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1、 献给潮实学子们的放缩法献给潮实学子们的放缩法总的来说，高考中与不等式有关的大题（主要是证明题）一般常用均值不等式、构造函数后用导总的来说，高考中与不等式有关的大题（主要是证明题）一般常用均值不等式、构造函数后用导 数工具解、裂项相消等常见放缩法来解决。数工具解、裂项相消等常见放缩法来解决。 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战 性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命 题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特 征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有
2、以下几种： 以下的所有放缩法中裂项相消法、均值不等式法放缩、二项分布法放缩以及函数放缩法最常用必须以下的所有放缩法中裂项相消法、均值不等式法放缩、二项分布法放缩以及函数放缩法最常用必须 掌握，所以要先看这些方法。其他的方法，如果有精力的话可以了解一下。如果真的掌握不了也足掌握，所以要先看这些方法。其他的方法，如果有精力的话可以了解一下。如果真的掌握不了也足 以应付高考。以应付高考。一、裂项放缩裂项放缩例 1.(1)求的值; (2)求证:. nkk1214235112 nkk解析:(1)因为,所以 121 121 ) 12)(12(2 1422nnnnn122 121114212 nn nknk
3、(2)因为,所以 121 12121444111222nnnnn35 321121 121 51 3121112 nnknkL常用放缩技巧 (1) (2) 121 1212144 441222nnnnn) 1(1 ) 1(1 ) 1() 1(2121 1nnnnnnnCCnn(3) )2(1 11 ) 1(1 !11 )!( !11rrrrrrnrnrn nCTrrr nr(4) 25 ) 1(1 231 12111)11 (nnnnL(5) (6) nnnn21 121 ) 12(21nnn221(7) (8) )1(21)1(2nnnnnnnnnnnn2) 32(1 2) 12(1 21
4、321 1221 (9) knnkknnnkknknk111 11 )1(1,111 11 )1(1(10) (11) !) 1(1 !1 !) 1(nnnn21 212121222)1212(21nnnnnnn(11) )2(121 121 ) 12)(12(2 )22)(12(2 ) 12)(12(2 ) 12(21112 nnnnnnnnnnnnnn(12) 111) 1(1) 1(1) 1)(1(11123 nnnnnnnnnnnn11 11 211 11 11 nnnnn nn(13) 32 121 32122) 12( 332) 13(2221nnn nnnnnn(14) (15)
5、 !)2(1 !) 1(1 )!2()!1(!2 kkkkkk)2(1) 1(1nnnnn(15) 1 11)11)(1122222222 jijijijiji jiji例 2.(1)求证:)2() 12(21 67 ) 12(1 51 311222nnnL(2)求证: nn41 21 41 361 161 412L(3)求证:1122642) 12(531 642531 4231 21nnn LLL(4) 求证：) 112(2131211) 11(2nnnL解析:(1)因为,所以 121 121 21 ) 12)(12(1 ) 12(12nnnnn)121 31(211)121 31(211
6、) 12(112 nnini(2)111 (41)1 211 (41 41 361 161 41222nnnLL(3)先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可以 121 2642) 12(531nnn LL nnn221得到答案(4)首先,所以容易经过裂项得到 nnnnn12)1(21nn131211) 11(2L再证而由均值不等式知道这是显然成立的，所以21 212121222)1212(21nnnnnnn) 112(2131211nnL例 3.求证: 351 91 411) 12)(1(62nnnnL解析:一方面:因为,所以 121 12121444111222nnnnn35 32
7、1121 121 51 3121112 nnknkL另一方面: 1111) 1(1 431 32111 91 4112nn nnnnLL当时,当时,3n ) 12)(1(6 1nnn nn1n 21 91 411) 12)(1(6 nnnnL当时,所以综上有2n 21 91 411) 12)(1(6 nnnnL351 91 411) 12)(1(62nnnnL例 4.(2008 年全国一卷) 设函数.数列满足.设，整数.证明:( )lnf xxxx na101a1()nnaf a1(1)ba，11lnabkab.1kab解析:由数学归纳法可以证明是递增数列,故存在正整数,使,则 nakm ba
8、m,否则若,则由知baakk1)(kmbam101baam,因为,0lnlnln11baaaaammm kmmmkkkkaaaaaaa111lnln)ln(ln1 1bakaakmmm 于是bababakaak)(|ln|11111 例 5.已知,求证: .mmmm mnSxNmnL321, 1,1) 1() 1(11m nmnSmn解析:首先可以证明:nxxn1)1 (所以要证 nkmmmmmmmmkknnnnn111111111) 1(01)2() 1() 1(L只要证: 1) 1() 1(11m nmnSmn故 nkmmmmmmmmmnkmnkmmkknnnnnkmkk111111111
9、111111) 1(2) 1() 1(1) 1() 1() 1(L只要证,即等价于 nkmmnkmnkmmkkkmkk1111111) 1() 1() 1(,即等价于mmmmmkkkmkk111) 1() 1() 1(11)11 (11 ,)11 (11mm kkm kkm而正是成立的,所以原命题成立.例 6.已知,求证:.nn na24 nnnaaaTL212 23321nTTTTL解析:)21 (2) 14(34 21)21 (2 41)41 (4)222(444421321nnnn nn nTLL所以123)2(22 23 223423232 3422234 342)21 (2) 14(
10、342211 11 11 nnnnnnnnnnnnnnnnT 121 121 23 ) 12)(122(2 231nnnnn从而 23 121 121 71 31 311231321 nnnTTTTLL例 7.已知,求证:11x ),2( 1), 12(ZkknnZkknnxn*)(11(21114122454432NnnxxxxxxnnL证明: ,因为nnnnnnxxnn222141141) 12)(12(11424244122 ,所以12nnn)1(2122214122nnnnnxxnn所以*)(11(21114122454432NnnxxxxxxnnL二、函数放缩二、函数放缩例 8.求证
11、：.)(665333ln 44ln 33ln 22ln*Nnnn nn L解析:先构造函数有,从而 xxxxx11ln1ln)31 31 21(1333ln 44ln 33ln 22lnnn nn LL因为 nnnn31 121 21 91 81 71 61 51 41 31 21 31 31 21LLL65 33 323 279 189 93 63 65111nnnnn L所以 6653651333ln 44ln 33ln 22lnnnnn nn L例 9.求证:(1)2() 1(212ln 33ln 22ln, 22 nnnn nn L解析:构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案x
12、xxfln)(22lnln nn nn ) 1(1111ln222nnnnn函数构造形式: ,1ln xx)2( 1lnnn例 10.求证: nnn1 211) 1ln(11 31 21LL解析:提示:2ln1ln1ln12 11ln) 1ln(LLnn nn nn nnn函数构造形式: xxxx11ln,ln当然本题的证明还可以运用积分放缩如图,取函数, xxf1)(首先:,从而, ninABCFxS1)ln(ln|ln11innxxinn innin 取有,1i) 1ln(ln1nnn所以有,相加后可以得到: 2ln212ln3ln31) 1ln(ln1nnnnnnln) 1ln(11) 1ln(11 31 21nnL另一方面,从而有 ninABDExS1)ln(ln|ln11innxxiinn innin 取有,1i) 1ln(ln11nnn所以有,所以综上有 nn1 211
