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1、 学大教育科技(北京)有限公司Xueda Education of Foshan Chan cheng等比数列等比数列教学目的：教学目的： 1.掌握等比数列的定义. 2.理解等比数列的通项公式及推导; 理解等比中项概念. 教学重点：教学重点：等比数列的定义及通项公式 教学难点：教学难点：灵活应用定义式及通项公式解决相关问题 教学过程教学过程：一、复习引入：一、复习引入：1等差数列的定义等差数列的定义： =d ， （n2，nN*）na1na2等差数列的通项公式：等差数列的通项公式：dnaan) 1(1nadmnam)( 3几种计算公差几种计算公差 d 的方法：的方法：d=na1na11 naan
2、 mnaamn 4等差中项：等差中项：成等差数列abAa,A,b2二、讲解新课：二、讲解新课： 下面我们来看这样几个数列，看其又有何共同特点? 1，2，4，8，16，263; 5，25，125，625，； 1，； 81,41,21对于数列，= ; =2（n2）na12n1nn aa对于数列，= ; =5（n2）nan51nn aa对于数列，=；（n2）na1) 1(n 121n211nn aa共同特点：从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数1等比数列等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公
3、比通常用字母 q 表示（q0） ，即： 成等比数列=q（,q0）nann aa1nN*注意：注意：等比数列的定义隐含了任一项00qan且学大教育科技(北京)有限公司Xueda Education of Foshan Chan cheng2.等比数列的通项公式等比数列的通项公式 1: )0(11 1qaqaan n由等比数列的定义，有：；qaa12；2 1123)(qaqqaqaa；3 12 134)(qaqqaqaa )0(11 11 qaqaqaan nn3.等比数列的通项公式等比数列的通项公式 2: 1(0)n m nmaaqa q4既是等差又是等比数列的数列既是等差又是等比数列的数列：非
4、零常数列5.等比中项：等比中项：如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a,G，b 成等比数列，那么称这个数 G 为 a 与 b 的等比中项. 即 G=（a,b 同号）aba,G,b 成等比数列G =ab（ab0）2三、例题三、例题 例例 1 一个等比数列的第 3 项与第 4 项分别是 12 与 18，求它的第 1 项与第 2 项例例 2 求下列各等比数列的通项公式：1=2, =81a3a（答案 ）n 1nn 1n nna( 2)22 ;a( 2)( 2)( 2) 或2=5, 且 2= 31a1nana例例 3. 求数列 =5, 且 的通项公式1a11 nn aann解：nn aa aa
5、aa nn aannnn1,32,21 1123121LLQ以上各式相乘得：115naann例例 4 已知an、bn是项数相同的等比数列，求证是等比数列.（课本 P123 例 3）nnab 例例 5 已知：b 是 a 与 c 的等比中项，且 a、b、c 同号，学大教育科技(北京)有限公司Xueda Education of Foshan Chan cheng求证： 也成等比数列。3,3,3abccabcabcba证明：由题设：b2=ac 得：22 333)3(333cabcabbcbabbcbaabccba 也成等比数列3,3,3abccabcabcba例例 6 已知等比数列.123123,7
6、,8,nnaaaaa a a若求a例例 7 ac,三数 a, 1, c 成等差数列，a , 1, c 成等比数列，求的值.22 22caca 解： a, 1, c 成等差数列, ac2, 又 a , 1, c 成等比数列, a c 1, 有 ac1 或 ac1, 2222当 ac1 时, 由 ac2 得 a1, c1,与 ac 矛盾， ac1, a + c (ac) 2ac6, 222 .22caca 31例例 8 已知无穷数列，LLLL,10,10,10,1051 52 51 50n求证：（1）这个数列成等比数列（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的，101（3）这个数列的任意两项的积仍在
7、这个数列中。证：（1）（常数）该数列成等比数列。5152511101010nnnn aa（2），即：。101101010154515 nnnn aa5101nnaa（3），。52 51 51 101010 qpqpqpaaNqp,2 qp且，11 qpNqp1， （第项） 。 51n 52 1010qp 1 qp例例 9 设均为非零实数，dcba,0222222cbdcabdba学大教育科技(北京)有限公司Xueda Education of Foshan Chan cheng求证：成等比数列且公比为。cba,d证一：关于的二次方程有实根，d0222222cbdcabdba，0442222ba
8、cab022acb则必有：，即，成等比数列02 acbacb 2cba,设公比为，则，代入qaqb 2aqc 02422222222qaqadaqaaqdqaa，即，即。0122 aq0222qqdd0 qd证二：0222222cbdcabdba 022222222cbcddbbabdda，且022cbdbadbad cbd 非零，。dcba,dbc ab四、练习四、练习：1求下面等比数列的第 4 项与第 5 项： （1）5，15，45，； （2）1.2，2.4，4.8，；（3），.22, 1 ,2)4( ;,83.21,32LL2. 一个等比数列的第 9 项是，公比是，求它的第 1 项.94
9、 31等比数列的前等比数列的前 n n 项和项和教学目的：教学目的：学大教育科技(北京)有限公司Xueda Education of Foshan Chan cheng1掌握等比数列的前 n 项和公式及公式证明思路 2会用等比数列的前 n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题。 教学重点：教学重点：等比数列的前 n 项和公式推导 教学难点：教学难点：灵活应用公式解决有关问题 教学过程：教学过程： 一、复习等比数列的通项公式，有关性质，及等比中项等概念。 二、引进课题，采用印度国际象棋发明者的故事，即求 6362 64228421LLs用错项相消法推导结果，两边同乘以公比：6463 64221
10、68422LLS：这是一个庞大的数字184，12216464 64S1910以小麦千粒重为 40计算，则麦粒总质量达 7000 亿吨国王是拿不出来的。g三、一般公式推导：设 nnnaaaaaS1321LL乘以公比， qnnnnqaaaaaqS132LL：，时：nnqaaSq111q qqa qaqa qqaaSnn n n11 11111时：1q1naSn公式的推导方法二：公式的推导方法二：有等比数列的定义，qaa aa aann12312L根据等比的性质，有qaSaS aaaaaannnnn112132 LL即 （结论同上）qaSaSnnn1qaaSqnn1)1 (围绕基本概念，从等比数列的
11、定义出发，运用等比定理，导出了公式公式的推导方法三：公式的推导方法三：nSnaaaaL321)(13211naaaaqaL11nqSa)(1nnaSqa（结论同上）qaaSqnn1)1 (学大教育科技(北京)有限公司Xueda Education of Foshan Chan cheng注意：（1）和各已知三个可求第四个，nSnqa,1nnSqaa,1（2）注意求和公式中是，通项公式中是不要混淆，nq1nq（3）应用求和公式时，必要时应讨论的情况。1q1q四、例例 1、求等比数列的前 8 项和.L,81,41,21例例 2、求和：（x+（其中 x0，x1，y1） （P127，例三）简单)1()
12、1()122 nn yxyxyL的“分项法” 。例例 3、设数列为求此数列前项的和。 naLLL1324 ,3 ,2 , 1nnxxxx0xn用错项相消法，注意分两种情况讨论11xx和例例 4 4、 已知为等比数列，且=a，=b， （ab0） ，求nanSnS2nS3注意这是一道多级分类讨论题. 一级分类：分两种情况讨论；时 ，要分11qq和1q 0011aaqq 和可能为，即和可能作二级分类；q=-1时，作三级分类 n为偶数与n为奇数.例例 5 已知等差数列的第二项为 8，前十项的和为 185，从数列中，依次取出nana按原来的顺序排成一个新数列，求数列的通项公式和前项和公式naaaa284
13、2,LnbnbnS由题设求bn,再分组求和法 例例 6 已知等比数列an的前 n 项和是 2，紧接着后面的 2n 项的和是 12，再紧接着后面的 3n 项的和是 S， 求 S 的值.（1）认真审题（紧接着） ；（2）对 q 的判断.例例 7 等比数列前项和与积分别为 S 和 T，数列的前项和为， nan na1nS求证：nSST2计算验证形的证明，按公比 q=1 和两类分别计算验证.1q例例 8 设首项为正数的等比数列，它的前项之和为 80，前项之和为 6560，且前项中数值最大的项nn2n 为 54，求此数列。学大教育科技(北京)有限公司Xueda Education of Foshan Chan cheng解：由题意 81821 2656011180112 11 nn nnqqqqaqqa代入（1） ， ，得：，从而，qqan18011011 qa1q递增，前项中数值最大的项应为第项。 nann1 1nqa111nnnqqqq,54811nq，3,27548111 nn n qqqq，21311 qa此数列为 LL162,54,18, 6 , 2例例 9 已知数列an中，Sn是它的前 n 项和，并且 Sn+1=4an+2,a1=1. (1) 设 bn=an+1-2an,求证数列bn是等比数列.(2) 设求证数列cn是等差数列；,2nn nac (3) 求数列an的通项
