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1、2005 -2006 学年第一学期一填空题（每小题 3 分，共 15 分）1 013215202. 若 阶方阵 A 的秩 , 则 0 nrnA3设 ， 是 5 阶方阵，且 3, 则基础解系中含 2 个解向量0x)(R4若阶矩阵 的特征值为，则 12 5设 是对称阵 的两个不同的特征值， 是对应的特征向量，则 021,A21,p,21p二选择题（每小题 3 分，共 15 分）1若 为 3 阶方阵，且 ，则 ( C )2A-4 4 -16 162设 为 阶方阵，满足等式 ，则必有（ ） BA,nOB 或 或 O0OBA03设 元线性方程组 ，且 ，则该方程组( )nbxAnbAR),()有无穷多解
2、 有唯一解 无解 不确定4设 P 为正交矩阵，则 P 的列向量（ A ）A组成单位正交向量组 B. 都是单位向量 C. 两两正交 D. 必含零向量5若二次型 为正定, 则对应系数矩阵 A 的特征值( )()fx都大于 0； 都大于等于 0； 可能正也可能负 都小于 0三 （8 分）计算行列式 的值21D解 21234314210555rrr四 （8 分）设 ，求 1023A1A解： ) (E 10 2 021r（或用伴随矩阵）1320 1r 21A五 （8 分）求齐次线性方程组 的基础解系及通解032 414321xx解： 321A01021通解方程组 ，基础解系 ， ，通解为 ， （0432
3、1x01221k为任意常数）21,k六(8 分) 已知向量 ， ， ，求向量组的秩及一个极大线性无3211253关组，并把其余向量用极大线性无关组表示解： 5132,21A20101012极大无关组 ，且 21,2七 （10 分）讨论 取何值时，非齐次线性方程组2321321)( xx(1)有唯一解；(2) 无解；(3) 有无穷多解解：法 1 )3(12A（） 当 且 时，有 ，方程组有惟一解；030A（）当 时， ，93 12 60321，所以无解；3)(2)(AR（）当 时， ， ，方程组有无穷多解001)(AR法 2 220111 A2)(001)1()3(八 （8 分）用配方法将二次型
4、 化为标准形，并求可31232132 4, xxxf 逆的线性变换 （或上届题？）解： ，232312321 6)4(),(xxf 232316)(令 ，即 ，所以 ，32xy32 yx 3213210yx变换矩阵 标准形 ,10C.0C23216yf九 （10 分）求矩阵 的特征值与最大特征值所对应的特征向量 4032A解： ，特征值)1(2E .1,4321当 时，解 得 ， ， 的对应于4210)4(xEA0112A的全体特征向量为 ， ） 21221k(21k十 （每小题 5 分，共 10 分）1 设向量组 线性无关，讨论向量组 的线性相关性321,12123,解：令 即123()()
5、0,kk123k因为 线性无关，所以有 ，321,1233 0k由于方程组只有零解，故 线性无关。12123, 设 为满足等式 的矩阵，证明 A 可逆，并求 AOEA32 1解： 32 1()2(3)E所以 A 可逆，且 122008 -2009 学年第一学期 A 卷一、填空题（共 75 分每空 3 分）1设 ，则 - 6 ， ，3 102 AA1/3 6- 1/02 A36 .2得分2 , .2 103 2 01 12 584 323行列式 = 18 ，行列式 _12_.6 32 2 0-1 4 两个向量 的内积为： 3 ， 夹角为： ;),21(),0 1(6/把 用施密特正交化方法得:2
6、1， 0,/121）（， 5若向量 ，则 用 组合的表达式是)3,(),(),74(21 21,.216向量组 的线性相关性为：)3,(),0 (),1 -,(),0 ( 432 线性相关，它的秩是 3 .7已知向量组 1=(1,0,0), 2=(2,5,2), 3=(1,5,k)线性相关,则 k =_2_.8若 3 阶方阵 A 的三个根分别是 1，2，3，则 方阵 A 的行列式 69 设矩阵 A= ，则矩阵 A 的秩为 2 ，线性方程组0 01 的基础解系的向量个数为 3 . OXA10给定线性方程组,2321321xx）（则：当 1 且 0 时，方程组有唯一解；当 = 1 时方程组有无穷解
7、； 当 = 0 时方程组无解.11矩阵 的特征值为： 2 、1，对应于特征值 的1 2A 1特征向量为： .0,1k12 设 设方阵 满足 ,则 _ _.AEA 113二次型 的矩阵的系数矩阵为： 232212321),( xxxxf ，该二次型为 正 定二次型. 0 二、计算题（共 5 分）设矩阵 A= , 求矩阵 X, 使1 2EAX2解 由 AX = A+2E 得 2)(13 52- 033 142 即 52- 3X三、计算题（共 6 分）已知向量组 .12,34,12, 41 求向量组 的一组极大线性无关组,并把其余向量用此组向量表示4321，出来.姓名: 学号:系别: 年级专业: (
8、 密 封 线 内 不 答 题 )密封线线得分得分解 0 1 21 -3 424321 r，由此可知, 为一组极大线性无关向量组, 421，3四、计算题（共 6 分）求非齐次线性方程组 的通解2 2431xx解 增广矩阵 21- 0 - rB还原成线性方程组 12431x可得方程组通解为 , 为任意常数. 2021021432cx1c五、限选题（共 8 分）（经管类学生可选做第 1、2 小题中的一题，理工类学生仅限做第 2 小题）(1) (理工类学生不做此小题) 已知二次型 ，312321)(xxfa） 出二次型所对应的矩阵 Ab）用配方法将二次型化为标准型，C)写出相应的可逆线性变换矩阵。解
9、a） 21 0 Ab) 223132321 )()( xxxf 得分得分令 321xy即有变换 , 321yx 321321 0 yx把二次型 化为标准型 2 1221)(f 21)(yxfC) 对应变换矩阵 20 P(2) （理工类学生 必做此小题）已知二次型 的秩为 2,212321)(xxafa) 写出二次型所对应的矩阵 , 并求参数Ab) 求出二次型所对应的矩阵 的特征值c) 求正交变换 ，把二次型化成标准形（不写正交变换）. PYX解 a） 230 1 A1,2)(aRb)解特征方程 ，得 2EA3201，C）分别解方程组 ， 得单位特征向量,iOXi）（， ， ；021p022p1
10、03p及正交矩阵 ， 正交变换 2P1 0 2- 0 PYX把二次型变为标准型: 123yf2008 -2009 学年第一学期 B 卷一、填空题（共 66 分每空 3 分）1设矩阵 ， ，则行列式： - 6 ， 3021A201BAA-12 ， 1/6 ， 36 .1 *A2. 设 , , 则 , 20A98765431BB825876143BA,186423设 是三阶方阵 , ,则：A88 ， 0 其中13121Aaa 13123132AaAa为 的代数余子式. ijij4 ，它的第 3 行第 2 列元素 0 的代数余子式 = -2 02A 323/11 得分 的伴随矩阵 = .A*20365. 向量 与向量 ，则: 向量 的长度 = , 夹角），（ 1），（ 12的与 = ，436向量 ， ，则向量组 的秩等于 2 ），（ 21 ），（ 3 4 ），（ 321，该组向量线性 相 关.7. 设 , , ,则120AB321xX当 2 时，线性方程组 有唯一
