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1、 - 1 -20082008 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、选择题：一、选择题：18 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求， 把所选项前的字母填在题后的括号内。把所选项前的字母填在题后的括号内。（1）设函数则的零点个数（ ）20( )ln(2)xf xt dt( )fx01 23 A B C D（2）函数在点处的梯度等于（ ）( , )arctanxf x yy(0,1)- Ai Bi Cj D j（3）在下列微分方程中，以
2、（为任意常数）为通解的是（ ）123cos2sin2xyC eCxCx123,C C C. A440yyyy B440yyyy. C440yyyy D440yyyy（4）设函数在内单调有界，为数列，下列命题正确的是（ ）( )f x(,) nx若收敛，则收敛. 若单调，则收敛. A nx()nf x B nx()nf x若收敛，则收敛.若单调，则收敛. C()nf x nx D()nf x nx（5）设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵. 若，则（ ）AnEn30A 不可逆，不可逆.不可逆，可逆. AEAEA BEAEA可逆，可逆. 可逆，不可逆. CEAEA DEAEA（6）设为 3 阶实对称矩阵，
3、如果二次曲面方程在正交变换下的标准方程的图形如图，A( , , )1x x y z A y z 则的正特征值个数为（ ）A0.1.2.3. A B C D（7）设随机变量独立同分布且分布函数为，则分布函数为（ ）,X YX F xmax,ZX Y. . A 2Fx B F x F y. . C 211F x D 11F xF y（8）设随机变量，且相关系数，则（ ）0,1XN1,4YN1XY- 2 -. A211P YX B211P YX. C211P YX D211P YX二、填空题：二、填空题：9-14 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上分，
4、请将答案写在答题纸指定位置上.（9）微分方程满足条件的解是. 0xyy 11yy （10）曲线在点处的切线方程为. sinlnxyyxx0,1（11）已知幂级数在处收敛，在处发散，则幂级数的收敛域为02n n nax0x 4x 03n n nax.（12）设曲面是的上侧，则.224zxy2xydydzxdzdxx dxdy（13）设为 2 阶矩阵，为线性无关的 2 维列向量，则的非零特征值A12, 12120,2AAA为.（14）设随机变量服从参数为 1 的泊松分布，则.X2P XEX三、解答题：三、解答题：1523 小题，共小题，共 94 分分.请将解答写在答题纸指定的位置上请将解答写在答题
5、纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤演算步骤. (15)（本题满分 10 分）求极限.40sinsin sinsinlim xxxxx(16)（本题满分 10 分）计算曲线积分，其中是曲线上从点到点的一段.2sin221 LxdxxydyLsinyx0,0,0(17)（本题满分 10 分）已知曲线，求曲线距离面最远的点和最近的点.22220:35xyzCxyzCXOY(18)（本题满分 10 分）设是连续函数， （1）利用定义证明函数可导，且； f x 0xF xf t dt Fxf x（2）当是以 2 为周期的周期函数时，证明函数也是以 2
6、为周 f x 2002( )( )xG xf t dtxf t dt期的周期函数. (19)（本题满分 10 分），用余弦级数展开，并求的和. 21(0)f xxx 12 11nnn- 3 -(20)（本题满分 11 分），为的转置，为的转置.TTATT（1）证；（2）若线性相关，则.( )2r A , ( )2r A （21） （本题满分 11 分）设矩阵，现矩阵满足方程，其中，2221212n naaaAaa OOOAAXB1,T nXxxL，1,0,0B L（1）求证1nAna（2）为何值，方程组有唯一解，求a1x（3）为何值，方程组有无穷多解，求通解a （22） （本题满分 11 分）
7、设随机变量与相互独立，的概率分布为，的概率密度为XYX11,0,13P Xii Y，记 1010Yyfy 其它ZXY（1）求102P ZX（2）求的概率密度Z （23） （本题满分 11 分） 设是总体为的简单随机样本.记，12,nXXXL2( ,)N 11ni iXXn，2211()1ni iSXXn221TXSn（1）证 是的无偏估计量.T2（2）当时 ，求.0,1DT- 4 -2008 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一、选择题一、选择题(1)【答案】B【详解】，即是的一个零点2( )ln(2) 2fxxx(0)0f 0x ( )fx
8、又，从而单调增加（）2 2 24( )2ln(2)02xfxxx( )fx(,)x 所以只有一个零点.( )fx(2)【答案】A【详解】因为，所以，221 1xyfxy 2221yx yfxy (0,1)1xf (0,1)0yf 所以 (0,1)10f gradiji(3)【答案】 D【详解】由微分方程的通解中含有、知齐次线性方程所对应的特征方程有根xecos2xsin2x，所以特征方程为，即. 故以已知函数为通解1,2rri (1)(2 )(2 )0rri ri32440rrr的微分方程是40yyy(4)【答案】B【详解】因为在内单调有界，且单调. 所以单调且有界. 故一定存( )f x(,
9、) nx ()nf x ()nf x在极限(5)【答案】C【详解】，23()()EA EAAEAE23()()EA EAAEAE故均可逆,EA EA(6)【答案】B【详解】图示的二次曲面为双叶双曲面，其方程为，即二次型的标准型为2222221xyz abc，而标准型的系数即为的特征值.222222xyzfabcA(7)【答案】A【详解】 2max,ZZZZFzP ZzPX YzP Xz P YzFz FzFz(8)【答案】 D【详解】 用排除法. 设，由，知道正相关，得，排除、YaXb1XY,X Y0a A C- 5 -由，得 (0,1),(1,4)XNYN0,1,EXEY所以 所以. 排除.
10、 故选择( )()E YE aXbaEXb01,ab 1b B D二、填空题二、填空题(9) 【答案】1 x【详解】由，两端积分得，所以，又，所以.dyy dxx1lnlnyxC1xCy(1)1y1yx(10) 【答案】1yx【详解】设，则，( , )sin()ln()F x yxyyxx1cos()11cos()xyyxyFdyyx dxFxxyyx 将代入得，所以切线方程为，即(0)1y01xdy dx10yx 1yx(11)【答案】(1,5【详解】幂级数的收敛区间以为中心，因为该级数在处收敛，在处发0(2)nn nax2x 0x 4x 散，所以其收敛半径为 2，收敛域为，即时级数收敛，亦
11、即的收敛半径为( 4,0222x 0n n na t2，收敛域为. 则的收敛半径为 2，由得，即幂级数( 2,20(3)nn nax232x 15x的收敛域为0(3)nn nax(1,5(12)【答案】4【详解】加的下侧，记与所围空间区域为，则22 1:0(4)zxy12xydydzxdzdxx dxdy1122xydydzxdzdxx dxdyxydydzxdzdxx dxdy2222222441()0()2xyxyydxdydzx dxdyxydxdy - 6 -22300142dr dr(13)【答案】1【详解】1212121202(,)(,)(0,2)(,)01AAA 记，则12(,)
12、P 02 01BAPPB因为线性无关，所以可逆. 从而，即与相似.12, P1BP APAB由，得及为的特征值.2|(1)001EB 01B又相似矩阵有相同的特征值，故的非零特征值为 1.A(14)【答案】1 2e【详解】由，得，又因为服从参数为 1 的泊松分布，所以22()DXEXEX22()EXDXEXX，所以，所以 1DXEX21 12EX 2 1111222P Xee！222111222(1)(1)(1)nnnnn n 三、解答题三、解答题(15) 【详解】方法一方法一：4300sinsin(sin )sinsinsin(sin )limlim xxxxxxx xx22220001sincoscos(sin )cos1 cos(sin )12limlimlim3336xxxxxxxx xxx方法二方法二： 331sin()6xxxo xQ331sin(sin )sinsin(sin)6xxxox4444400sinsin(sin )sinsin(sin)1limlim66xxxxxxox xxx(16) 【详解】 方法一方法一：（直接取为参数将对坐标的曲线积分化成定积分计算）x- 7 -222002220000sin22(1)sin22(1)sincos sin21cos2cos2sin2sin222222Lxdxxydyxxxx dxxxdxxxxxxdxxxdx
