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1、/复数在初等数学中应用姓名：詹华 班级：数学 1002 班 学号：104042341.形如 z=x+yi 或者 z=x+iy 的数，称为复数，其中 x,y 是任意实数，实数单位为 1，i 满足=-1，称为复数单位。x,y 分别是复数 z 的实部和虚部，分别2i记为 x=Rez,y=Imz。如果说两个复数相等的话，那么它们的实部和虚部都相等。 当一个复数的实部和虚部都为 0 时，那么这个 z=0。2.复数的运算：（1）)()()()(21212211yyxxiyxiyx（2）x)()()(122121212211yxyxiyyxxiyxiyx（3）2 22 22112 2 22 22121222
2、22211221121 )()( yxyxyxiyxyyxx iyxiyxiyxiyx iyxiyx zz 例 1：把复数化为标准形式：711 ii iiiiii iiii ii 771122 )1)(1 ()1)(1 ( 11例 2：已知两个，且这两个复数是相等的，求 a 与 b 值。izbiaz65,) 1(21由题可知：两个复数完全相等，故 a-1=5,b=6,解得 a=b=6。3.对于复数 z=x+iy,称为 z 的共轭复数,且 z 的模 r=。因此iyxz22yx 有以下关系式：。假如 a,b 都是复数，则zzzzzz,22，ba baaabaabbaba ,)Im(2),Re(2z
3、zzzaa例 3：若复数满足等式321,zzz，证明：32311312 zzzz zzzz 321312zzzzzz证明：由已知等式取模可得：2 313212zzzzzz又由已知等式知：323231131312)()()()( zzzzzz zzzzzz 即，从而有：32211332 zzzz zzzz 2321321zzzzzz得到，2 322 213132 zzzzzzzz即可证明.321312zzzzzz4.复数的三角形式： 若 z1=r1(cos1+isin1), z2=r2(cos2+isin2)，则 z1z2=r1r2cos(1+2)+isin(1+2)；若cos(1-2)+isi
4、n(1-2)，用指数形2121 2, 0rr zzz式记为 z1z2=r1r2ei(1+2),。.)(212121ierr zz例 4：若化为指数形式：2)1 (3 ii 213 213 23 23 )1 (3222ii iii ii ii210 41 4922yxz3arctanaiez)3arctan( 210例 4： 求复数（复数）的实部，虚部以及模。zzw111z22221Im21111)1)(1 ( )1)(1 ()1)(1 ( 11zzizzzzzzzzz zzzz zzw 实部为：，虚部为：，模为2211zz21)Im(2zzizzzwzzzzzzzz zz zzwww 1Re2
5、11Re2111 11 1122222例 5：若 ，则必有 Re(z)Im(z)=0.22zz 由题可设：则；，,yixzxyiyxz2222,iyxzxyiiyxz2222，故 Re(z)Im(z)=0。0,22xyzz例 6：对于任何复数来说 z，是否一定成立？22zz 不是，设，仅有或者iyxz222222,2yxzxyiyxz2222yxyx是 2xy=0 时才成立。例 7：设是虚数（即） ，则为实数的条件是（） 。iyxz0y21zz 122 yx由题可知：是实数，故根据实数的性质：，即如下：21zz zz ，2211zz zz1, 1, 1, 0) 1)( ,2222222yxyx
6、zzzzzzzzzz例 8：设是虚数（即） ，则为实数的条件是（） 。iyxz0y21zz 122 yx由题可知：是实数，故根据实数的性质：，即如下：21zz zz ，2211zz zz1, 1, 1, 0) 1)( ,2222222yxyxzzzzzzzzzz例 9：:设为实数，则（xy=0)4,zyxyixz0, 0)(444446)2(2222333322442224xyyxyxxyxyyxixyyixyxyxxyiyxz0, 0)(444446)2(2222333322442224xyyxyxxyxyyxixyyixyxyxxyiyxz5.复平面，一个复数 z=x+iy,本质上由一对有
7、序实数（x，y)唯一确定，(x,y)就成为复数 z 的实数对形式。于是能够建立平面上全部的点和全体复数 z 间的 一一对应关系。换句话说，我们可以借助于横坐标 x,纵坐标 y 的点来表示该复 数。由于 x 轴上的点对应着是实数，故称 x 轴为实轴；y 轴上的非原点上的点 对应着虚数，故称 y 轴为虚轴。这样表示复数 z 的平面叫做复平面。这样我们 就将实数轴的 xoy 平面转化到了复数的 z 平面。另外，在复平面上。从原点到点 z=x+iy 所引的向量与这个复数也构成了 一一对应的关系（复数 0 对应着 0 向量） ，这种对应关系使复数的加减法与向量 的加减法之间相一致。所以我们在举例子的时候
8、将复数与初等数学中的函数与 向量相联系起来：例 10：若，则()。zizf)1( ) 1(if21 i令，。iiz11 21,21 11izi iiz例 11：当时，求的最大值与最小值。1z1nz由题可知：aazazaznnn1我们知道，当，且向量与 a 的夹角为 0 时不等式等号成立。故1nznz的最大值为。azn1a对左边不等式，要分情况进行讨论;（1）若，则等号当且与 a 的方向相反成1a. 1aaaaznn, 1znz立。（2）若则由当时等号成立。, 1a, 0aznazn6、复数的幅角与模：表示复数 z 的位置，也可以借助点 z 的极坐标 r 和 a 来确定，这使原点与直 角坐标系原
9、点重合，极轴与正实轴重合。实轴正向到非复数 Z=x+iy 所对应原点 到复平面表示该复数的向量之间的夹角 a,称为复数 z 的幅角，记为。我们知道任一一个非零复数都xya tanArgza 有无穷多个幅角，令一个为 argz 表示其中一个特值，并且有的zarg一个为 Argz 的主值，.)1, 0(2argkkzArgza注意当 z=0 时没有任何意义，当 argz 表示 z 的主幅角时，它的反正切d 的主值有如下关系：xyarctan当为任何，; 当时，yx, 0xyzarctanarg0, 0yx；2argz当，； 当时，0, 0yxxyarctabzarg0, 0yxxyzarctana
10、rg当 x0,y=0 时， 2argz例 12：求以及。)22(iArg)43(iArgkiArg222arctan)22(kiiArg234arctan)43arg()43(例 13：已知流体在某点 M 的速度 v=-1-i,求其大小和方向。大小：方向： ,2v43 11arctanargv7、应用复数来证明一些式子： 例 14: 设 z=x+iy,试着证明yxzyx2由题可知：)20(sin,cosaazyazxyxzzazaazyx2)4sin(2)sin(cos例 15：若，且，证明以为顶点的为等边三角321zzz0321zzz321,zzz形。证明：记，则az 12 322 32 2
11、2 212 1)(2zzzzzzz得，同样22 323azz22 212 133azzzz即得，命题得证。132312zzzzzz例 16： 设是等分圆周的 n 个点，证明：nzzzz.,321az 0.321nzzzz证明：为了符号的清晰，我们记向量),.1(nkaOzkk则有，且两两之间的夹角为，恰aak,;.;,;.;,;,113221nnkkaaaaaaaan2好是正 n 边形的外角，因此 n 个向量构成正 n 边形，故naaaa.,321，即。0.21naaa0.321nzzzz例 17：证明复数形式的柯西不等式：21211 nkknkknkkkbaba例 18：若复数满足等式321
12、,zzz，证明：32311312 zzzz zzzz 321312zzzzzz证明：由已知等式取模可得：2 313212zzzzzz又由已知等式知：323231131312)()()()( zzzzzz zzzzzz 即，从而有：32211332 zzzz zzzz 2321321zzzzzz得到，2 322 213132 zzzzzzzz即可证明.321312zzzzzz8.复数的三角形式： 若 z1=r1(cos1+isin1), z2=r2(cos2+isin2)，则 z1z2=r1r2cos(1+2)+isin(1+2)；若cos(1-2)+isin(1-2)，用指数形2121 2,
13、0rr zzz式记为 z1z2=r1r2ei(1+2),。.)(212121ierr zz例 16：若化为指数形式：2)1 (3 ii 213 213 23 23 )1 (3222ii iii ii ii210 41 4922yxz3arctanaiez)3arctan( 210例 19：将复数化为指数形式。32)3sin3(cos)5sin5(cos aiaaia ia iaia eee aiaaia aiaaia19 91032)9sin()9cos(10sin10cos )3sin3(cos)5sin5(cos3.开方：若r(cos+isin)，则，nw)2sin2(cosnkinkrw
14、nk=0,1,2,n-1。例 20:在复数范围求。38)2 , 1 , 0)(32sin32(cos8833kkik将 1,2,3 代入上式，得：。ii31, 2,318单位根：若 wn=1，则称 w 为 1 的一个 n 次单位根，简称单位根，记 Z1=，则全部单位根可表示为 1,.单位根的基本性质nin2sin2cos1Z1 12 1,nZZL有（这里记，k=1,2,n-1）：（1）对任意整数 k，若k kZZ1k=nq+r,qZ,0rn-1，有 Znq+r=Zr；（2）对任意整数 m，当 n2 时，有=特别 1+Z1+Z2+Zn-1=0；（3）xn-1+xn-m nmmZZZ1211L ,|,|, 0mnnmn当当2+x+1=(x-Z
