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1、WtuWgifWtuWgif12016 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 （四川卷）（四川卷）数学（理工类）数学（理工类）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。有一个是符合题目要求的。1.设集合设集合，Z 为整数集，则为整数集，则中元素的个数是中元素的个数是 | 22Axx AI Z（A）3（B）4（C）5（D）62.设设 i 为虚数单位，则为虚数单位，则的展开式中含的展开式中含 x4的项为的项为6(i)x（A）15x4
2、（B）15x4（C）20ix4（D）20ix43.为了得到函数为了得到函数的图象，只需把函数的图象，只需把函数的图象上所有的点的图象上所有的点sin(2)3yxsin2yx（A）向左平行移动）向左平行移动个单位长度（个单位长度（B）向右平行移动）向右平行移动个单位长度个单位长度 3 3（C）向左平行移动）向左平行移动个单位长度（个单位长度（D）向右平行移动）向右平行移动个单位长度个单位长度 6 64.用数字用数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（A）24（B）48（C）60（D）725.某公司为激励创新，计划逐年加大研发
3、资金投入某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司若该公司 2015 年全年投入研发资金年全年投入研发资金 130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发资，则该公司全年投入的研发资金开始超过金开始超过 200 万元的年份是万元的年份是（参考数据：（参考数据：lg1.120.05，lg1.30.11，lg20.30）（A）2018 年（年（B）2019 年（年（C）2020 年（年（D）2021 年年WtuWgifWtuWgif26.秦九韶是我国南宋使其的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著
4、的秦九韶是我国南宋使其的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的数书九章数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入 n，x 的值分别为的值分别为 3，2，则输出，则输出 v 的值的值为为（A）9（B）18（C）20（D）357.设设 p：实数：实数 x，y 满足满足(x1)2(y1)22，q：实数：实数 x，y 满足满足则则 p 是是 q 的的1,1,1,yxyxy （A）必要不充
5、分条件（）必要不充分条件（B）充分不必要条件（）充分不必要条件（C）充要条件（）充要条件（D）既不充分也不必要条）既不充分也不必要条件件8.设设 O 为坐标原点，为坐标原点，P 是以是以 F 为焦点的抛物线为焦点的抛物线上任意一点，上任意一点，M 是线段是线段 PF22(p0)ypx上的点，且上的点，且=2,则直线则直线 OM 的斜率的最大值为的斜率的最大值为PMMF（A）（B）（C）（D）13 32 32 29.设直线设直线 l1，l2分别是函数分别是函数 f(x)=图象上点图象上点 P1，P2处的切线，处的切线，l1与与 l2垂直垂直ln ,01,ln ,1,xxx x WtuWgifWt
6、uWgif3相交于点相交于点 P，且，且 l1，l2分别与分别与 y 轴相交于点轴相交于点 A，B，则，则PAB 的面积的取值范围是的面积的取值范围是（A）(0,1)（B）(0,2)（C）(0,+)（D）(1,+)10.在平面内，定点在平面内，定点 A，B，C，D 满足满足=,=DAuuu rDBuuu rDCuuu rDAuuu rDBuuu rDBuuu rDCuuu r DCuuu r=-2，动点，动点 P，M 满足满足=1，=，则，则的最大值是的最大值是DAuuu rAPuuu rPMuuu u rMCuuu u r2BMuuuuu r（A）（B）（C）（D）43 449 4376 3
7、 4372 33 4二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分。分。11.cos2sin2=. 8 812.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在在 2 次试验中成功次数次试验中成功次数 X 的均值是的均值是.13.已知三棱镜的四个面都是腰长为已知三棱镜的四个面都是腰长为 2 的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是。棱锥的体积是。14.已知函数已知函数 f（x
8、）是定义在）是定义在 R 上的周期为上的周期为 2 的奇函数，当的奇函数，当 0x1 时，时，f（x）=，则，则4，f（）+f（1）=。15在平面直角坐标系中，当在平面直角坐标系中，当 P(x，y)不是原点时，定义不是原点时，定义 P 的的“伴随点伴随点”5 4为为； 2222(,)yxPxyxy 当当 P 是原点时，定义是原点时，定义 P 的的“伴随点伴随点“为它自身，平面曲线为它自身，平面曲线 C 上所有点的上所有点的“伴随点伴随点”所构成所构成的曲线的曲线定义为曲线定义为曲线 C 的的“伴随曲线伴随曲线”.现有下列命题：现有下列命题：C若点若点 A 的的“伴随点伴随点”是点是点，则点，则
9、点的的“伴随点伴随点”是点是点 AAAWtuWgifWtuWgif4单位圆的单位圆的“伴随曲线伴随曲线”是它自身；是它自身；若曲线若曲线 C 关于关于 x 轴对称，则其轴对称，则其“伴随曲线伴随曲线”关于关于 y 轴对称；轴对称；C一条直线的一条直线的“伴随曲线伴随曲线”是一条直线是一条直线.其中的真命题是其中的真命题是_（写出所有真命题的序列）（写出所有真命题的序列）.三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.（本小题满分（本小题满分 12 分）分）我国是世界上严重缺水的
10、国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨）（吨） 、一位居民的月用水量不超过、一位居民的月用水量不超过的的xx部分按平价收费，超出部分按平价收费，超出的部分按议价收费的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某x年年 100 位居民每人的月均用水量（单位：吨）位居民每人的月均用水量（单位：吨） ，将数据按照，将数据按照0,0.5)，0.5,1)，4,4.5)分成分成9
11、组，制成了如图所示的频率分布直方图组，制成了如图所示的频率分布直方图.（I）求直方图中）求直方图中 a 的值；的值；（II）设该市有）设该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数，并说明理由；吨的人数，并说明理由；（III）若该市政府希望使）若该市政府希望使 85%的居民每月的用水量不超过标准的居民每月的用水量不超过标准（吨）（吨） ，估计，估计的值，并的值，并xx说明理由说明理由.17.（本小题满分（本小题满分 12 分）分）WtuWgifWtuWgif5在在ABC 中，角中，角 A,B,C 所对的边分别是所对的边分别是 a,b,
12、c,且且.coscossinABC abc（I）证明：）证明：；sinsinsinABC（II）若）若，求，求.2226 5bcabctan B18.（本小题满分（本小题满分 12 分）分）如图，在四棱锥如图，在四棱锥 P-ABCD 中，中，ADBC，ADC=ADC=PAB=90PAB=90，BC=CD=BC=CD=AD.EAD.E 为为1 2边边 ADAD 的中点，异面直线的中点，异面直线 PAPA 与与 CDCD 所成的角为所成的角为 9090. .（I I）在平面）在平面 PABPAB 内找一点内找一点 MM，使得直线，使得直线 CMCM平面平面 PBEPBE，并说明理由；，并说明理由；
13、(II)(II)若二面角若二面角 P-CD-AP-CD-A 的大小为的大小为 4545，求直线，求直线 PAPA 与平面与平面 PCEPCE 所成角的正弦值所成角的正弦值. .19.（本小题满分（本小题满分 12 分）分）已知数列已知数列的首项为的首项为 1，为数列为数列的前的前 n 项和，项和，其中，其中 q0，nanSna11nnSqS.*nN（I）若）若成等差数列，求成等差数列，求 an的通项公式；的通项公式；2322,2a a a (ii)设双曲线设双曲线的离心率为的离心率为，且，且，证明：，证明： .2 2 21nyxane25 3e 12143 3nnnneee20.（本小题满分（
14、本小题满分 13 分）分）已知椭圆已知椭圆 E：的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的 3 个顶个顶22+22= 1( 0)WtuWgifWtuWgif6点，直线点，直线 l:y=-x+3:y=-x+3 与椭圆与椭圆 E E 有且只有一个公共点有且只有一个公共点 T.T.（I）求椭圆）求椭圆 E 的方程及点的方程及点 T 的坐标；的坐标；（II）设）设 O 是坐标原点，直线是坐标原点，直线 l平行于平行于 OT,与椭圆与椭圆 E 交于不同的两点交于不同的两点 A、B，且与直线，且与直线 l 交交于点于点 P.证明：存在常数证明：存在常数 ，使得，使得P
15、T2=PAPB，并求，并求 的值的值.21.（本小题满分（本小题满分 14 分）分）设函数设函数 f(x)=ax2-a-lnx，其中，其中 aR.（I）讨论）讨论 f(x)的单调性；的单调性；（II）确定）确定 a 的所有可能取值，使得的所有可能取值，使得 f(x) -e1-x+在区间（在区间（1，+）内恒成立）内恒成立(e=2.718为为1 自然对数的底数自然对数的底数)。2016 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类）试题参考答案数学（理工类）试题参考答案一、选择题一、选择题1C2A3D4D5B6B7A8C9A10B二、填空题二、填空题111213142152 23 23 3三、解答题三、解答题16 （本小题满分（本小题满分 12 分）分）（）由频率分布直方图知，月均用水量在）由频率分布直方图知，月均用水量在0,0.5)中的频率为中的频率为 0.080.
