《千题百炼——高中数学100个热点问题(三)：第74炼 利用几何关系求解圆锥曲线问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《千题百炼——高中数学100个热点问题(三)：第74炼 利用几何关系求解圆锥曲线问题（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第九章 利用几何关系求解最值问题 解析几何利用几何关系求解最值问题一、基础知识：1、利用几何关系求最值的一般思路:（1）抓住图形中的定点与定长，通常与求最值相关（2）遇到线段和差的最值，经常在动点与定点共线的时候取到。因为当动点与定点不共线时，便可围成三角形，从而由三角形性质可知两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，无法取得最值。所以只有共线时才有可能达到最值。要注意动点与定点相对位置关系。一般的，寻找线段和的最小值，则动点应在定点连成的线段上；若寻找线段差的最小值，则动点应在定点连成的线段延长线上。（3）若所求线段无法找到最值关系，则可考虑利用几何关系进行线段转移，将其中某些线段用其它线段
2、进行表示，进而找到最值位置（4）处理多个动点问题时，可考虑先只让一个动点运动，其他动点不动，观察此动点运动时最值选取的规律，再根据规律让其他点动起来，寻找最值位置。2、常见的线段转移：（1）利用对称轴转移线段（详见例 1）（2）在圆中，可利用与半径相关的直角三角形（例如半弦，圆心到弦的垂线，半径；或是切线，半径，点与圆心的连线）通过勾股定理进行线段转移。（3）在抛物线中，可利用“点到准线的距离等于该点到焦点的距离”的特点进行两个距离的相互转化。（4）在椭圆中，利用两条焦半径的和为常数，可将一条焦半径转移至另一条焦半径（5）在双曲线中，利用两条焦半径的差为常数，也可将一条焦半径转移至另一条焦半径
3、（注意点在双曲线的哪一支上）3、与圆相关的最值问题：（1）已知圆及圆外一定点，设圆的半径为则圆上点到点CPCrP距离的最小值为，最大值为（即连PMPCrPNPCr结并延长，为与圆的交点，为延长线与圆的交点PCMPCNPC（2）已知圆及圆内一定点，则过点的所有弦中最长的为直径，CPP最短的为与该直径垂直的弦MN解：，弦长的最大值为直径，而最小值考虑弦长公式为，若最小，222ABrdABCPAB第九章 利用几何关系求解最值问题 解析几何则要取最大，在圆中为定值，在弦绕旋转的过程中， ，所以dCPPdCP时，最小dCPAB（3）已知圆和圆外的一条直线 ，则圆上点到直线距离的Cl最小值为，距离的最大值
4、为C lPMdr（过圆心作 的垂线，垂足为，与C lPNdrClPCP圆交于，其反向延长线交圆于 CMCN（4）已知圆和圆外的一条直线 ，则过直线 上的点作圆的切线，切线长的最小值为CllPM解：，则若最小，则只需最小即可，22PMCPrPMCP所以点为过作 垂线的垂足时，最小PClCP过作圆的切线，则切线长最短PPM4、与圆锥曲线相关的最值关系：（1）椭圆：设椭圆方程为 222210xyabab 焦半径：焦半径的最大值为，最小值为 acac 焦点弦：焦点弦长的最小值称为通径，为，此时焦点弦与焦点所在的坐标轴垂直22b a（2）双曲线：设双曲线方程为222210,0xyabab 焦半径：焦半径
5、的最小值为，无最大值ac 焦点弦：焦点弦长的最小值称为通径，为，此时焦点弦与焦点所在的坐标轴垂直22b a（3）抛物线：设抛物线方程为22ypx 焦半径：由抛物线的焦半径公式可知：焦半径的最小值为原点到焦点的距离，即 2p 焦点弦：当焦点弦与焦点所在坐标轴垂直时，弦长最小，为 2plMCPNlCPM第九章 利用几何关系求解最值问题 解析几何二、典型例题：例 1：已知在平面直角坐标系中，点，为轴上一动点，则1,1 ,3,4ABPx的最小值为_PAPB思路：从所求可联想到三点不共线时，三角形两边之和大于第三边（而三点共线时可能相等） ，由已知可得：，但从图像上发现无论在何处，5AB P，无法取到等
6、号。 （即使共线时PAPBAB, ,P A B等号也不成立） ，为了取到最值。考虑利用对称转移所求线段。作关于轴的对称点，从而有，AxAAPAP所以转化为，可知当三点共线时，PAPBPAPB, ,A P B，即min41PAPBABmin41PAPB答案： 41小炼有话说 ：（1）三点共线取得最值的条件：动点位于两定点之间时，则距离和取到最小值。同理；当动点位于两定点同一侧时，距离差的绝对值取到最大值。（2）处理线段和（差）最值问题时，如果已知线段无法找到最值关系，则可考虑利用“线段转移法” ，将某一线段替换成另一长度相等线段，从而构造出取得最值的条件例 2：设抛物线上一点到此抛物线准线的距离
7、为，到直线24yxP1d的距离为，则的最小值为（ ）:34120lxy2d12ddA. B. C. D. 316 518 54思路：通过作图可观察到直接求的最值比较困难，所以考虑转移某个距离，由已知12dd可得为到准线的距离，所以可根据抛物线定义转移为1dP（其中是抛物线的焦点，） ，所以PFF1,0F，观察图像可得：122ddPFd23 11235FlPFdd 第九章 利用几何关系求解最值问题 解析几何答案：A例 3：已知过抛物线的焦点的弦与抛物线交于两点，过分别作轴的24yxF,A B,A By垂线，垂足分别为，则的最小值为_,C DACBD思路：设抛物线的准线为 ，由抛物线可知 l24y
8、x:1l x ，观察图像可知。而由抛物线定1,1A lB lACdBDd义可得：，所以,A lB ldAF dBF，即要求出112ACBDAFBFAB 的最小值，只需求出的最小值，即抛物线焦点ACBDAB弦的最小值，由抛物线性质可知当轴时，最小，所以ABxABmin24ABpmin2ACBD答案： 2例 4：已知点在抛物线的准线上，过点作抛物线的切线，3, 12P2:20E xpy pP若切点在第一象限，是抛物线的焦点，点在直线上，点在圆AFMAFN上，则的最小值为（ ）22:221CxyMNA. B. C. D. 1 56 526 21思路：由图像可知，固定点，则圆上到距离的最小值，所以MC
9、M1CMrCM只需在直线上找到与圆心距离最小的点，即到直线CC的距离。需要确定抛物线方程和点坐标，由AFA可得准线方程为，所以，抛物线方3, 12P1y 2p 程为，焦点 设，22144xyyx0,1F21,4A aa则，切线斜率，从而，即，1 2yx1 2ka21114432 2a kaa a 4,4A第九章 利用几何关系求解最值问题 解析几何，所以直线方程：，从而413 404AFkAF3440xymin2268411534MN 答案：A例 5：抛物线上的点到直线距离的最小值是（ ）2yx 4380xyA. B. C. D. 1 44 38 53思路一：直接利用点到直线距离公式得到距离关于
10、的函数，设抛物线上的点，x2,P xx则，所以最小值为 2222034383320 14 55353P lxxxd4 3思路二：本题也可将直线进行平移，平移至与抛物线相切，则两直线之间的距离即为所求最小值。所以只需求与已知直线平行且与抛物线相切的直线，设切点坐标为，所求函数的导数，因为切线与00,xy2yx 平行，所以，可得，进而4380xy0423x 02 3x ，故切线方程为：，整理后2 004 9yx 442 933yx 可得：，所以两直线距离，44303xy4834 53d 即抛物线上的点到距离的最小值答案：B例 6：已知点是抛物线的一点，为抛物线的焦点，在圆M24yxFA上，则的最小
11、值为（ ）22:411CxyMAMFA. B. C. D. 2345思路：本题含两个动点，先固定一个点不动，寻找最小值的规律。考虑固定，则,M AM圆上距离最近的点为与圆的交点，即，所以只需考MMCmin1MAMCrMC虑的最小值即可，通过移动可知，无论位于何处，MCMFMM第九章 利用几何关系求解最值问题 解析几何，所以不是最小值。考虑转移线段，MCMFCFCF抛物线的准线，则，所以:1l x MlMFd（即到准线的距离，5MlC lMCMFMCddC所以114C lMAMFMCMFd 答案：C例 7：已知动点在椭圆上，若点的坐标为，,P x y22 12516xyA3,0，则的最小值是（
12、）1,0AMPM AMuuuu ruuu u r uuuu rPMuuu u rA. B. C. D. 2323思路：由椭圆方程可知即为椭圆的焦点，由可知是以为圆心，半径为 1A1AM uuuu rMA的圆上的点，在圆外，且由可得，所以即为圆上的切线，P0PM AMuuu u r uuuu rPMAMPM的最小值即切线长的最小值，由圆的性质可得：PMuuu u r，所以只需找到的最2221PMPArPAPA小值即可，由椭圆性质可知：，min532PAac故2minmin13PMPA答案：B例 8：设是椭圆的左焦点，是椭圆上的任意一1F22 12516xyP点，点的坐标为，则的最大值为M6,41
13、PMPF_思路：先作出椭圆图像，标出定点的位置，若从入1,M F1FM手，则由图发现无论在何处，。与所求最大值不符。考虑进行线P11PMPFFM段转移，发现为左焦半径，所以考虑作出右焦点，利用1PF23,0F进行线段转移。即，只需求出12210PFPFa1210PMPFPMPF第九章 利用几何关系求解最值问题 解析几何，结合图像可得，且2maxPMPF22PMPFF M，从而可得：22 263405F M 12max1015PMPFF M答案：15例 9：设是椭圆上一点，分别是两圆和 P22 195xy,M N22 1:21Cxy2:C上的点，则的最小值和最大值分别为（ ）2221xyPMPNA. 4,8 B. C. D. 2,66,88,12思路：本题有三个动点，但观察可得之间,P M N,PMPN没有联系，所以若达到最小，则只需分PMP
