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1、等差数列与平均数在这一讲我们一块来学习一有关等差数列和平均数方面的一些考题的内容、题型、解题方法，这两块我们放在一起是因为我们等差数列和平均数这两类问题的求解往往是联系在一起的，尤其是等差数列其中某一些的求解往往是借助于平均数来求解的，而平均数本身自身特别大的难度又没有，所以我们这两块是可以很合适的合并在一块来看的。我们这一讲的内容主要分为这么三个方面，首先第一个方面对等差数列和平均数这几年的考题做一个评述，然后我们介绍一下等差数列方面的一些基础知识，然后再说一下我们在等差数列和平均数这一块常考到的一些题型，以及它们对应的解题策略。首先我们先来回顾一下这几年的考题，在等差数列这一块我们这一块在
2、考试中这是一个基础常考的题型，因为它的内容比较基础说实话，在我们等差数列这一块特别难的题目很少，它最大的难度就是对一个等差数列它可能残缺某一项，或者冗余某一项，使得这个数列虽然近似于等差数列但还不是等差数列，所以最难只能难到这种程度，也就是说个等差数列整个题目的难度在我们数量关系属于中等难度的，属于一个基础常考的题型，考的频率也比较高，希望大家对这一块有个认识，有个准备。在这一块它侧重考查的能力一个是对公式的套用，因为在我们的等差数列里边，尤其是这个等差数列求和公式特别常考，我们十道题中至少有八道题是跟这个公式相关的，所以我们这一块要比较侧重于考查你对这个公式的应用。再一个是考查你对一个等差数
3、列和项转换的能力，换言之就是知道了项你能不能求出和，知道和能不能转成项的性质，这种和项转化的能力。在题型上来说我们等差数列这块考的题型相对而言比较固定，解题的思路一般来说你也可以按照一个指导性的步骤去做总是可以完成的，而且在其中某一部分题型里边甚至可以说它有一个公式，你直接套用这个公式就可以了。这是关于等差数列这一块。而对于平均数这一块在我们考试中来说，平均数这一块在考试中涉及到的题目都属于难度很低的，属于特别基础的题目，难度近似于计算问题，你看到题目以后你直接按照平均数的定义去计算就可以了，在这一块很少会出现什么难题，更侧重是一些简单的计算能力和一个基本的分析能力。所谓的基本分析能力就是题目
4、有可能涉及到的平均数是多个部分，每个部分的平均数，希望你能够求其中某一些部分合在一起，以后作为一个整体的平均数，它最大的分析能力就是主要考查在这一点。所以考察的内容都是比较基础的，下面我们一块看一下所涉及到的基础知识。对于等差数列来说，我们在考试中最重要的一个基础知识就是要掌握这个等差数列的求和公式，对任何数列来说，我们过去在学的时候可能会学到一个求和公式是和=2（A1+N（N+1）/2）D，其中这个 A1 是首项，其中这个 D 是公差，然后 N 是等差数列的项数，这是我们过去在学等差数列的时候会学到这个公式，但是记住这个公式在我们考试中你很难会用到，我们更为常用的其实是这个地方的这些公式，也
5、就是说我们常用的公式一般都是和=首项+末项/2项数，还等于平均数项数，注意这地方出现平均数了，这就是我们为什么说等差数列经常是和平均数联系在一起的，除此之外我们这个和还等于中位数项数。这三项是我们在等差数列里边特别常用的求和公式，其中大家要注意到对于第一个来说，你看对于第一个来说我们经常要用这个公式，你可能在问题中经常会发现它会给出个首项，或者会给出个末项，你想用这个公式就需要把另外一个项给推出来，就是你知道要把末项要把首项推出来，知道首项要把末项推出来，这个 稍候会提到这一点。除此之外还要注意到，在这个公式里面我们可以看到，这个项数在这边都是被乘以的，这个是等于这一个项目乘以一个项目，这个等
6、于平均数乘以项数，这个等于中位数乘以项数。如果说我们不看这个项数，把项数划掉的话，实际上这个公式可以给你一个什么结果呢？它就相当于首项+末项/2 就等于平均数，就等于中位数，这个实际上是我们实现和项转化的一个很重要的一点，也就是说我们知道和，知道项数之后我们往往可以通过直接相除能够求出中位数，或者能够求出平均数，那我们要转化成具体的项，其实就是利用我们这个地方橙色这一部分，中位数=首项+末项/2，利用这一个点来进行转化，这是我们要注意的，从这个公式导出来的三个相等的三个量，在这个地方我们所说的中位数大家应该知道顾名思义就是指在中间的数，一般来说如果说这个项数是奇数项的话，这个中位数就指的是在最
7、中间的那个，如果这个项数是偶数项的话，这个中位数就指的是最中间那两项的平均数。当然如果是对任意一个数列的话，你要记住求中位数那一定是先把这个数列由小到大或者由大到小排列，只不过在等差数列里边已经是这样排列好的，所以你就直接去看中间这个数字或者是中间两个数字的平均数就可以了，这就是等差数列的求和公式。除了这个之外，我们在等差数列还要注意到我们刚才提到了，因为这个中位数等于首项+末项/2 是一个常见的转化的公式，然后在这里面我们首项和末项往往又只能知道一个，所以实际上我们要在这两个之间转化，往往是要用到下面这个项数公式，什么项数公式？我们一个等差数列的项数它有多少项呢？就等于末项-首项/公差+1。
8、当然对一个等差数列来说，一般来说公差是我们在题目当中的通常都是可以预先知道的，这里边如果说我们不知道项数，我们可以通过这个公式转化把项数求出来，如果说我们知道项数，只知道末项而不知道首项，同样你把这个公式做一个简单的变形，就可以把首项求出来的，类似的，这就是我们知道首项求末项，知道末项求首项常用的一个项数公式。那我们上面提到了，你看在这个公式里边我们再回头去看一眼的话，你会发现一个很有意思的现象，在这地方我们会看到你看和，看第三个公式等于中位数项数。那对一个等差数列来说，在我们考试中这个和一般来说都是整数，而这个项数肯定也是个整数，有几项肯定是个整数，所以我们现在唯一不能断定的是这个中位数究竟
9、是不是整数，它有可能是也有可能不是，但我们知道如果说总的项数奇数项的话，比如说 7 项、9 项，这个时候中位数就是位于中间的那个数字，中间一个，这个时候我们就可以知道中位数显然就得是个整数，这个时候我们就相当于得到和=中位数乘以项数，而且我还知道和、中位数、项数都是整数，这刚好就符合我们整除特性的第三条原则，题目中存在一个等式A=BC 并且 A、B、C 都是满足是整数这样一个要求，这个时候我们就知道和一定能够被中位数整除，也同样一定能够被项数整除，我们更关心的是能被项数整除，你把这个合并成我们一个常用的结论的话，实际上就这样说，在等差数列中，连续奇数项的和一定能够被项数整除，当然这个地方特别提
10、到的连续奇数项的和，比如说连续五项的和一定能被 5 整除，连续 7 项的和一定能被 7 整除，连续 9 项的和一定能被 9 整除，当题目涉及到项数是奇数项的话，记住这个推论是特别常用的一条推论，因为它实际上反映了一种整除性质，这就是关于等差数列我们需要掌握的一些基础知识。关于平均数我们需要掌握的东西就很简单了，我们只要记住一个公式就可以了，就是说对任何一个数列，或者对任何的若干项，我们这个总和总是等于平均数项数的。这是我们关于平均数的一个转化，实际上我们考题围绕平均数来说，为什么简单，因为它就是围绕这一个公式来考，题目有可能会给你和让你其求平均数，有可能会给你平均数让你去求和，万变不离其宗，就
11、是围绕这一个公式来的，所以说对于平均数来说，你只要掌握这么一个公式就可以了。那在我们考试中关于等差数列和平均数常考的题型可以这样来看，对于等差数列来说常考的题型有三种，其中前两种最为常考，一个是已经知道其中的具体项让你求一个和，包括知道首项、包括知道末项，包括知道其他的一些信息，让你去求这个和等于多少，那么求法就是直接应用公式就可以了。反过来也是常考的一个点，题目会先给你一个和，然后让你去求原来这个数列中某一个特定位置上的项应该是多少，也就是已知和待求具体的项，这个时候它的求法一般来说我们就要借助一下平均数的概念。也就是说我先用和除以一下项数，这个值就等于平均数，通过这个平均数我把它转化成具体
12、项，这就是我们对第二类问题常见的思考的步骤。第三类问题就是残缺冗余等差数列，我对一个等差数列做一些小小的操作，使得它可能残缺一项或者冗余一项，在这个基础之上再让你去求一些相应的性质，所以这一类问题的分析很直观，你的思路其实很直观的，你的思路就是先把本来不是等差数列的数列，变成一个等差数列，或者说你近似看成一个等差数列，比如说它残缺了一项，我就先看成它没有残缺那一项我应该怎么做，然后再去修整，如果它冗余了，我就想还没有冗余这一项，它应该是什么样子的，然后我再去根据题目的条件逐步调整。这就是等差数列三类题型，其中第三类考的比较少一些。对于平均数来说，一个方面是应用到等差数列第二类题型里边辅助求解，
13、另外一类就是题目可能经常会给你多个部分，有一个总体是由多个部分组成的，然后我们知道多个部分的平均数待求总体的平均数，你无非就是把每个部分所涵盖的人数求出来，把它所涵盖的数量求出来，然后再把各个部分乘积相加，得到一个总体的和，再除以总的项数就可以得到总体的平均数，这就是我们在这一块常考的一些题型，总体而言难度只有中间这一类题型难度稍高一点，其他题型难度都是比较低的。我们通过一些例题再来重复体会一下这几点，首先来看这样一个例题，说有一堆钢管，最下面一层是 30 根，逐层往上，每一层都会比下一层少一根钢管，那么问这一堆钢管最多有多少根？你想想我们这个钢管每一层往上都会少一根，往上一直上去，要想最多显
14、然最上面那个地方就是一定要挪到只剩一根了，因为我们每一层比它上一层多一根的，所以你想从 30 根这么一层一层的上去，可以多少层呢？最后一层是一根，按照我们的公式就是 30-1/1 然后再加上一个1，我们那个项数公式，所以相当于我们知道这个东西是有 30 层的，所以我要知道钢管有多少根就是直接套用公式首项加末项/2，首项是 1，末项是 30，项数是 30，（1+30）230 就可以得出我们结果 465。这个实际上就是我们最基础的一个等差数列的问题，已经知道其中的项，待求它的和。已知项，待求和。那我们再来看一个问题，还是看一个求和问题，有一个公交线路一共有 15站，假设我们有一辆公交车从起点站开始
15、出发，从起点站开始每一站，注意都会有到前方每一站下车的乘客各一名上车，比如说我在起始站的时候，我前面还剩 14 站，那就意味着我起始站要上来 14 个人，因为前面还剩的 14 站，每一站都要有一个人下车，比如说我如果是第 14 站的话，前面就只剩一站了，这个时候在第 14 站就只上来一个人，因为他要到第 15 站下，就是这个意思。那么我们的问题就是在第 9 站和第 10 站之下，车上有多少人。实际上相当于说我们知道这个人不停的在上下，每一站都会上来一些人，但每一站同时也会下去一些人，当然下去的人数比较好确定，我们想知道在第 9 站到第 10 站之间，车上有多少人，说白了其实就是让你求一下我们过
16、完第 9 站以后，一共上来多少人，下去了多少人，我减一下差自然就是车说有多少人。我们把这个过程再给大家演示一遍，看得更直观一点，我们假设这些车站，第一个车站这么一直下去，当然我没有画完，因为我用不到这儿，因为我们最多只是到第 9 站和第 10 站之间就可以了，所以我们就是简单的先罗列一下前面的车站，我刚才说了每一站都会有到前方任意一站下车的人各一名，那你想一想在第 1 站的时候前面还剩14 站，所以就会有 14 个人上来，到了第二站，前面还剩 13 站，所以到了这一站，就会有 13 个人上来，也就是说其实每一站都会比前一站少上来一个人，因为我的站数在减少，我每次都会少上一个人，所以实际上上车的人数是成这样一个分布的。当然了从第一站没有人下车，但是到了第二站就会有一个人下车，第三站会有俩人下车，这样依次下去，这是我在每个站下车的人数，那我们的问题相当于是什么？问题相当于是画到这个地方，题目让我们求一下在此之前我们上来了多少人？然后还要去要我们下去了多少人，所以实际上说白了这个问题的求解就只是把上面这排数字 14 往前加一直加到 6，加到第 9 站这个地方，然后再减去下
