应用泛函分析课程论文

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1、应用泛函分析课程论文浦云飞 1 前言前言我所学的专业是控制科学与工程，本学期选修了应用泛函分析这门课程。在学习这 门课程的同时，也在考虑这门数学与本身专业的结合。本文主要包含以下几个方面 1：简单介绍泛函分析的含义和内容 2 结合控制工程，讨论泛函分析在控制领域的应用。2 应用泛函分析应用泛函分析泛函分析（Functional Analysis）是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要 对象是函数构成的空间，是研究无穷维线性空间上的泛函数与算子理论的一门分析数学。 无穷维线性空间是描述具无限多自由度的物理系统的数学工具。泛函分析是研究拓扑线性 空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条

2、件的映射的分支学科，是由对变换（如傅 立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。使用泛函作为 表述源自变分法，代表作用于函数的函数。因此，泛函分析是定量地研究诸如连续介质力 学、电磁场理论等一类具有无穷多自由度的物理系统的有力工具。2.1 度量空间和线性赋范空间度量空间和线性赋范空间1、度量空间 现代数学中一种基本的、重要的、最接近于欧几里得空间的抽象空间。19 世纪末叶， 德国数学家 G.康托尔创立了集合论，为各种抽象空间的建立奠定了基础。20 世纪初期,法 国数学家 M.-R.弗雷歇发现许多分析学的成果从更抽象的观点看来,都涉及函数间的距离关 系,从而抽象出度量空间

3、的概念。 度量空间中最符合我们对于现实直观理解的是三维欧氏 空间。这个空间中的欧几里德度量定义两点之间距离为连接这两点的直线的长度。定义： 设 X 为一个集合，一个映射 d：XXR。若对于任何 x,y,z 属于 X，有 （I） （正定性） d(x,y)0,且 d(x,y)=0 当且仅当 x = y； （II） （对称性）d(x,y)=d(y,x)； （III） （三角不等式） d(x,z)d(x,y)+d(y,z） 则称 d 为集合 X 的一个度量（或距离） 。称偶对（X，d）为一个度量 空间，或者称 X 为一个对于度量 d 而言的度量空间。 2、赋范线性空间 泛函分析研究的主要是实数域或复数

4、域上的完备赋范线性空间。这类空间被称为巴拿 赫空间，巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔伯特空间。希尔伯特空间可以利用以下结 论完全分类，即对于任意两个希尔伯特空间，若其基的基数相等，则它们必彼此同构。对 于有限维希尔伯特空间而言，其上的连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换。 3、巴拿赫空间理论（Banach space） 巴拿赫空间理论是 192O 年由波兰数学家巴拿赫（S.Banach)一手创立的，数学分析中常 用的许多空间都是巴拿赫空间及其推广，它们有许多重要的应用。大多数巴拿赫空间是无穷维空间，可看成通常向量空间的无穷维推广 巴拿赫空间（Banach space）是一种赋有“长度”

5、的线性空间泛函分析研究的基本对象之一。数学分析各个分支的发展为巴拿赫空间理论的诞生提供了许多丰富而生动的素材。2.2 线性算子线性算子出现在各个数学领域中具有线性性质的运算（例如线性代数中的线性变换；微分方程 论、积分方程论中大量出现的微分、积分运算、积分变换等）的抽象概括。它是线性泛函 分析研究的重要对象。关于线性算子的理论不仅在数学的许多分支中有很好的应用，同时 也是量子物理的数学基础之一。中国物理学界习惯上把算子称为算符。 线性算子与线性泛函 设x、Y是两个（实数或复数域上的）线性空间，T是x到Y 的映射。T的定义域和值域分别记为D(T )、R(T )。如果对任何数 、和x1、x2D(T

6、)， 满足 x1+x2D(T)，并且 ，则称T是以D（T）为定义域的x到Y的线性算子。特别当D(T)=x，Y是实数域或复数域时，称T是x上的线性泛函。例 1,设x=C【,b】 (【,b】上的连续函数全体), K(t,s)是【,b】【,b】上的二元连续函数，定义，则T是x到x的线性算子。例 3,设x=C【,b】,则,T2x =x(t0)(t0是【,b】中取定的一个点)都是x上的线性泛函。 线性算子的运算 设T1、T2是x到Y的线性算子,它们的定义域分别是D(T1)、D(T2)。对任一 数 ,规定 T1表示以D(T1)为定义域，而对任何 xD(T1),( T1)x=(T1x)的算子规定 T1+T2

7、表示以D(T1)D(T2)为定义域，而对任何的算子。易知 T1（称T1的 倍）,T1+T2(称T1与T2的和)仍是线性算子。又设T3是以D(T3)为定义域的Y到 Z 的线性算子，规 定T3T1（也记作T3T1）表示以 为定义域而对任何的算子。2.3 泛函分析主要定理与特性泛函分析主要定理与特性1. 一致有界定理，该定理描述一族有界算子的性质。 2. 谱定理包括一系列结果，其中最常用的结果给出了希尔伯特空间上正规算子的一个 积分表达，该结果在量子力学的数学描述中起到了核心作用。 3. 罕-巴拿赫定理（Hahn-Banach Theorem）研究了如何将一个算子保范数地从一个子 空间延拓到整个空间

8、。另一个相关结果是对偶空间的非平凡性。 4. 开映射定理和闭图像定理。 泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念 和方法几何化了。比如，不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量，这样最后 得到了“抽象空间”这个一般的概念。它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间。 泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具。n 维空间可以用来描述具有 n 个自 由度的力学系统的运动，实际上需要有新的数学工具来描述具有无穷多自由度的力学系统。 比如梁的震动问题就是无穷多自由度力学系统的例子。一般来说，从质点力学过渡到连续 介质力学，就要由有穷自由度系统过渡到

9、无穷自由度系统。现代物理学中的量子场理论就 属于无穷自由度系统。正如研究有穷自由度系统要求 n 维空间的几何学和微积分学作为工具一样，研究无穷 自由度的系统需要无穷维空间的几何学和分析学，这正是泛函分析的基本内容。因袭，泛 函分析也可以通俗的叫做无穷维空间的几何学和微积分学。古典分析中的基本方法，也就 是用线性的对象去逼近非线性的对象，完全可以运用到泛函分析这门学科中。泛函分析是分析数学中最“年轻”的分支，它是古典分析观点的推广，它综合函数论、 几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子、和极限理论。他在二十世纪四十 到五十年代就已经成为一门理论完备、内容丰富的数学学科了。半个多世纪来，

10、泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对 象，和某些研究手段，并形成了自己的许多重要分支，例如算子谱理论、巴拿赫代数、拓 扑线性空间理论、广义函数论等等；另一方面，它也强有力地推动着其他不少分析学科的 发展。它在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、 最优化理论等学科中都有重要的应用，还是建立群上调和分析理论的基本工具，也是研究 无限个自由度物理系统的重要而自然的工具之一。今天，它的观点和方法已经渗入到不少 工程技术性的学科之中，已成为近代分析的基础之一六、泛函分析与数学分析的区别泛函 分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还

11、把这些概念和方法几 何化了。比如，不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量，这样最后得到了 “抽象空间”这个一般的概念。它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数 空间数学中的分析分支是专门研究实数与复数及其函数的数学分支。它的发展由微积分开 始，并扩展到函数的连续性、可微分及可积分等各种特性。这些特性，有助我们应用在对 物理世界的研究，研究及发现自然界的规律。3 泛函分析与控制泛函分析与控制3.1 控制科学控制科学控制科学与工程是一门研究控制的理论、方法、技术及其工程应用的学科。它是 20 世 纪最重要的科学理论和成就之一，控制科学以控制论、信息论、系统论为基础，研究各领 域内

12、独立于具体对象的共性问题，即为了实现某些目标，应该如何描述与分析对象与环境 信息，采取何种控制与决策行为。 控制理论的研究对象是系统，所谓的控制是指对系统的控制。对系统的研究，主要有 研究系统状态的运动规律和改变这种运动规律的可能性和方法，建立和揭示系统结构、参 数、行为和性能之间的关系，既是对系统进行分析和综合，以按照期望的性能和方式对系 统进行控制。 然而，不管对系统进行分析还是综合，首要前提就是建立起系统的数学模型（如表征 系统输入输出关系的传递函数、表征系统内部信息的状态空间描述等） ，对系统的主要属性 进行数学描述，利用适当的数学工具对系统属性间的关系进行定量描述和分析。随着控制 理

13、论的发展，所用的数学工具也随着变化。可以说，具体学科的发展为数学的发展提供了 素材，而数学的发展，也为具体学科的发展提供了更为有力的工具。 控制科学作为具体的工程科学，基本的研究对象是自然界的物理系统。所谓物理系统（包括社会经济系统）的自由度，是指用于完全描述系统行为的一组无关量的个数。经典 的数学分析是与经典力学的成就密切相关的，主要用来描述和分析物质作有限自由度连续 运动的各种特性。在此，主要研究一元函数或多元函数的性态，诸如单调性、连续性、可 微性和可积性等，对连续函数建立了各种微积分运算。数学的抽象把三维立体空间中向量 的概念，推广到任意有限维线性空间；同时把力学中简单的坐标变换，推广

14、到一般的线性 变换，并且由此引出矩阵对线性变换的表示，以及矩阵的运算等，这些都是线性代数的研 究内容。常微分方程理论讨论集中参数对象连续运动过程的数学描述，以及运动轨线即微 分方程解的存在性与唯一性问题，而且讨论连续运动过程的稳定性问题，并给出自由运动 或受迫运动中运动轨线的求解方法，这种运动也只具有限多自由度，在电学理论和经典控 制原理中，一种广泛适用的频域分析方法要求把函数的定义域由实数扩展到复数，而复变 函数论则是专门讨论复变函数性态的数学分支，它给包括 Fourier 变换和 Laplace 变换在内 的各种频域分析方法，提供了坚实的理论基础。同样，电学理论和经典调节原理的对象， 一般

15、也只具有限多自由度。 而如今现代控制理论，已经由研究单个特定函数作用于系统时所产生的行为，扩展到 研究一类函数作用于系统时可能产生的行为。这样的一类函数或称函数类、函数空间同样 具无限多自由度。而定义于其上的泛函数或算子，则可用来描述系统的行为或其中的各种 关系。 泛函分析正为控制理论的进一步研究提供了有力的工具。把有限维向量空间的概念， 推广到一般线性空间，包括由函数类形成的无限维线性空间，接着要讨论一类在元素间定 义了距离的集合，称为“度量空间” 。在度量空间中，才有可能定义点序列的收敛，并由此 引出点集的某此拓扑概念，同时还讨论定义于其上的泛函数与算子的某些性质。一类特殊 的度量空间称为

16、“赋范线性空间” ，它兼有线性空间的代数结构和赋范数的拓扑结构，是用 以描述具无限多自由度运动过程的一般数学工具。而在赋范线性空间中，又有一类更接近 有限维空间（欧氏空间）特性的无限维线性空间，称为“内积空间” ，其上定义了内积，类 似欧氏空间上向量间的标量积，从而可以引入向量间的夹角、向量直交等概念。对各种抽 象空间的研究，是泛函分析的研究内容之一。 控制理论所研究的问题，可以概括为系统分析、系统综合、建模和优化。系统分析， 包括系统的稳定性分析、能控能观性分析、鲁棒性分析等，主要是分析用以描述系统行为 的算子的特性。传统的分析方法是实用的，但只限于某些特定的系统类型。例如传统的频 域分析法只限于讨论单输入单输出的线性定常系统。而泛函分析所提供的分析方法，有可 能对包括多输入多输出的线性时变系统、分布参数系统，以及某些类型的非线性系统进行 统一的处理，从而获得更加一般的结论。 又如系统的综合，包括控制器和补偿器的设计等，使系统得以镇定或获得某种性能， 这是分析的逆问题。传统的综合方法不仅费时费事，而且解决问题的