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1、用心 爱心 专心 117 号编辑 1高三数学公开课教案数形结合高三数学公开课教案数形结合 函数函数长沙县第三中学长沙县第三中学教学目的：通过本节课的学习,使学生对如何寻找数学问题中内含的几何意义,充分利用几何图 形的性质,直观、简捷地帮助解决数学问题有一定的认识和体会,对数形结合解题的 思想方法有一定的了解,并能用以帮助解题。情感与技能目标：培养学生辩证的世界观和不屈不挠的探索精神。提高学生观察、分析问题能 力和实践动手能力。教学重点：“数形结合”解题的思想方法在解决与函数有关问题中的应用。教学难点：“数”与“形”的转化及变量与不变量之间的关系的探索。教学手段：多媒体辅助教学数学是研究现实世界
2、的空间形式和数量关系的科学，数与形是数学研究的两个重要方面， 在研究过程中，数形结合既是一个重要的数学思想又是一种常用的数学方法。 “数”与“形” 是一对矛盾，它包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面。在高中阶段较多的是“以形助数” 。一般地说：“形”是具有形象，直观的特点，易于从整体上定性地分析问题， “由数想形” 便于寻求思路，化难为易；“数”则具有严谨，准确的特点，能够严格论证和定量求解， “数 形对照”可以弥补“形”难以精确的弊端。 “数无形时少直观，形无数时难人微“，华罗庚的诗 句精辟地指出了“数形结合“对数学研究和学习的重要性。 数形结合的思想简言之就是代数问题几何化,几何问题代数
3、化,充分体现图形的直观性,代 数推理的逻辑性.一练习一练习： 1.（04 天津）定义在 R R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数,若 f(x)的最小正周期为 ,且当 x0, 时,f(x)=sinx，则 f()的值为（ D ）25 3A. - B . C. - D . 1 21 23 23 2解析：依据偶函数与周期函数的特征，可以画出 y=f(x)的简图f()=f()= 5 32 33 22.设函数 f(x)= ，若 f(x0)1，则 x0的取值范围是（ D ）A. (1，1) B.（1，）C.（，2）（0，） D.（，1）（1，）3.( 05 上海理 16)16) 设定义域为为 R 的
4、函数 ，则关于x的方程|lg |1|( )0xf x 1 1x x f2(x)+bf(x)+c = 0 有 7 个不同的实数解的充要条件是 (C )(A)(A) b0；(B)(B) b0 且c0 设 P：函数 y = c x在 R 上单调递减 ； Q：不等式 x+x2c1 的解集为 R. 如果 P 和 Q 有且仅有一个正确，求 c 的取值范围。 解:函数 y=c 在R上单调递减 则：01 等价于x-2c1-x 的解集为R，令 y=x-2c y=1-x 表示对任意的xR，函数的图像恒在函数的上方， 在如图所示的坐标系中，作出函数和的图像，如果P不正确，且Q正确，则 c1 21 21 2知 2c1
5、,即 c 如果P正确，且Q不正确，则 02 时,求证在区间-1,5上,y=kx+3k 的图像位于函数 f(x)图像的上方. 21.解:(1)(2)方程 f(x)=5 的解分别是 2-，0 和 2+，由于 f(x)在（-，1和-1，2和14145，+）上单调递增，因此 A=(-,2-2+,+). 1414由于 2+-2, BA1414 (3)解法一当 x-1,5时,f(x)=-x2+4x+5 g(x)=k(x+3)-( -x2+4x+5)=x2+(k-4)x+(3k-5)=(x-) 2 , 4 2k22036 4kkk2, 0 当6 时，取 x= -1，g(x)min=2k0 4 2k由可知，当
6、 k2 时，g(x)0，x-1，5 因此，在-1，5上，y=kx+3k 的图像位于函数 f(x)图像的上方. 解法二 当 x-1,5时,f(x)=-x2+4x+5，得 x2+(k-4)x+(3k-5)=0，2(3)45yk xyxx 由令= (k-4)2-4(3k-5)=0，解得 k=2 或 k=18, 在区间-1，5上，当 k=2 时，y=2(x+3)的图像与函数 f(x)的图像只交于一点(1,8);当 k=18 时，y=18(x+3)的图像与函数 f(x)的图像没有交点。 如图可知，由于直线 y=k(x+3)过点(-3,0)，当 k2 时，直线 y=k(x+3)是由直线 y=2(x+3)
7、绕点(-3,0)逆时针方向旋转得到，因此在区间-1，5上，y=k(x+3)的图像位于函数 f(x) 图像的上方。 小小 结结 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象 思维结合，通过对图形的认识、数形的转化，可以培养思维的灵活性、形象性。通过数形结合， 可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化。一数形结合的信息转化的三个途径： （1）建立坐标系，引入参数，化静为动，以动求解； （2）转化为熟悉的几何模型来求解； （3）构造几何模型来求解。二常用的数学模型： （1）一元二次函数的图像； （2）一元一次函数的图形；（3）定比分点公式； （4）斜率公式； （5）两点
8、间的距离公式； （6）点到直线的距离公式 课后练习课后练习 1 （05 福建理 5 5） 函数f(x)axb的图象如图，其中 a、b为常数，则下列结论正确的是 ( B )A A a1，b0； D D a1，b0本题考查指数形函数的性质，分类讨论，的思想和解 决问题的能力，考查数形结合的思想，也可由图用特 值法求解。 2 （05 广东 9）在同一平面直角坐标系中，函数和 的图象关于直线对称. 现将的图象沿轴向左平)(xfy )(xgy xy )(xgy x移 2 个单位，再沿轴向上平移 1 个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线（如图 2 所示） ，y则函数的表达式为（ A ）)(xfAB 2
9、0 , 2201, 22 )(xxxx xf 20 , 2201, 22 )(xxxx xf用心 爱心 专心 117 号编辑 5CD 42 , 1221 , 22 )(xxxx xf 42 , 3221 , 62 )(xxxx xf本题主要考查分段函数的图像、图像平移、反函数、采用排除法，关键是取恰当的点，本题 取端点。3 （05 重庆 3.3. 若函数f(x)是定义在 R 上的偶函数，在上是减函数，且f(2)0，则0 ,(使得f(x)0 B. f(1)f(2)07. 已知是实数集上的奇函数,且在区间上是单调递增函数,若,且)(xfR), 0( 0)21(f的内角满足,则的取值范围是( )AB
10、CA0)(cosAfA(A) (B) (C) (D),32()2,3()32,2(),32()2,3(U解析解析 由于函数是一个抽象函数,因此可根据函数有关性质由题)(xf 意构造出符合条件的一个特殊函数图象,如图 5 所示,由图象及三角形内角范围可知:或,故选 D.21cos0A21cos1A8.(05 北京理 13）对于函数f(x)定义域中任意的x1，x2（x1x2） ，有如下结论： f(x1x2)=f(x1)f(x2)； f(x1x2)=f(x1)+f(x2)； 0； .1212()()f xf x xx 1212()()()22xxf xf xf当f(x)=lgx时，上述结论中正确结论
11、的序号是 . 9.9. 当不等式中恰好有一个解时,实数的值是_.65122pxxp 提示提示 抛物线和直线相切.方程512pxxy6y 有相等的两实根,.092 pxx60632pp10.10. 若不等式的解集是,求实数的取值范围.axxx244 , 0(a解析解析 作函数,的图象(如图 6).2 14xxyaxy 2 由图 6 知,要使的解集是,应有.21yy 4 , 0(0a11.（2005 年湖北卷）已知向量a a = (x2, x + 1)，b b = (1 x, t). xyO21 21图 5xy1图 600a40a 0a0xy用心 爱心 专心 117 号编辑 6若函数f (x) =
12、 a ab b在区间(1, 1)上是增函数，求t的取值范围.解：依定义f (x) = x2(1 x) + t (x + 1) = x3 + x2 + tx + t. = )(xf 3x2 + 2x + t.若f (x)在(1, 1)上是增函数，则在(1, 1)上可设0.)(xf 的图象是开口向下的抛物线，)(xf 当且仅当= t 10，且= t 50 时，) 1 (f ) 1(f在(1, 1)上满足0，即f (x)在(1, 1)上是增函数. 故t的取值)(xf )(xf 范围是t5.评析：本小题通过向量的运算给出函数表达式，主要考查平面向量数量积的计算方法，利用导数研究函数的单调性，以及运用基
13、本函数的性质分析和解决问题的能力. 12已知两点 P（0，1）和 Q（2，3） ，如果二次函数 f(x)=x2ax2 的图象与线段 PQ 有两个 不同的公共点，求实数 a 的取值范围。13已知 f（x）=2x2-2ax+3 在-1，1上的最小值是 f（a） （）求 f（a）的表达式； （）当 a-2，0时，求函数 g（a）= 的值域14.(05 辽宁 22)函数在区间（0，+）内可导，导函数是减函数，且)(xfy )(xf 设是曲线在点（）得的切线方程，. 0)( xfmkxyx), 0(0)(xfy )(,00xfx并设函数.)(mkxxg（）用、表示 m；0x)(0xf)(0xf （）证明
14、：当；)()(,), 0(0xfxgx时（）若关于的不等式上恒成立，其中a、b为实数，x), 023132 2在xbaxx求b的取值范围及a与b所满足的关系.解：本小题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判 断函数之间的大小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学基本关系解 决问题的能力. （）解： ).()(000xfxxfm（）证明：令. 0)(),()()(),()()(00xhxfxfxhxfxgxh则因为递减，所以递增，因此，当；)(xf )(xh0)(,0xhxx时当.所以是唯一的极值点，且是极小值点，0)(,0xhxx时0x)(xh 可知的最小值为 0，因此即 )(xh, 0)(xh).()(xfxg （）解法一：，是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立.10 b0a对任意成立的0)1 (,122baxxbaxx即), 0 x充
