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1、第 1 页 共 11 页向量性质的思维延伸与拓展创新向量性质的思维延伸与拓展创新内蒙古杭内蒙古杭锦锦后旗后旗奋奋斗中学斗中学 桂科桂科 邮编邮编： ：015400 指指导导老老师师：母：母进进先先作为新课程改革，高中数学教材显著的变化就是“向量”的引入，它将“数”与“形” 融于一体，具有代数形式和几何形式的双重身份，决定了它成为中学数学知识的一个交汇点和联系多项内容的媒介。通过对向量性质的思维延伸，可使我们更为深刻的认识向量，理解向量，更为灵活的运用向量来解决数学中其他领域的问题，达到事半功倍的效果。本课题将从向量共线性质、向量“回路”的应用、以及性质等方面进行思维延伸，来梳理和佐证这一认知，
2、以飨读者。cos, r rrr ra eaa e一一、摆脱范围限制，让向量共线性质得以延伸摆脱范围限制，让向量共线性质得以延伸首先，我们回顾一下有关向量共线的一些性质：当，时，a11( ,)x yb22(,)xy有，定比分点坐标公式：ab12210xyxy1212 00,11xxyyxy 在我们做有关向量的题型当中，总是局限于在向量的环境中求解有关向量问题，如已知向量、的坐标及大小，求、的夹角或已知的坐标，证明其是否abab、abc共线等等，而不能够在数学的其他领域中灵活运用，这种对我们的思索过于局限、教条，使我们对数学中各领域知识与知识间产生了隔阂。如何才能将向量的共线性巧妙的运用到数学的其
3、它领域中，解决疑难问题，使问题化繁为简、简化我们的运算量呢？我们可以思维延伸，根据向量共线的性质，巧妙的挖掘题目中的条件以及结论，把原来的某些图形向量化，或自行构造向量共线的条件，然而利用向量的某些特定的性质，就可以使解题思路更加明确，避免诸如做辅助线等不容易掌握的技巧，从而解决问题，省时省力，而且还开拓我们的解题思维，使我们的解题效率大大提高。I I构造共线条件，巧解等差数列构造共线条件，巧解等差数列例例 1 1：（96 年高考）等差数列的前项和为 30，前 2项和为 100，它的前 3 namm和为（ ）m解：由题易知，1(1)2nSdnan对比直线，故点共线ykxb23 123( ,),
4、(2 ,),(3 ,)23mmmSSSP mPmPmmmm第 2 页 共 11 页即， 所以 解得1223PPP Puuu u ruuuu r3321 30 1003 21mmmmS mm m 31 210mS 评注：评注：此题巧妙构造共线条件，利用向量共线时的定比分点坐标公式，解出此题，方法独特、新颖，使人的思维得以拓展，创新。IIII利用共线条件，妙证三点共线利用共线条件，妙证三点共线例例 2 2：（2001 年高考）若抛物线的焦点为，经过焦点为的直22(0)ypx pFF线交抛物线于两点，点在抛物线的准线上，且轴，证明直线经过原AB、C/BCxAC 点。O证明：设，22 12 1212(
5、,), (,)(),(,0)222yypAyByyyFpp则，22 12 12(,),(,)2222yyppFAyFByppuu u ruu u r由与共线得，FAuu u rFBuu u r22 12 21()()02222yyppyypp整理得，2 12y yp 又，且，Q2 1 12(,),(,)22ypOAyOCyp uu u ruuu r2 1 21()022ypyyp所以与共线，即直线经过原点。OAuu u rOBuuu rACO评注：评注：本题通过证明与共线得到直线经过原点，充分体现了平面向OAuu u rOBuuu rACO量与解析几何知识的整合，是应用向量解决问题的一个重要方
6、面，也是近几年高考命题的一个热点和趋势。IIIIII求线段定比求线段定比的值的值例例 3 3：已知平行四边形一边的中点为，一边上有一点，且分ABCDABEADFF的比为，与交于点，求分的比的值。ADuuu r:m nBFCEKKCEuuu rFABCOxy第 3 页 共 11 页解：()111 2 11mmBABDBABCBAnnBFmm nnBABCBEBCBK u u u ru u u ru u u ru u u ru u u r u u u ru u u ru u u ru u u ru u u ru u u r1 221mBFBABCmnBKBABC uuu ruu u ruuu ru
7、uu ruu u ruuu r又与共线，所以有：。BFuuu rBKuuu r1 1221 12m mn 评注：评注：在求定比时，运用向量共线的思想，利用向量共线的充要条件，便会很快解出问题答案，此方法新颖独特，构思巧妙，通俗易懂，同时也开阔了我们的思路与视眼。IVIV确定点的位置确定点的位置例例 4 4：如图所示，在中，。点是边上靠近点的ABC5,6ABACBCMACA一个三等分点，试问在线段上是否存在点使得？BMPPCBM解析：以为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系。BBCx，所以。5ABAC6BC (0,0), (3,4),(6,0)BAC则，由于点是边上靠近点(3, 4)
8、OA uu u rMACA的一个三等分点，所以，于是，14(1,)33AMACuuuu ruuu r8(4, )3M因此上存在点使得，则设BMPPCBM，且，即，BPBMuu u ruuu u r0188(4, )(4 ,)33BPuu u r所以，88( 6,0)(4 ,)(46,)33CPCBBP uu u ruu u ruu u r由于，所以，得，解得，由于PCBM0CP BMuu u r uuu u r8 84(46)03 327 26，所以在线段上不存在点使得。270,126BMPPCBM评注：评注：本题是存在性问题，若用一般的平面几何方法求解，将非常复杂，但利用PBMAyCxADB
9、CFmnEK第 4 页 共 11 页共线向量，巧妙地将向量的坐标调出，从而得到的坐标，然后根据垂直关系，BPuu u rCPuu u r利用数量积为零得到问题的答案。V V：证明等式：证明等式例例 5 5：若，求证：。2222()()()(0)xyabaxby abxy ab证明：所给条件即，若设，则2222xyabaxby( , ),( , )x ya bu ru r，由于， （其中2222,xyabaxby u ru ru r u rcos u r u ru ru ru ru r为向量的夹角） ，所以，而式中等号成立的条件是 u r u r、2222xyabaxby，即或，也就是向量共线，
10、这时有。cos10 u r u r、xy ab评注：评注：从所给条件的特点出发，构造恰当的向量，利用向量共线的条件解决某些代数证明问题，思维独特，过程简单，充分体现了用向量解题的优越性。二二、向量向量“回路回路”在空间中的妙用在空间中的妙用我们对向量“回路”很熟悉，即，但总认为abcd它形同摆设，没有多大用处，只能用于进行简单的向量加法，很少有人能将其熟练应用于立体几何中。对于解决空间中有关距离、夹角或证明一些关系等问题时，我们一般情况都是通过添加辅助线、辅助体，或平移等方法进行求解。但这需要我们进行大量的思考，耗费时间与精力。很显然我们是局限了思维，没能将思维得以延伸拓展。如果我们稍加用心，
11、将向量“回路”左右平方，得到abcd，不就柳暗花明，打开另一番新的天地吗？22222()2()ab cdbcdb cc dd b它与实数的性质相类似：若干个向量的和平方，等于这些向量的平方和加上每两个向量的数量积。运用它的好处是可以节省大量的思考时间，简单、便捷，能够让我们以最快的速度进行求解相关问题。1 1求空间直线夹角：求空间直线夹角：例例 6 6：如右上图，四棱锥中，底面，底面PABCDPB ABCDCDPD为直角梯形。，。点在棱上，且ABCD/ADBCABBC3ABADPBEPA。2PEEA求证：异面直线与所成的角。 PACDPBADECABCDabcd第 5 页 共 11 页ACBA
12、Ber解：PBABCDPBCDQ面又 CDPDCDPBDQ面,90DBDCCDBo2290 ,345 ,333 236036031545DABPBADAABPBBDADBADBAPBCDCBADABCDBBDA ooooooQQ在等腰直角三角形中，DCB3 2,6CDDBCB22()CDDAAPCPCDDAAPCPuuu ruuu ruuu ruu u ruuu ruuu ruuu ruu u r222222CDDAAPCD DACD APDA APuuu ruuu ruuu ruuu r uuu ruuu r uuu ruuu r uuu r代入数据，可得9CD DAuuu r uuu r又
13、QcosCD DACDDAuuu r uuu ruuu ruuu r1cos602CD DACDDA ouuu r uuu ruuu ruuu r所以，异面直线与所成的角为。PACD60o2 2练习：求空间两点距离练习：求空间两点距离如图所示，长方体的棱长，求对1111DCBAABCD aAB |ADb1|AAc角线的长度.1AC3 3练习：证明空间直线垂直练习：证明空间直线垂直在四面体中，已知,用向量方法证明：。ABCDBDACCDAB,BCAD 三、公式三、公式的延伸与拓展创新的延伸与拓展创新|cos,a eaa e r r r rr rr r r r公式作为空间向量的数量积的三条性质之一
14、，在上新授课时我|cos,a eaa e r rrr r们总认为：这条性质没有什么“本质上”的用处，没有其它两条性质用的广泛，有点像“房间里的摆设”配角。但在后来的学习和做题当中，我越发觉得它在数学前后知识的连贯中起着非常越重要的作用。教材概念的引入：教材概念的引入：已知向量和轴 l， 是 l 上与 l 同方向的单位向量，作点 AaAB reBACD1A 1B1C1D第 6 页 共 11 页在 l 上的射影，作点 B 在 l 上的射影 则叫向量在轴 l 上或在 方向上的ABBAABe正射影，简称射影。 可以证明得，（证明略，图如右所示。eaeaABBA,cos|）I I思维延伸：利用思维延伸：利用，推导点到直线的距离公式推导点到直线的距离公式 cos,a eaa er r r rr rr r r r如图所示，求到已知直线的距离。00(,)P xy:0l AxByC分析：我们容易求得直线 的法向量，该方向上的单位向量，利用l( , )nA Brne nrr r用可求得距离。cos,a eaa e r rrr r解：，其方向向量为，:0l AxByC(, )mB A u r令其法向量为，则有，( ,1)nqr0m nu r r代入数据得，即(,1)AnBr( , )nA Br法向量所在直线的单位向量，ne nrr r又 cos,QP eQPQP eCAxBy uuu r ru
