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1、选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库【考点梳理考点梳理】 一、考试内容 不等式，不等式的性质，不等式的证明，不等式的解法，含有绝对值的不等式。二、考试要求 1.掌握不等式的性质及其证明，掌握证明不等式的几种常用方法，掌握两个和三个（不要求四个和四个以上） “正 数的算术平均数不小于它们的几何平均数”这两个定理，并能运用上述性质、定理和方法解决一些问题。2.在熟练掌握一元一次不等式（组） 、一元二次不等式（组）的解法的基础
2、上初步掌握其他的一些简单的不等式的 解法。3.会用不等式|a|b|a+b|a|+|b|。三、考点简析 1.不等式知识相互关系表2.不等式的性质 （1）作用地位 不等式性质是不等式理论的基本内容，在证明不等式、解不等式中都有广泛的应用。高考中，有时直接考查不等 式的性质，有时间接考查性质（如在证明不等式、解不等式中就间接考查了掌握不等式性质的程度） 。准确地认识、 运用基本性质，并能举出适当反例，能辨别真假命题是学好不等式的要点。（2）基本性质 实数大小比较的原理与实数乘法的符号法则是不等式性质的依据。在不等式性质中，最基本的是：选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频
3、 院校库选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库abbb,bcac（传递性） aba+cb+c（数加）)(0,0,数乘 cbcacbacbcacba（ab,c=0ac=bc） 与等式相比，主要区别在数乘这一性质上，对于等式 a=bac=bc，不论 c 是正数、负数还是零，都成立，而对 于不等式 ab，两边同乘以 c 之后，ac 与 bc 的大小关系就需对 c 加以讨论确定。这关系即使记得很清楚，但在解题时 最容易犯的毛病就是错用这一性质，尤其是需讨论参数时。（3）基本性质的推论 由基本性质可得出如下推论： 推论 1：ab0,cd0acbd推论 2：ab0,cd0cb d
4、a推论 3：ab0anbn(nN)推论 4：ab0(nN)nnba 对于上述推论可记住两点：一是以上推论中 a,b,c,d 均为正数，即在x|x 是正实数中对不等式实施运算；二是直 接由实数比较大小的原理出发。3.不等式的证明 （1）作用地位 证明不等式是数学的重要课题，也是分析、解决其他数学问题的基础，特别是在微积分中，不等式是建立极限论 的理论基础。高考中，主要涉及“a,b0 时，a+b2”这类不等式，以及运用不等式性质所能完成的简单的不等式的证明。ab用数学归纳法证明的与自然数有关命题的不等式难度较大。（2）基本不等式定理 1：如果 a,bx|x 是正实数，那么（当且仅当 a=b 时取“
5、=”号）2ba ab定理 2：如果 a,b,cx|x 是正实数，那么(当且仅当 a=b=c 时取“=”号)3cba3abc定理 3：如果 a、bx|x 是正实数，那么ba112ab2ba 222ba （当且仅当 a=b 时取“=”号）推论 4：如果 a,b,cx|x 是正实数，那么选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库cba11133abc3cba 3222cba（当且仅当 a=b=c 时取“=”号） 由上述公式还可衍生出一些公式4ab(a+b)22(a2+b2),a、bR（当且仅当 a=b 时
6、等号成立） a2+b2+c2ab+bc+ca,a,b,cR（当且仅当 a=b=c 时等号成立）a2+b2+c2(a+b+c)2ab+bc+ca,a,b,cR（当且仅当 a=b=c 时等号成立）31|+|2（当且仅当|a|=|b|时取“=”号）ab baa0,b0,a+b=1，则 ab等。41（4）不等式证明的三种基本方法比较法：作差比较，根据 ab0ab，欲证 ab 只需证 ab0；作商比较，当 b0 时，ab1。比较ba法是证明不等式的基本方法，也是最重要的方法，有时根据题设可转化为等价问题的比较（如幂、方根等） 。分析法：从求证的不等式出发寻找使该不等式成立的充分条件。对于思路不明显，感到
7、无从下手的问题宜用分 析法探究证明途径。综合法：从已知的不等式及题设条件出发，运用不等式性质及适当变形（恒等变形或不等变形）推导出要求证 明的不等式。4.不等式的解法 （1）作用与地位 解不等式是求定义域、值域、参数的取值范围时的重要手段，与“等式变形”并列的“不等式的变形” ，是研究 数学的基本手段之一。 高考试题中，对解不等式有较高的要求，近两年不等式知识占相当大的比例。（2）一元一次不等式（组）及一元二次不等式（组） 解一元一次不等式（组）及一元二次不等式（组）是解其他各类不等式的基础，必须熟练掌握，灵活应用。（3）高次不等式 解高次不等式常用“数轴标根法” 。一般地，设多项式 F(x)
8、=a(xa1)(xa2)(xan) （a0） 它的 n 个实根的大小顺序为 a10 时有： 在奇数区间内，F(x)0。 在偶数区间内，F(x)0f(x)g(x)0)()( xgxf0)()( xgxf 0)(0)()( xgxgxf（5）无理不等式 两类常见的无理不等式等价变形：g(x) 或)(xf )()(0)(0)(2xgxfxgxf 0)(0)( xgxfag(x)f(x)1 时 a(fx)ag(x)f(x)g(x) logaf(x)logag(x)f(x)g(x)0（7）含参数不等式 对于解含参数不等式，要充分利用不等式的性质。对参数的讨论，要不“重复”不“遗漏” 。5.含有绝对值的不
9、等式 （1）作用与地位 绝对值不等式适用范围较广，向量、复数的模、距离、极限的定义等都涉及到绝对值不等式。 高考试题中，对绝对值不等式从多方面考查。（2）两个基本定理 定理 1：|a|b|a+b|a|+|b| （a、bR） 定理 2：|a|b|ab|a|+|b| （a、bR） 应理解其含义，掌握证明思路以及“=”号成立的条件。（3）解绝对值不等式的常用方法 讨论法：讨论绝对值中的式于大于零还是小于零，然后去掉绝对值符号，转化为一般不等式。等价变形：解绝对值不等式常用以下等价变形 |x|0) |x|ax2a2xa 或 x0) 一般地有：选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大
10、学视频 院校库选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库|f(x)|g(x)f(x)g (x)或 f(x)0，=x2+y2+z2x2+=+x2=x2x+，21 2)(2zy 2)1 (2x23 21 21矛盾。设 x,y,z 三数中若有最大者大于，不妨设 x，则：32 32=x2+y2+z2x2+21 2)(2zy =x2+=x2x+2)1 (2x23 21=x(x)+，矛盾。23 32 21 21故 x,y,z0, 。32注：本题证法甚多，最易接受的方法是证法一的判别式法，因为该法思路明晰，易于操作，技巧性不强。 例 3 已知 i、m、n 是正整数，且 1，所以nkn
11、mkmii n nAii m mA即 miAniniAmi （2）由二项式定理有(1+m)n=1+Cn1m+Cn2m2+Cnnmn (1+n)m=1+Cm1n+Cm2n2+Cmmnm 由（1）知 miAniniAmi (1niCmi (kim,mmCnm nmCmm, mm+1Cnm+1 0, mmCnn 0,22cmn1+ Cn1m + Cn2m2+ Cnnmn 1+ Cm1n+ Cm2n2 + Cmmnn，即 (1+m)n(1+n)m成立。注 本题是 2001 年全国高考数学试题，上述证明方法关键是配对。除了上述证法外，本题还有许多另外的证法， 下面另举两种证法。（1）法一：令 n=m+k
12、,（kN） 对自然数 t=1,2，i1,tm(m+k) m(m+k) 211222)2()1 (nnnnn1212)2() 12(nnnnnnf(n+1)f(n)当 k3,kN 时，f(k)单调递增，又143)3(34 fkk+1(k+1)k,即 k(k+1)k1 11 k于是经过有限次传递，必有：(n+1)(1+n)m法二：（1+m）n(1+n)mnlg(1+m)mlg(1+n)mm)1lg( nn)1lg( 令 f(n)= ,n2nn)1lg( 又，即(1+n)n+1(2+n)n) 1()(nfnfnn)1lg( 1)2lg( nn()nnn 21 11 n(1)n21 n11 nn2,1
13、21 n由贝努利不等式得（1）n1=21 n2nn 22 n11 n，f（n）单调递减，又mmm)1lg( nn)1lg( (1+m)nmn)4(例 4 解下列关于 x 的不等式： （1）a2x+1ax+2+ax2(a0);（2）loga(1)1(a0 且 a1)。x1解在解指、对数不等式时，常要对底数 a 进行分类，然后依据其函数的单调性来实现转化，在转化过程中注意不 等式解的等价性。 （1）原不等式等价于 a2x(a2+a2)ax+10 (axa2)(axa2) 0 (i)当 01 时，a2a2，a2axa2 即2x2(iii)当 a=1 时，x 为一切实数。 综上所述：当 01 时，原不
14、等式的解为x|2x2；当 a=1 时，解集为 R。（2）(i)当 a1 时，原不等式等价于1a1a axx 11011 x1x11a1 时，原不等式解集是x|1 时，原不等式等价于1a0 且 b1)，axxx 21222（1）求 f(x)的定义域； （2）当 b1 时，求使 f(x)0 的所有 x 的值。解 （1）x22x+2 恒正，f(x)的定义域是 1+2ax0， 即当 a=0 时，f(x)定义域是全体实数。当 a0 时，f(x)的定义域是（，+）a21当 a1 时，在 f(x)的定义域内，f(x)01x22x+21+2axaxxx 21222x22(1+a)x+10 其判别式 =4(1+a)24=4a(a+2)(i)当 0f(x)0x0选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库xR 且 x1 若 a=2,f(x)0(x+1)20x且 x141(iii)当0 时，即 a0 或 a2 时 方程 x22(1+a)x+1=0 的两根为x1=1+a,x
