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1、第五章 变换域处理拉氏变换与Z变换,赵明,2017/11/2,信号分析与处理-变换域处理,2,变换域处理的课程构成,拉普拉斯变换连续时间信号Z变换离散时间信号拉普拉斯变换、z变换以及傅立叶变换之间的关系,2017/11/2,信号分析与处理-变换域处理,3,拉普拉斯变换,何谓拉普拉斯变换一个线性时不变系统对于复指数信号输入，输出是复指数信号的倍数，该倍数是一个由复指数决定的参数拉普拉斯变换定义,2017/11/2,信号分析与处理-变换域处理,4,拉普拉斯变换的讨论,拉普拉斯变换与傅立叶变换拉普拉斯变换在s=j就是傅立叶变换,2017/11/2,信号分析与处理-变换域处理,5,拉普拉斯变换举例,的
2、拉普拉斯变换,若,当Res-a时，拉普拉斯变换收敛,提示：当Res-1,2017/11/2,信号分析与处理-变换域处理,18,拉普拉斯变换的反变换,2017/11/2,信号分析与处理-变换域处理,19,常用的拉普拉斯变换对,2017/11/2,信号分析与处理-变换域处理,20,傅里叶变换的几何求值方法,拉普拉斯变换的决定因素表达式由零极点确定相对幅度收敛域仍然由零极点确定几何求值利用零极点确定傅里叶变换结果,2017/11/2,信号分析与处理-变换域处理,21,傅里叶变换的几何求值方法,考虑s=s1的拉普拉斯变换值,简单看：该数值等于s=s1与各零点构成的向量的乘积除以该点与极点构成的向量的乘
3、积几何求值,2017/11/2,信号分析与处理-变换域处理,22,傅里叶变换的几何求值方法,讨论一下对于,回顾傅里叶变换的收敛性，P207,几何求值法的用途往往在于用它观察系统的整体特性，如后面介绍,2017/11/2,信号分析与处理-变换域处理,23,一阶系统,一阶系统微分方程通常表达为,一阶系统频率响应为：,单位冲击响应为：阶跃响应为：,为时间常数， 越小，冲击响应衰减越快。,的拉氏变换为：,极点向量的模：随着 增加而单调下降 ：随着 增加单调从0下降 到,2017/11/2,信号分析与处理-变换域处理,24,二阶系统,二阶系统线性常系数微分方程表达为,系统频率响应为：,为阻尼系数， 称为
4、无阻尼自然频率,欠阻尼： ，单位冲击响应是衰减的振荡 过阻尼： ，单位冲击响应缓慢靠近最终值 临界阻尼：,其中,2017/11/2,信号分析与处理-变换域处理,25,二阶系统的零极点几何分析,2017/11/2,信号分析与处理-变换域处理,26,全通系统,全通系统：拉普拉斯变换在虚轴上任意点的极点向量和零点向量的长度比值是常数，也就是说频率响应的模是常数，与频率无关。称为全通系统全通系统的零极点关于虚轴对称,2017/11/2,信号分析与处理-变换域处理,27,拉普拉斯变换性质,线性性质若干信号的线性组合的拉普拉斯变换等于各信号的拉普拉斯变换的线性组合收敛域为至少包含各收敛域的交集收敛域可能超
5、越各收敛域的交集,2017/11/2,信号分析与处理-变换域处理,28,线性性质举例,2017/11/2,信号分析与处理-变换域处理,29,拉普拉斯变换性质,时移性质S域频移 注意：零点和极点也出现移动，加上向量时域尺度变换,2017/11/2,信号分析与处理-变换域处理,30,拉普拉斯变换性质,共轭变换从而，如果 为实函数，则 零极点对称出现卷积性质举例,2017/11/2,信号分析与处理-变换域处理,31,拉普拉斯变换性质,时域微分 s可能会抵消一个极点举例S域微分举例,2017/11/2,信号分析与处理-变换域处理,32,拉普拉斯变换性质,时域积分 ROC包括初值和终值定理：当可用于帮助
6、验证拉氏变换的正确性，如u(t),2017/11/2,信号分析与处理-变换域处理,33,拉普拉斯变换和LTI系统,原理LTI的冲激响应可以唯一表征该系统信号和其拉普拉斯变换一一映射冲激响应的拉普拉斯变换可以表征该系统的一切行为拉氏变换与傅氏变换H(s)称为系统函数或者转移函数。重点研究以下性质因果性稳定性,2017/11/2,信号分析与处理-变换域处理,34,拉普拉斯变换表征LTI系统的性质,因果性任何因果系统的系统函数的ROC是某个右半平面有理系统函数的系统ROC位于右半平面和因果性是等价的（考虑哪些时域信号对应有理系统函数）稳定性当且仅当系统函数H(s)的收敛域包含虚轴时，LTI系统是稳定
7、系统因果稳定系统收敛域必须是包含虚轴的右半平面,2017/11/2,信号分析与处理-变换域处理,35,拉普拉斯变换与系统因果性,系统因果性质举例,因果系统,以上给出了一个非因果系统，但是符合收敛域为右半平面，可见收敛域包含右半平面非充要条件，仅仅为必要条件,非因果系统,以上说明有理系统函数的因果性和ROC的右边性的一致,2017/11/2,信号分析与处理-变换域处理,36,拉普拉斯变换与系统因果性及稳定性举例,上述例子中，注意时域可积性和ROC是否包含虚轴的关系。非有理系统函数也可能是稳定的。对有理系统函数，判断其因果稳定性可通过极点位置所有极点都位于左半平面，一个有理分式系统函数H(S)决定
8、的因果系统才是稳定的,2017/11/2,信号分析与处理-变换域处理,37,因果稳定系统举例,回顾前面的二阶系统线性,系统频率响应为：,当 时，是否为因果稳定系统？ 当 时，是否为因果稳定系统？,其中,2017/11/2,信号分析与处理-变换域处理,38,拉普拉斯变换、微分方程和LTI系统,LTI系统的微分方程表示对微分方程两边做拉普拉斯变换单位冲击相应的拉普拉斯变换,利用该式可以对原系统进行分析；微分方程并未限制收敛域,2017/11/2,信号分析与处理-变换域处理,39,拉普拉斯变换、微分方程和LTI系统,系统冲激响应和其他性质,由极点位置以及拉氏变换的卷积性质而推得系统函数的性质：因果稳
9、定系统还可用微分方程形式来表达：,2017/11/2,信号分析与处理-变换域处理,40,拉普拉斯变换、微分方程和LTI系统,某LTI系统满足以下特征，确定系统函数？系统是因果的系统函数是有理分式，极点s=-2和s=4x(t)=1,y(t)=0（复指数信号的响应）单位冲击响应t=0+的值是4（初值定理）,2017/11/2,信号分析与处理-变换域处理,41,拉普拉斯变换和LTI系统,一因果稳定系统，冲激响应为h(t),系统函数为H(s)是有理分式，一个极点s=-2，原点处无零点，其他极点和零点位置未知。判断下述命题1、F(h(t)e3t)收敛2、h(t)的全时域积分为03、th(t)是一个因果稳
10、定系统的单位冲激响应4、h(t)的微分的拉普拉斯变换至少有一个极点5、h(t)是有限持续期的6、H(s)=H(-s)7、H(s)在正无穷的极限是-2,2017/11/2,信号分析与处理-变换域处理,42,常见的一类LTI系统巴特沃兹滤波器准备知识,时域和频域的特性的一些介绍。傅里叶变换的模和相位表示对于信号卷积 线性与非线性相位相移是 的线性函数，对应被称作线性相位群延时。对线性相位，延时（时移）就是非线性相位：,2017/11/2,信号分析与处理-变换域处理,43,常见的一类LTI系统巴特沃兹滤波器准备知识,非理想滤波器的时域和频域特性。回顾理想滤波器通带边缘，通带起伏阻带边缘，阻带起伏过渡带。过渡带和波纹的关系,2017/11/2,信号分析与处理-变换域处理,44,巴特沃兹滤波器,N阶低通butterworth滤波器频率响应模平方。 的极点分析极点，分布在半径 的圆极点永远不在虚轴上，N为奇数时，实数轴上有极点。相邻极点之间角度差是,B(s)的极点为左半圆上的极点，可用有理系统函数表达，也可用微分方程表达,2017/11/2,信号分析与处理-变换域处理,45,系统函数的代数属性与方框图,LTI系统的级联与并联由微分方程和有理系统函数描述的因果LTI系统方框图。 方框图表达形式直接型级联型并联型,例子,2017/11/2,信号分析与处理-变换域处理,46,单边拉普拉斯变换介绍,
