《高等数学证明中辅助函数的构造》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学证明中辅助函数的构造（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高等数学证明中辅助函数的构造王春珊 张绍兰（安徽工商职业学院，安徽 合肥 230041） 摘要：摘要：本文系统归纳了高等数学证明中常见四种辅助函数的构造，每种类型用实例加以介 绍说明，对学习高等数学的证明有一定的指导作用. 关键词：关键词：辅助函数；原函数；求导法则；不等式 在高等数学许多问题的证明中需要构造辅助函数，但如何构造辅助函数是学生在学习 高等数学中的难点之一，现将高数学证明中的构造相关辅助函数常使用的方法构造如下. 一、不等式证明中辅助函数的构造一、不等式证明中辅助函数的构造1.关于型不等式的证明.( )( ),( , )f xg x xa b一般情况下可考虑构造辅助函数，然后确定
2、的比( )( )( ),( , )F xf xg x xa b( )F x较点（或） ，并利用的单调性加以证明.( )F a( )F b( )F x例 1 证明 ，.22 24sin1xx (0,)2x证明 设，则，.22 22 22sin( )sinsinxxF xxxxx 01lim( )3xF x 224lim( )1xF x 故可补充定义，使在上连续，由此可知，只要证明214(0),()132FF ( )F x0,2在上单调递增即可.( )F x0,2因为，为确定的符号，再设331cos( )2()sinxF xxx( )F x，且.3sin( ),(0,)2cosxG xx xx(0
3、)0G则，.24 2331( )(cos )sin(cos )13G xxxx7 334( )sin(cos )0,(0,)92G xxxx故在上为单调递增且，因此，在区间中，( )G x(0,)2(0)0G(0,)2，从面在上也是单调递增的，所以，即( )(0)0G xG( )G x(0,)2( )(0)0G xG，这就证明了在上是单调递增的，即，331cos0sinx xx( )F x(0,)224( )()12F xF 命题得证.对于型不等式，在某些情况下，也可通过适当变形化为对某一( )( ),( , )f xg x xa b辅助函数单调性的讨论，从而加以证明.例 2设且，证明 .0,
4、0xy011 ()()xyxy分析：由于，故所证不等式似乎是关于的单调函数，但由于0, x y, 是两个变量，如果能转化为一个变量的问题就容易了.根据所证不等式结构及的, x y0y 情况，所证不等式等价于不等式11 ( )1( )1xx yy设，则原不等式转化为函数，的单调性的讨论.xty1 ( )(1)zzzt0z证明 根据上述分析，构造辅助函数，则1 ( )(1)zzzt，由于，所以21( )( )( )ln(1)(1)zzztzzttttztt0,0tz1( )(1)zzztzttt故0，所以在上单调递减，而21( )( )( )ln(1)(1)zzztzzttttztt1 ( )(1
5、)zzzt(0,)，所以，即命题成立.0z( )( ) 2.关于型不等式证明.12( ),( , )cf xc xa b常用的简便方法是考虑在上是取大值、最小值来证明.( )f x( , )a b例 3 证明不等式.11(1)12pp pxx01,1xp证明 设，.由于在上连续，故在区间( )(1)ppF xxx01,1xp( )F x0,1上一定有最大值和最小值.0,1，令，则（驻点）.11( )(1)ppF xp xx( )0F x1 2x 因为 ，所以在上111(0)1,(1)1,( )22pFFF0,1，故.maxmin11( )1,( )2pFxFx11(1)12pp pxx3.含有
6、定积分的不等式. 一般情况下常把定积分的上限选为所构造辅助函数的自变量.例 4 设在区间上连续，证明,( ), ( )ab f x g x , a b222( ) ( )( )( )bbbaaaf x g x dxfx dxgx dx证明 设且，则222( )( )( )( ) ( )tttaaaF tfx dxgx dxf x g x dxatb 2222( )( )( )( )( )2 ( ) ( )( ) ( )tttaaaF tftgx dx gtfx dxf t g tf x g x dx2 ( ) ( )( ) ( )0taf t g xf x g tdx所以在上为增函数，故，即命
7、题得证.( )F x , a b( )( )0F bF a二、应用求导法则构造辅助函数二、应用求导法则构造辅助函数 这里主要应用幂函数、对数函数、函数乘积求导时出现的特殊情况构造辅助函数.例如 设均可导，则( ), ( )f x g x，( )( ) ( )( )( ) ( ) g xg xf x efxf x g xe1ln( )( )( )f xfxf x. ( ) ( )( ) ( )( )( )f x g xfx g xf x g x因此当所证结果中出现，等形式( )( ) ( )fxf x g x1( )( )fxf x( ) ( )( )( )fx g xf x g x时，可构造形
8、如，或等形式的函数.( )( )g xf x eln( )f x( ) ( )f x g x例 5 设函数在上连续，在内可导，且，( ), ( )f x g x , a b( , )a b12()()0f xf x，.12,( , )x xa b12()xx证明 在内至少存在一点，使得.12( ,)x x( )( ) ( )0ffg证明 设，则由知( )( )( )g xF xf x e12()()0f xf x12()() 1122()()()()0g xg xF xf x ef x eF x故由已知条件知，在上满足罗尔中值定理，即在内至少( )( )( )g xF xf x e12( ,)
9、x x12( ,)x x存在一点使得，即，所以( )0F( )( )( )( ) ( ) 0gFffge.( )( ) ( )0ffg三、方程根的存在性证明中辅助函数的构造三、方程根的存在性证明中辅助函数的构造 通过下面例子说明其方法.例 6 讨论方程（）有几个实根.lnaxx0a 分析：设，则如果的最小值在轴上方，曲线( )lnf xaxx(0,)x( )f xx与轴无交点，方程无实根；如果的最小值在轴上，曲线与( )yf xx( )f xx( )yf x轴只有一个交点，方程只有一个实根；如果的最小值在轴下方，讨论函数x( )f xx的单调区间等性质判断曲线与轴的交点数，从而求得方程实( )
10、lnf xaxx( )yf xx根的个数.解 设，则( )lnf xaxx(0,)x，令 得 .1( )fxax1( )0fxax1xa因为 当 时，；10xa1( )0fxax当 时，.1xa1( )0fxax所以在时取得最小值.( )f x1xa1( )1 lnmfaa 当时，即，曲线与轴无交点，方程无实根；0m 1ae( )yf xx当时，即，曲线与轴只有一个交点，方程只有一个实根；0m 1ae( )yf xx当时，即时，因为当时， ，单调递减，0m 10ae10xa1( )0fxax( )f x当 时，单调递增.所以曲线与轴有两个交点，1xa1( )0fxax( )f x( )yf x
11、x即方程有两个实根. 四、应用原函数构造辅助函数四、应用原函数构造辅助函数 现结合实例说明这种方法.例 7 （拉格朗日中值定理）设函数满足：( )f x（1）在闭区间上连续；（2）在开区间上可导. , a b( , )a b则在中至少存在一点使得.( , )a b( )( )( )f bf afba分析：即要在中至少存在一点使得.这时注意到( , )a b( )( )( )0f bf afba为在点的函数值，而的一个原函数为，故所证( )f( )fx( )( )f bf a ba ( )( )f bf axba 等式为的导函数在内至少有一个零点.根据本定理的条件及罗( )( )( )f bf
12、af xxba( , )a b尔定理自然想到，只须验证函数满足罗尔定理条件即可证明( )( )( )( )f bf aF xf xxba 本定理的结论，当然辅助函数也就构造出来了.证明略.例 8 证明若非线性函数在上连续，在上可导，则必有，( )f x , a b( , )a b( , )a b使得.( )( )( )f bf afba分析：所要证不等式显然是比较函数与的导函数在内某一( )f x( )( )f bf axba ( , )a b点上值的大小问题，因此可构造辅助函数.但是为了使构造的辅助( )( )( )f bf af xxba 函数具有更好的性质，如除要辅助函数连续、可导外，还
13、要其在区间两端点上的函数值相 等且等于 0，故构造辅助函数：.( )( )( )( )( )()f bf aF xf xf axaba证明 因为，又由于非线性，故不恒为 0，因此必有( )( )0F aF b( )f x( )F x使得，不妨设，对于在上分别应用拉0( , )xa b0()0F x0()0F x( )F x00 , a xx b格朗日定理有.00 110 00()( )()( )0,F xF aF xFaxxaxa.00 202 00( )()()()0,F bF xF xFxbbxbx 故 11( )( )( )( )0f bf aFfba22( )( )()()0f bf
14、aFfba所以21( )( )()( )f bf affba这即为12( )( )max( ) ,()f bf affba记，则.12( )max( ) ,()fff( )( )( )f bf afba参考文献： 1华东师范大学数学系编.数学分析，高等教育出版社，1987 Advanced mathematics to prove the structure of auxiliary function Wang chun shan zhang shao lan (Anhui business vocational college Anhui Hefei 230041)Key words :Auxiliary function，The original function，Derivation rules，Inequality Abstract:作者简介：王春珊，男，1969.11 安徽工商职业学院副教授张绍兰，女， 安徽工商职业学院副教授 通讯地址：合肥市砀山路 233 号安徽工商职业学院 电子邮箱： 电话：13739294507
