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1、第三讲 MATLAB的数值计算 matlab 具有出色的数值计 算能力，占据世界上数值计算软 件的主导地位数值运算的功能创建矩阵矩阵运算多项式运算线性方程组数值统计线性插值函数优化微分方程的数值解一、命令行的基本操作创建矩阵的方法直接输入法 规则： 矩阵元素必须用 括住 矩阵元素必须用逗号或空格分隔 在 内矩阵的行与行之间必须 用分号分隔矩阵元素可以是任何matlab表达式 ，可以是实数 ，也可以是 复数，复数可用特殊函数i，j 输入 a=1 2 3;4 5 6x=2 pi/2;sqrt(3) 3+5i矩阵元素符号的作用逗号和分号的作用逗号和分号可作为指令间 的分隔符，matlab允许多条语
2、句在同一行出现。分号如果出现在指令后， 屏幕上将不显示结果。注意：只要是赋过值的变量，不管是否在屏幕上显示过，都存储在工作空间中，以后可随时显示或调用。变量名尽可能不要重复，否则会覆盖 。当一个指令或矩阵太长时，可用续行冒号的作用用于生成等间隔的向量，默认间隔为1。用于选出矩阵指定行、列及元素。循环语句2.用matlab函数创建矩阵空阵 matlab允许输入空阵，当一项操作无结果时，返回空阵。rand 随机矩阵eye 单位矩阵zeros 全部元素都为0的矩阵ones 全部元素都为1的矩阵还有伴随矩阵、稀疏矩阵、魔方矩阵、对角矩阵、范德蒙等矩阵的创建，就不一一介绍了。注意：matlab严格区分大
3、小写字母，因此a与A是两个不同的变量。matlab函数名必须小写。3. 矩阵的修改 直接修改可用键找到所要修改的矩阵，用键移动到要修改的矩阵元素上即可修改。 指令修改可以用A(,)= 来修改。例如 a=1 2 0;3 0 5;7 8 9 a =1 2 03 0 57 8 9 a(3,3)=0 a =1 2 03 0 57 8 0还可以用函数subs修改，matlab6.0还可用find函数修改。把matlab工作空间中一些有用的数 据长久保存下来的方法是生成mat 数据文件。save 将工作空间中所有的 变量存到matlab.mat文件中。二、数据的保存与获取默认文件名save data将工作
4、空间中所有的变量存到data.mat文件中。save data a b 将工作空间中a和b变量存到data.mat文件中。下次运行matlab时即可用load指令调用已生成的mat文件。load load data load data a b mat文件是标准的二进制文件，还可以ASCII码形式保存。即可恢复保 存过的所有 变量矩阵加、减（,）运算规则： 相加、减的两矩阵必须有相同的行和列两矩阵对应元素相加减。 允许参与运算的两矩阵之一是标量。标量与矩阵的所有元素分别进行 加减操作。三、矩阵运算2. 矩阵乘（）运算规则：A矩阵的列数必须等于B矩阵的行数标量可与任何矩阵相乘。a=1 2 3;4
5、5 6;7 8 0;b=1;2;3;c=a*bc =143223 d=-1;0;2;f=pi*d f = -3.141606.2832矩阵除的运算在线性代数中没有，有矩阵逆的运算，在matlab中有两种矩阵除运算矩阵除法的运算符有两种”和”/”,分别 代表左除和右除,如果A是非奇异方阵,则 AB和B/A运算都可以实现,一般有:ABB/A 是因为有:AB=inv(A) * BB/A=B * inv(A) inv(A)表示对A矩阵求逆矩阵a p a 自乘p次幂方阵1的整数3. 矩阵乘方 an,ap,pa对于p的其它值,计算将涉及特征值和特征向量，如果p是矩阵，a是标量ap使用特征值和特征向量自乘到
6、p次幂；如a,p都是矩阵，ap则无意义。a=1,2,3;4,5,6;7,8,9;a2ans =30 36 4266 81 96102 126 150当一个方阵有复数特征值或负实特征值时，非整数幂是复数阵。a0.5ans =0.4498 + 0.7623i 0.5526 + 0.2068i 0.6555 -0.3487i1.0185 + 0.0842i 1.2515 + 0.0228i 1.4844 - 0.0385i1.5873 - 0.5940i 1.9503 - 0.1611i 2.3134 + 0.2717iinv 矩阵求逆det 行列式的值eig 矩阵的特征值diag 对角矩阵 矩阵转
7、置sqrt 矩阵开方4. 矩阵的其它运算 5.矩阵的一些特殊操作矩阵的变维a=1:12;b=reshape(a,3,4)c=zeros(3,4);c(:)=a(:)矩阵的变向rot90:旋转; fliplr:左右翻转; flipud:上下翻 转矩阵的抽取diag:抽取主对角线;tril: 抽取主下三角;triu:抽取主上三角矩阵的扩展关系运算关系符号意义= = =小于 小于或等于 大于 大于或等于 等于 不等于数组运算指元素对元素的算术运算，与通常意义上的由符号表示的线性代数矩阵运算不同 数组加减(.+,.-)a.+ba.- b6. 矩阵的数组运算 对应元素相加减（与矩阵加 减等效）2. 数组
8、乘除(，./，.） ab a，b两数组必须有相同的 行 和列两数组相应元素相乘 。 a=1 2 3;4 5 6;7 8 9; b=2 4 6;1 3 5;7 9 10; a.*b ans =2 8 18 4 15 30 49 72 90 a=1 2 3;4 5 6;7 8 9; b=2 4 6;1 3 5;7 9 10;a*b ans =25 37 46 55 85 109 85 133 172 a./b=b.a a.b=b./a a./b=b.a 都是a的元素除以b的对应 元素 a.b=b./a 都是a的元素被b的对应元素除 例: a=1 2 3;b=4 5 6; c1=a.b; c2=b.
9、/a c1 = 4.0000 2.5000 2.0000 c2 = 4.0000 2.5000 2.0000 给出a,b对应元素间的商.3. 数组乘方(.) 元素对元素的幂 例: a=1 2 3;b=4 5 6; z=a.2 z =1.00 4.00 9.00 z=a.b z =1.00 32.00 729.00matlab语言把多项式表达成一个行 向量，该向量中的元素是按多项式 降幂排列的。f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0可用行向量 p=an an-1 a1 a0表示poly 产生特征多项式系数向量特征多项式一定是n+1维的特征多项式第一个元素一定是1四、 多项式运算 例:
10、a=1 2 3;4 5 6;7 8 0; p=poly(a) p =1.00 -6.00 -72.00 -27.00p是多项式p(x)=x3-6x2-72x-27 的matlab描述方法，我们可用： p1=poly2str(p,x) 函数文件，显 示 数学多项式的形式 p1 =x3 - 6 x2 - 72 x - 272.roots 求多项式的根a=1 2 3;4 5 6;7 8 0;p=poly(a) p =1.00 -6.00 -72.00 -27.00 r=roots(p) r = 12.12-5.73 显然 r是矩阵a的特征值-0.39当然我们可用poly令其返回多项 式形式 p2=p
11、oly(r) p2 =1.00 -6.00 -72.00 -27.00matlab规定多项式系数向量用行向量表示，一组根用列向量表示。3.conv,convs多项式乘运算例:a(x)=x2+2x+3; b(x)=4x2+5x+6; c = (x2+2x+3)(4x2+5x+6) a=1 2 3;b=4 5 6; c=conv(a,b)=conv(1 2 3,4 5 6) c = 4.00 13.00 28.00 27.00 18.00 p=poly2str(c,x) p = 4 x4 + 13 x3 + 28 x2 + 27 x + 184.deconv多项式除运算a=1 2 3; c = 4
12、.00 13.00 28.00 27.00 18.00 d=deconv(c,a) d =4.00 5.00 6.00d,r=deconv(c,a) 余数 c除a后的整数5.多项式微分matlab提供了polyder函数多项式的微分 。 命令格式： polyder(p): 求p的微分 polyder(a,b): 求多项式a,b乘积的微分 p,q=polyder(a,b): 求多项式a,b商的微分 例：a=1 2 3 4 5; poly2str(a,x) ans = x4 + 2 x3 + 3 x2 + 4 x + 5 b=polyder(a) b = 4 6 6 4 poly2str(b,x)
13、 ans =4 x3 + 6 x2 + 6 x + 4五、代数方程组求解matlab中有两种除运算左除和右除。 对于方程ax+b，a 为anm矩阵，有三种情 况(n行，m列)： 当n=m时，此方程成为“恰定”方程 当nm时，此方程成为“超定”方程 当nm时，此方程成为“欠定”方程matlab定义的除运算可以很方便地解 上 述三种方程1.恰定方程组的解方程ax=b(a为非奇异)x=a-1 b 矩阵逆 两种解:x=inv(a)b 采用求逆运算解方程 x=ab 采用左除运算解方程 方程ax=ba=1 2;2 3;b=8;13; x=inv(a)*b x=abx = x = 2.00 2.003.00 3.00=a x = b例: x1+2x2=8 2x1+3x2=132.超定方程组的解方程 ax=b ,mn时此时不存在唯一解。方程解 (a a)x=a b x=(a a)-1 a b 求逆法 x=ab matlab用最小二乘法找一个准确的基本解。 例: x1+2x2=1 2x1+3x2=23x1+4x2=3a=1 2;2 3;3 4;b=1;2;3;解1 x=ab 解2 x=inv(aa) a b x =
