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1、1用高数观点透视近几年的高考数学试题用高数观点透视近几年的高考数学试题摘要摘要 随着新课标准的实施，在近几年的高考中出现了一些有着一定的高等数学背景的试题，这主要源于两个主要因素:一是这种题型形式新颖，既能开阔数学视野，有利于高等数学与初等数学的和谐接轨，又能有效地考察学生的思维能力，尤其是创新能力；二是随着高考命题改革的逐步深入.自主命题的省市越来越多，命题组成成员中大多是大学教师，他们在命题时不可能不受自身研究背景的影响.本文将列举几例以示说明.关键词关键词 连续函数；最大（小）值；递推数列；不动点；凹凸性perspective the mathematics test question
2、in recent years college entrance examinationwith the viewpoint in high school mathematicsWang Zi-peng(Xiaogan College of Mathematics and Statistics Institute HuBei XiaoGan 432000 )Abstract: With the implementation of standard courses,College entrance examination in recent years there have been some
3、of the higher mathematics is a certain background questions,This is mainly due to two main factors: First, this form of novel questions, Mathematics can broaden horizons,In favor of higher mathematics and the harmonious integration of Elementary Mathematics,Can effectively study the thinking ability
4、 of students, In particular the ability to innovate, Second, test the proposition with the gradual deepening of the reform. Autonomy of the provinces and cities proposition, more and more, Proposition composed of members, mostly university teachers. Proposition when they can not be free from the imp
5、act of their research background. This article will list a few examples to show that.Key words: Continuous function; the max（min）value; recursive series; fixed point;concavity and convexity0 0 引言引言2代数推理，递推数列，极限与求导方法的应用，不动点问题，数列极限的一些特性，函数图象的凸性等具有高等数学倾向的问题逐步走进高考，虽然它们对解决问题的逻辑依据不高，但是通过直观化，却可以成为命题和解决命题的基
6、础.下面将列举几例，意在结合有关研究和分析，尝试着预测今后可能与高数思想相联系的高考试题趋势和方向.1 1 20082008 年高考数学的一个新亮点年高考数学的一个新亮点 猜想题猜想题在近几年的高考数学题中，有不少属于猜想题，它们有的是通过观察猜想结果(不要求证明)，有的要求先猜想再证明.究其原因主要是由于高中知识的局限性或问题的困难性，导致不能奢求考生给出完整的求解过程.如果站在比较高的观点，用高等数学方法解析这些问题，以揭示试题的制作背景及题目本身所蕴涵的一些深层次结论.下面将结合 2008 年最新高考的重庆卷、湖北卷中实例加以分析说明.例例 1 1 (2008 年重庆卷第 22 题) 设
7、各项均为正数的数列满足，na21a.)(* 2231Nnaaannn（1）若，求，并猜想的值(不需要证明)；412a34,a a2008a（2）记，若对恒成立，求的值及)(.* 321Nnaaaabnn22nb2n2a数列的通项公式.nb参考答案中是用的值，来猜想的值，我们关心的是能否不1234,a a a a2008a通过猜想而直接求出通项.为此，我们首先看看另一道 2008 年广东的高考试na题.例例 2 2 (2008 年广东卷第 21 题) 设为实数，是方程, p q,02qpxx的两个实根，数列满足.na,2 21qpxpx,.)4 , 3(21nqxpxxnnn（1）证明: ，；p
8、q（2）求数列的通项公式;na3（3）若，求的前项和.41, 1qpnanns解解 （1） 、 （3）解答从略.（2）由（1）得，则21)(nnnxxx，2 11221()()n nnnnxxxxxx L同理有，)(122 1xxxxn nn 消去，得，1nx11 2121()()()nn nxxxxx当时，有 )()(121 121xxxxxnnn（1）当时，由不难得到,)(2 121 n nnxxxx1 12 2)2() 1(nn nxnxnx（2）将，代入（1） ， （2）试得到数列的通项公式为1x22 2xna11(1)=nnnnxn 当时当时（3）由例 2 再回头看例 1，下面利用例
9、 2 的结论给出例 1 的一个新解法：例例 1 1 的解答的解答 （1）对取对数，并记，则，其中2231nnnaaanxna2nnnxxx1223.由例 2 之(1)试，可得数列的通项公式为，于是2, 121xxna1)2(n nx（）.从而.1)2(2nna*Nn2007)2( 20082a4（2）由于，故由例 2 之（1）式，可22nbnb223231 nkkx以得到，即对于恒有23111211121 nkknkknkkxxxxx2n23 3)2(1)21(52)211)(2(5422nnxx（4）特别的，在（4）式中取，有，再在(4)式中令，得2n212x12 kn415)211)(2(
10、2321)21(2122nk xx（5）如果，在（5）式中令，产生矛盾，故只能有，于是212xk212x212x此时由例 2 之(1)式，得，故，所以121nnx211 111log222nnnn kb ，.11222n nb*nN例例 3 3 （2008 湖北卷） 观察下列等式：，2111 22niinn，2321111 326niinnn，34321111 424niinnn454311111 52330niinnnn，可以推测，当（112 11210 1n kkkkk kkkk iiana nanana na 2k ）时， ， .kN1111,12kkkaaak2ka这种自然数方幂和的和
11、式，这是一个古典的幂和问题.自从希1( )n k k iSni腊数学家阿基米德开始研究，一直是许多中外数学家、学者研究的热点，得到5了很多有益的结果1-4. 这些文献中无一例外的，都是给出与中系1( )kSn( )kSn数的一些递推关系式，利用递推公式得到幂和的各项系数，通常的处理方法是对递推公式进行简化，以方便计算. 对于本例题，在文献5中作者指出：“2008年湖北卷顺应潮流，积极探索创新，所命制的理科卷第15题，立意新颖，背景深刻，它源于雅各伯努利（Jacob Bernoulli）数，即前个正整数同次幂求和问题，主要考查考生的直n觉观察意识、合情推理能力和正确理解抽象数字符号语言的能力，是
12、一道渗透新课程理念的创新题型通过观察前6个幂和等式的系数规律，得出相关项系数的一般性结论，充分体现了辩证地运用特殊与一般的数学思想方法解题的能力”.对于这种类比归纳型创新试题，要求考生用发散思维方法联想、类比、推广、转化，获得新发现，提出新问题，寻求新规律，对广大高中生而言，具有相当的难度下面给出一个新的方法，将给出和式中系数所满足的一个上三1( )n k k iSni角形线性方程组，尝试利用该方程组计算中系数.( )kSn定理定理1 1 设自然数方幂和，则所有1 110 1( )n kkk kkk iSniana na na 系数必满足线性方程组ia00000 1122111111 2211
13、111 1111kkkkkkkkkkkkk kkkkkkk kkkC aC aC aCaCC aC aCaCCaCaCCaC LLL L L L L L L L L L L L L L L（6）证明证明 由，又由于10(1)( )(1)kkk kkkkkSnSnnC nC nCL11 11(1)( )(1)(1)(1)kkkk kkkkSnSnannannann 10111010 111112221()()()kkkk kkkkkkkkaCnCnCa CnC nCa C nCa LL6111000 11111111()()kkkkk kkkkkkkkkkCanCaCa nCaC aC a LL
14、比较系数，即得（6）成立.下面利用定理1的（6）来解决上述例3，来看（6）的最后的4个方程:33333 2211112222 1111111 1111kkkkk kkkkkkkkkkkkk kkkkkkkkkk kkkkkkk kkkCaCaCaCaCCaCaCaCCaCaCCaC 从最后一个方程开始，依次经过化简后，得，1(1)1kka1112kkkaa11(1) 262kkkkkkkaaa2111(1)(1) (1)(1) 26246kkkkkk kkk kk kaaaa从可求出，.11 1kak1 2ka 1ka12k20ka注注1 1 本定理提供的方法对于计算出所有的还是比较困难的，但对较小的ia的情形，求出、等，不失为一种较好的方法，而且k1( )S n2( )S n3( )S n4( )S n也是解决例3中问题的一种很好的方法，该方法较为初等，它应该能够为高中成绩优异的学生所接受的. 注注2 2定理1给出了的求法，在此基础上，对于系数，可以由121,ka aaL0a110(1)1kkkSaaaaL确定. 一类绝对值函数的最值问题一类绝对值函数的最值问题最值问题是高考的必考题型之一，一般是对函数求导数或利用重要不等式的方法处理这类问题
