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1、初中数学课堂教学中的问题和创设浙江省富阳市郁达夫中学摘 要：数学问题解决教学是培养学生创新精神和创新能力的重要途径，也是当前数学 教师所面临的一项重要的改革任务。而数学问题教学的首要任务是在教学中创设数学问题。 本文就数学问题的概念、创设的原则进行了深刻的阐述，就创设的途径进行了策略性的探 索，认为在新课引入、知识的拓展、常规题的转化、知识的开放性建设、研究性课题学习 是数学问题创设的切入点。为进行数学问题解决教学打造了良好的理论基础。关 键 词：数学问题 创设原则 创设策略课堂教学的过程应该是师生互动的过程，师生互动在于解决问题，问题是沟通师生互 动的载体。因此，课堂教学过程实际上应该是问题
2、解决的过程，并且可以是看作一种教学 模式，在模式的运作过程中，达到教学目的的实现，即基础知识的掌握和“把那种数学用 于各种情况的能力” 。而目前我国中学生数学问题解决能力相当低下，从而抑制了学生创 造力的培养。在学生眼里“所为问题就是居心叵测的成年人绞尽脑汁给学生挖的陷阱。 ” 同时，我们也发现， “数学考试成绩与数学问题解决能力呈低相关。 ” “数学考试成绩上、中、 下三类学生中，其数学问题解决能力水平都同步发展。 ”由此可见，问题解决教学一方面 是数学教育工作者所面临的一项重要改革内容，另一方面也是培养学生创新精神和数学素 养的重要途径。关于问题解决数学教学模式的理论与实践意义，已多有论述
3、，不再赘言。 本文就其中的数学问题的涵义及数学问题创设的这一角度进行一些思考。 一、 正确认识数学问题概念的内涵 什么是数学问题，众多学者就此作了广泛的探讨。显然，在数学课堂教学中，教师对学生 的一些简单的课堂提问，不能说是数学问题。最易被教师混淆的是，凡是数学习题、练习 题、考试题均是数学问题。这种认识是模糊的、肤浅的。目前比较明显的是两种观点：一 是数学问题是形式化的，二是数学问题是非常规性的。前者的所谓数学问题认识，就是把 实际问题，抽取对象的物质性，只关心数学本质属性的数学题理解为数学问题。而后者认 为，数学问题是指：（1）对学生来说不是常规的，不能靠简单的模仿来解决；（2）可以 是一
4、种情景，其中隐含的数学问题要学生自己去提出、求解并作出解释；(3)具有趣味和魅 力，能引起学生的思考和向学生提出智力挑战；（4）不一定有终极答案，各种不同学生都 可以由浅入深地作出回答；（5）解决它往往需要以个人和小组的数学活动。这事实上指 非常规性问题（nonroutine problem） ，它包括了非传统的文字应用题即智力游戏题。它不 同于平时教学中的习题、练习题的内容和意义。认为习题和练习题只适合于学习事实技巧， 而“真正的”问题，由于非常规性，则适合于学习探究和技巧，适合于数学的原始发现以 及学生如何学，等等。 笔者认为这两种提法都是片面的。第一种观点强调了数学是形式化（formal
5、） 。如形式化的 表示、形式化的推理、形式化的演算。达到极点便是希尔伯特（Hilhtrt，D）的形式主义， 特别注重逻辑的严密，形式上的推演，数学上的“严必有据” 、 “论必严谨” 。但是形式化必 竟是有限度的，数学的发展往往是从“不严密”到严密的过程。一切创造性的数学其思维 活动往往是直觉的，非形式化的、非逻辑的。数的发展就证明了这一点，人类对数的认识 是凭直觉、形象发展起来的，用刻记的方法记数不能说是错误的。就是初中生对“有理数” 概念理解，也是按照学生的年龄特点和认知心理规律来描述再逐步形成定义的。 “教材遵循 数集的扩大过程加以定义：整数和分数统称为有理数。 这样定义仅仅是揭示外延的方
6、法来定义。其后，在初二年级，教材作如下定义：有尽小数和无尽循环小数称为有理数 这从本质上有了新的精确程度。最后，我们在初三年级系统复习数的概念时又补充如下定 义：凡是能表示成 m/n (m,n 都是整数，m,n 互质)形式的数称为有理数。 ”达到了有 理数概念的形式化。第二种观点则强调数学问题是非常规的、情景的、具有趣味和魅力的、 开放的、集体活动解决的。除此以外就不存在数学问题。我们说，对于一道常规的数学习 题，不能全盘否定它不是一个数学问题。如“一列火车以 1 千米/分的速度通过一座长 400 米的大桥，用了半分时间，问这列火车的车身有多长？”对于一名小学毕业生来说，就不 是一个数学问题，
7、但对于一名未学过列方程解应用题的初一学生来说就是一个数学问题。 同样，对于一道具有典型形式化的因式分解题：“5（2a-3b）+4（3b-2a） ” ，既没有情景， 也没有开放性，是能够独立完成的常规题，对于一名初学者来说就是一个数学问题。 要搞清什么是数学问题，首先要回答什么是问题。我们可以这样说，问题是一个系统。如 果对某人来说，一个系统的全部元素、元素的性质和元素间的关系，都是他知道的，那么 这个系统对于他来说就是稳定系统。如果这个系统中至少有一个元素、性质或关系是他所 不知的，那么这个系统对于这个人来说就是一个问题系统。于是，对这个人来说，这个问 题系统就是一个问题。如果这个问题系统的元
8、素、性质、关系都是数学的，那么它就是一 个数学问题。象“歌德巴赫猜想问题”是形式化了的、常规性构造的数学问题，目前， 对所有人来说都是数学问题。不管是数学习题、练习题、考题，对于某个人来说，能解决 的就不是问题，而还没有解决的就是数学问题，是对他仍“具有智力挑战特征、没有现成 直接方法、程序或算法的未解决的情景” ，即具有其智力训练的价值，而不仅仅是“事实与 技巧的训练”所能完成的。 二、 遵循数学问题创设的基本原则 数学课堂教学的过程是问题解决的过程，是一种教学模式，其理论依据是现代认知心理学 提出的引导学生自主构建认知结构的观点。一名出色的数学教师不是在教数学，而是引导、 激发学生自己去学
9、数学，这里的“引导” 、 “激发” ，显然都是从教师教的层面来认识的。 “引导” 、 “激发”其核心在于问题的创设。一个耐人寻味的恰到好处的数学问题能激起学 生活跃的思维浪花。因此，探讨课堂中的问题创设，对于数学问题解决教学是一个首要任 务。数学问题的创设应具有科学性、艺术性，符合学生的认知规律，并遵循其基本原则。1、科学性与趣味性相结合的原则长期以来，中学生对数学学习的兴趣不高，究其原因，除了教育体制与课程内容等因素 之外，部分教师的教学缺乏对学生培养兴趣。初中数学教学的成败，很大程度上取决于学 生对学习数学知识的兴趣是否能保持与发展。学习动机是直接推动学生进行学习活动的内 部动力，学习兴趣
10、是学习动机的主要心理成分，它是推动学生去探求知识并带有情绪体验 色彩的意向。激发兴趣应着眼于趣，学习有趣，才能乐于学，学得好，要想变“要我学” 为“我要学” ，就得千方百计点燃学生心灵的兴趣之火。在教学中，把抽象的数学形象化， 枯燥的数学趣味化，用数学的魅力吸引学生，用教学的艺术感染学生，使学生爱学数学， 会学数学。数学教学中兴趣的培养是教学、研究的永恒的主题，教学中应该处处遵循趣味 性原则。数学问题的趣味性是要让学生在解决问题的过程中，体验到美的情感，变数学的 “苦学”为“乐学” ，它体现了数学对“美”的追求。而数学问题的科学性是指叙述上简洁,使 用的文字及数学语言规范，它体现了数学对“真”
11、的追求，教学活动应该是科学性与趣味 性的辩证统一。因此，数学问题的创设也就必须遵循科学性与趣味性相结合的原则。例如， 在教二元一次方程组的概念和解法时，笔者首先给学生提出我国古代一个有趣的问题 “鸡兔同笼”：笼子里有一些鸡和兔，已知鸡和兔的头数是 6，脚数是 18，问鸡和兔各有 多少只？形式化了的数学问题用生动的情景吸引学生的注意，由此引出二元一次方程组的 概念研究课题，增强其对概念的理解和激发学生对二元一次方程组这一章学习的兴趣。2、启发性与探究性相结合的原则 “数学是思想的体操” ，数学教学是思维活动的教学。学生的思维活动依赖于教师的循循 善诱和精心的点拔与启发，而数学学科的特点又决定了数
12、学内容的掌握和运用都需经过艰 苦细致的思考和探究。启发性和探究性相结合是数学教学过程教与学相统一的具体体现。 其中，启发是探究的条件，探究是启发的目的。好的数学问题，必须具有“启智”的功能， 同时，还要给学生留予充分的探究活动的空间。 3、障碍性与当前接受性相结合的原则传统教学观念认为，数学问题的创设要由易到难，形象地讲，即为学生铺石搭阶，让其 拾级而上，达到知识的制高点。这种方法当然能够达到掌握知识的目的，但从素质教育的 观点来看， “问题解决”教学模式中的问题创设也可以适当地反其道而行之，即由难到 易。具体说来，首先给学生探索的问题不妨难一些，是一个综合性的超前问题，在学生遇 到障碍时，再
13、引导其逐步分解为当前可以接受的问题，这就要求教师在选择问题时，必须 遵循障碍性与接受性相结合的原则。让学生在“最近发展区”内，点燃思维的火花。4、系统性和连续性相结合原则 “问题是数学的心脏。 ”既然谓之“心脏” ，应该是连续不断地跳动，让课堂充满生命的活 力。就一堂数学课而言，无论是教还是学，应该处处充满着数学问题，没有问题就不称为 教学，一个问题解决了，就会产生新的问题。学生应该是带着问题进入学习，又带着新的 问题结束下课。因此教师在课堂中应该不断创设问题、激起学生一个又一个认知冲突，引 导学生不断发现问题、探究问题和解决问题。但这些问题的出现不是杂乱无章的，而是紧 紧围绕教学目标系统而展
14、开。第一个问题是承上启下的，最后的问题是为了归纳总结，也 是为后续发展作好铺垫，而中间的问题又是互相联系在一起。这样，使问题系统地形成一 个有效地课堂运行机制。因此，问题创设应遵循系统性和连续性相结合的原则。 三、问题创设的策略“问题解决”教学绝不能简单的认为是问题的罗列，作为数学教师，也绝不能追求课堂 上一问一答式的表面上的热热闹闹，简单的提问不是数学问题。选择富有智力挑战价值的 问题，在“恰当”的时候提出，是一个教师创造性劳动的体现，一个有经验的教师在这一 点上往往是有“先知先觉”的。在数学教学中，创设问题应努力从以下几个方面作为切入 口：1、在新课引入处创设问题学习数学就是为了解决问题。
15、心理学表明，初中学生的最佳注意时间是课堂的前 15 分 钟时间。为了达到教学目标，新课一开始我们就要设置问题，用问题引入新课，直接进入 问题的情景之中，利用这时大脑的最佳兴奋状态，让学生集中思想，围绕问题进行讨论。 同时，在新课引入处创设问题，也是为了抓住新旧知识的连接点，起到知识迁移的作用， 为整堂课的展开作好充分的准备工作，使学生明白，这节课要解决什么问题，要达到什么 学习目标。以“平均数”这节课为例。教材一开始就论述：“求平均数是一种用来反映某种状态， 或评价某个结果的常用方法” 。这到底要向学生交待什么问题，使人感到莫名其妙，还不如 不说。接着教材用了一个实例：求班级数学考试的平均分的
16、解法实例，引出公式，再来定 义平均数。如果教师用课本这种方法去引入，学生只能死记公式，然后模仿例题，做一些 低层次的运算。为此，我们不妨去提出如下问题：河边的牌子上写着“平均深度为 11 米” ，问一个 14 米的小孩掉下去而不出危险吗？该问题有趣又符合现实情况，学生在此问题引导下，展开师生之间互动对话，再得出平 均数的概念，真正达到问题解决。2、在知识的拓展处创设问题 培养学生的思维能力是数学教学的目的之一，其方法之一便是通过问题的转化、变化和改 造来实现。从这一角度考虑，在知识的拓展处分解原型问题，创设富有启发性和探究性的 问题，使学生形成创造的心理势态，对数学的本质产生一种新的领悟。例如，有下列例题：如图，在矩形 ABCD 中 AB=5cm,BC=8cm,O 是以 BC 为直径的圆。设 AD 边上一动点 P（不运动到 A、D） ，BP 交O 于点 Q。解答下列问题： （1） 设线段 BP 为 xcm，线段 CQ 为 ycm. 求 y 关于 x 的函数关系式和自变量 x 的取值范围； （2） 求当 BP=CQ 时，SBQ
