出线段 PQ 中点 M 所经过的路径长分析：分析：(1) 根据题意得：CQ2t，PAt，由 RtABC 中，C90，AC6，BC8，PDBC，即可得第 21 题图ABCDPQ第 21 题图ABCDPQ2013 中考数学压轴专题训练中考数学压轴专题训练7tanA ，则可求得 QB 与 PD 的值；PD PABC AC4 3(2) 易得APDACB，即可求得 AD 与 BD 的长，由 BQDP，可得当 BQDP 时，四边形 PDBQ 是平行四边形，即可求得此时 DP 与 BD 的长，由 DPBD，可判定PDBQ 不能为菱形；然后设点 Q 的速度为每秒 v 个单位长度，由要使四边形 PDBQ 为菱形，则 PDBDBQ，列方程即可求得答案；(3) 设 E 是 AC 的中点，连接 ME当 t4 时，点 Q 与点 B 重合，运动停止设此时 PQ 的中点为 F，连接 EF，