5.4向量的应用-黄鹤

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1、5.4 向量的应用一、知识与能力目标1、 能用向量解决某些简单的平面几何问题，掌握向量在解析几何中的简单应用，能利用 向量方法解决力向量、速度向量等物理问题; 2、对全章知识有一个较系统的掌握，并通过实例对几个热点问题进行专题分析. 二、主要知识1、向量在平面几何中的应用（1）平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来. （2）用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”. 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题. 通过向量运算，研究几何元素之间的关系和距离、夹角等问题； 把运算结果“翻译”成几何关系

2、. 2、向量在解析几何中的应用（1）设直线 l 的倾斜角为 ，斜率为 k, 向量12(,)aa a平行于 l, 则a称为 l 的方向向量，可以根据向量的知识得到向量（1，k）与向量a共线，因此（ 1, k）也是 l 的方向向量 . （2）已知直线l: AxBy +C 0, 则向量(A,B) 一定和 l 垂直， 向量(A,B) 称为 l 的法向量 . （3）已知直线l1：1110A xB yC, l2：2220A xB yC，则111(,)nA B与 l1垂直，222(,)nA B与 l2垂直 .于是 l1和 l2的夹角便是1n与2n的夹角（或其补角）.设 l1与l2夹角是 ，则有121212

3、122222 121122|cos|cos,| | |nnA AB Bn n nnABAB3、 向量在物理中的应用（1）向量在力的分解与合成中的应用.由于力是向量，它的分解与合成与向量的减法与加法相类似，可以用向量来解决. （2）向量在速度的分解与合成中的应用. 三、例题分析题型一：向量在代数中的应用例 1已知abcdacbd2222111，求证： |. 分析：abcd222211，可以看作向量)()(dcybax，的模的平方，而acbd则是x、y的数量积，从而运用数量积的性质证出该不等式. 证明 ：设)()(dcybax，则2222|dcybaxbdacyx，. 1|2222dcbabdac

4、yxyx，点评：在向量这部分内容的学习过程中，我们接触了不少含不等式结构的式子，如| | | | | | | | | | | |ababababa ba ba b，；等. 跟踪训练1：已知abcossincossin，其中0. （1）求证：ab与ab互相垂直；（2）若k ab与k ab（k0）的长度相等，求. 题型二：用向量解决平面几何问题例 2. 已知 AD 、BE、CF 是 ABC 的三条高， DGBE 于 G，DH CF 于 H，如图，求证： HG/EF 分析： 要证 HG/EF，可设法证明EFHG（其中 0）证明：BEACBEDG，ACDG 设)0(ODOA，则DGAE，同理AFDH于

5、是FEAEAFDGDHHG()FEHG ，即 HGFE 点评：用向量知识解决平面几何中证明线段相等的问题，一般是转化为相应向量相等或平行来解决，小结如下：（ 1）如果A、B、C 共线，欲证AB BC，则只需证ABBC即PCABQ可. （2）要证线段AB 、CD 平行且相等，只要证明ABCD即可 . （ 3）如果线段AB 、 CD 不平行，而要证它们相等，则需证22ABCD或证ABCD跟踪练习2： 1、用向量法证明：直径所对的圆周角是直角. 已知：如图，AB 是 O 的直径，点P 是 O 上任一点（不与A、B 重合） ，求证：APB90. 2、如图，设P、Q 为 ABC 内的两点，且2155AP

6、ABAC，AQ23AB14AC，则 ABP 的面积与 ABQ 的面积之比为A15B45C14D13题型三 : 向量在解析几何中例 3. （ 1） 如图，已知点A（4，0） 、B（4，4） 、C（2， 6） ，求 AC 和 OB 的交点 P 的坐标 . 分析： 可以根据 A、P、C 三点共线， O、P、B 三点共线，从而由向量共线和方程的思想解决 . 解析： 设 P 点坐标为P（x, y） ，则)44()(，OByxOP044yxOBOP共线，与又)4(yxAP，)62()0642(，AC且ACAP与共线0)2()4(6yx即 3xy12 由解得33yx故 P点的坐标是（3， 3）点评：充分利用

7、向量共线的充要条件，将求交点坐标问题转化为向量共线的坐标方程问题，使问题得到解决. （ 2） 已知点 A（ 1，2） ，直线 l：4x3y9=0. 求： （）过点 A 且与直线l 平行的直线方程； （）过点 A 且与直线 l 垂直的直线方程分析： 应用直线的方向向量和法向量来解决问题. 解析 1：直线 l 的斜率34k ，向量)341 ( ，u 与直线 l 平行（）设 P 是过 A 且与 l 平行的直线上的动点，P 的坐标是（ x，y） ，则AP（x 1，y2）所求直线与l 平行，当且仅当APu 转化为坐标表示，即为0)1(34)2(1xy整理得01034yx这就是所求的过A 且与 l 平行的

8、直线方程. （）设 Q（x，y）为一动点，则)21(yxAQ，点 Q 在过 A 且垂直于l 的直线上，当且仅当0AQu，转化为坐标表示，即为0)2(34)1(1yx整理得0543yx这就是所求的过A 且与 l 垂直的直线方程. 解析 2：因为向量（ 4， 3）与直线l 垂直，所以)34(，n是 l 的法向量 . （）设 P（x，y）为一动点，则)21(yxAP，点 P在与 l 平行的直线上，当且仅当0APn转化为坐标表示，即为0)2)(3()1(4yx整理得01034yx这就是所求的过A 且与 l 平行的直线方程. （）设Q（x，y）为一动点，则AQ（ x1，y 2） ，点 Q 在与 l 垂直

9、的直线上，当且仅当AQ与n共线，即AQn ，转化为坐标表示，即为0)1)(3()2(4xy整理得0543yx这就是过A 且与 l 垂直的直线方程. 点评： 解法 1是引入了和l 平行的向量u，这个向量我们可以称为l 的方向向量 .可以看出向量（ B，A）就是 Ax By +C 0 的方向向量 . 解法 2是引入了和l 垂直的向量n， 这个向量我们可以称为l 的法向量 .可以看出向量 （A，B）就是 Ax By+C 0 的法向量 . 在今后的解释中可以用结论：与直线平行则和直线的方向向量平行，和直线的法向量垂直；与直线垂直则和直线的方向向量垂直，和直线的法向量平行. （3） . 已知两点( 1,

10、0),(1,0)MN, 且点P使,MP MN PMPN NMNP成公差小于零 的等差数列 . （）点P的轨迹是什么曲线? （）若点P的坐标为00(,)xy, 记为,PM PN的夹角 , 求tan. 解：（1）记( ,)P x y, 由( 1,0),(1,0)MN得：(1, )MPx y，(2,0)MN，(1,)PNxy. 2(1)MP MNx, PM PN221xy, 2(1)NM NPx. 于是,MP MN PM PN NM NP成公差小于零的等差数列等价于2222112(1)2(1)32xyxxxy,且2(1)2(1)0xx,即0x. 所以点P的轨迹是以原点为圆心, 半径为3的右半圆 .

11、（2）点P的坐标为00(,)xy, 223PM PNxy, 22222 0000000| |(1)(1)42422 4PMPNxyxyxxx. 2 01cos |4PMPNPMPNx. 003x, 1cos12, 03. 2 20 22 0031sin1cos144xxxx2 00sintan3|cosxy跟踪练习3 :1、 已知向量a=（1，1） ，b=（1，1） ，c=（2cos ,2sinaa） （aR） ，实数,m n满足manbc,则222mn的最大值为 _2. 已知( , )P x y，( 1,0)A，向量PA与(1,1)m共线 . （1）求y关于x的函数；（2）是否在直线2yx和

12、直线3yx上分别存在一点,B C，使得满足BPC为锐角时x取值集合为|7x x或7x？若存在，求出这样的,B C的坐标；若不存在，说明理由. 题型四 :向量在物理中的应用例 4. 如图，若物体重量为G，被两根不等长的绳子吊起，绳子两端点A 和 B 保持同一高度，且绳子与竖直方向的夹角分别为和，试研究拉力1f、2f的大小 . 分析： 物体处于静止状态，受力平衡，即1f和2f的合力和物体重力是平衡力，可以应用力的分解解决.于是可以应用向量的正交分解来处理本题.解析： 以力的作用点O 为原点，竖直方向为y 轴建立直角坐标系，将1f和2f分别分解为水平方向和竖直方向上的力1xf、1yf、2xf、2 y

13、f，如图 . 所以111222,xyxyffffff用向量表示为：12,OMONf OPOQf，则由受力平衡知物体在水平方向和竖直方向上受力平衡. 即Gffffyyxx2121|cos|cos|sin|sin|2121 Gffff解得cotsincos|cotsincos|21GfGf故两根绳子的拉力大小为cotsincos| G和cotsincos|G. 点评： （ 1）当 时，是本题的一种特例. （2）此处应用了向量的正交分解，因此可以应用直角坐标来解决. （3）可以得出：若 ，则 |1f|2f|，若 ，则 |1f|2f|. 跟踪练习4: 1、 如下图， 无弹性的细绳,OA OB的一端分别

14、固定在,A B处，同质量的细绳OC下端系着一个称盘，且使得OBOC，试分析,OA OB OC三根绳子受力的大小，判断哪根绳受力最大？2、一只渔船在航行中遇险，发出求救警报， 在遇险地西南方向10mile 处有一只货船收到警报立即侦察，发现遇险渔船沿南偏东750，以 9mile/h的速度向前航行，货船以21mile/h的速度前往营救，并在最短时间内与渔船靠近，求货的位移. 四、随堂练习 : 1. 点)0)(,0(mmA按 向 量a平 移 后 的 对 应 点 的 坐 标 为)0 ,(m， 则 向 量a是（）A),(mmB),(mmC),(mmD),(mm2.若,OAa OBb，则AOB平分线上的向

15、量OM为（）A. |ababB. (), | |abab由OM决定C. |ababD. |b aa bab750 A B C 东北450 GCOBA3. 已知ABC的三个顶点,A B C及平面内一点P，且PAPBPCAB，则点P与ABC的位置关系是（）A.P在ABC内部 B.P在ABC外部C.P在AB边上或其延长线上 D.P在AC边上4. 已知点)0 ,2(A、)0 ,3(B，动点2( , )P x yPA PBx满足，则点P的轨迹是 （）A圆B椭圆C双曲线D抛物线5. 已知平面上三点,A B C满足3,4,5,ABBCCA则AB BCBC CACA AB的值等于. 6. 已 知 点(1,2 )A,若 向 量AB与(2,3)a同 向 ,|2 13AB,则 点B的 坐 标为. . 7.已 知 直 线0axbyc与 圆22:1O xy交 于,A B两 点 , 且|3AB, 则OA OB. 8如图， O 是 ABC外任一点，若1()3OGOAOBOC，求证： G是 ABC重心（即三条边上中线的交点） 9. 已知平面内三向量, ,a b c的模均为1，它们相互之间的夹角为120. （1）求证：()abc；（2）| 1kabc，求k的取值范围 . 10. 已知向量, , ,a b c d及实数, x y，且|