《专题8 解三角形》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题8 解三角形（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题 8 解三角形 第1页（共8页）专题专题 8 解三角形解三角形高考在考什么高考在考什么【考题回放考题回放】1设分别是的三个内角所对的边，则是, ,a b cABC, ,A B C2ab bc的（ A ）2AB （A）充分条件 （B）充分而不必要条件 （C）必要而充分条件 （D）既不充分又不必要条件2在中，已知，给出以下四个论断： ABCCBAsin2tan 1cottanBA2sinsin0BA 1cossin22BACBA222sincoscos 其中正确的是（ B ） （A） （B） （C） （D）3在ABC 中，已知 A、B、C 成等差数列，则的值2tan2tan32tan2tanC
2、ACA为_.34如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则111ABC222A B C（） A和都是锐角三角形111ABC222A B CB和都是钝角三角形111ABC222A B CC是钝角三角形，是锐角三角形111ABC222A B CD是锐角三角形，是钝角三角形111ABC222A B C5己知 A、C 是锐角ABC 的两个内角，且 tanA, tanC 是方程 x2-px+1-p03 (p0，且 pR)，的两个实根，则 tan(A+C)=_，tanA,tanC 的取值范围分别是_ _和_ _，p 的取值范围是_；(0，)；(0，)；，1) 333326在 ABC 中，已知，A
3、C 边上的中线 BD=，求66cos,364BAB5sinA.【专家解答专家解答】 设 E 为 BC 的中点，连接 DE，则 DE/AB，且，362 21ABDE设 BE=x奎屯王新敞新疆 在 BDE 中可得，2222cosBDBEEDBE EDBED，解得，（舍去）奎屯王新敞新疆xx66 362238521x37x专题 8 解三角形 第2页（共8页）故 BC=2，从而，328cos2222BBCABBCABAC即奎屯王新敞新疆 又，故，奎屯王新敞新疆 3212AC630sinB24 7 sin10A1470sinA高考要考什么高考要考什么【考点透视考点透视】本专题主要考查正弦定理和余弦定理【
4、热点透析热点透析】三角形中的三角函数关系是历年高考的重点内容之一，本节主要帮助考生深刻理解正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 学生需要掌握的能力：(1)运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形；(2)熟练地进行边角和已知关系式的等价转化；(3)能熟练运用三角形基础知识，正(余)弦定理及面积公式与三角函数公式配合，通过等价转化或构建方程解答三角形的综合问题，注意隐含条件的挖掘头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头
5、头 头头 头 突破重难点突破重难点【范例范例 1】在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a,b,c, b=acosC,且ABC 的最大边长为 12，最小角的正弦值为。31（1）判断ABC 的形状； （2）求ABC 的面积。解析解析（1） b=acosC，由正弦定理，得 sinB=sinAcosC, （#）Q B=, sinB=sin(A+C),从而（#）式变为 sin(A+C)= sinAcosC，Q)(CAcosAsinC=0,又 A，CcosA=0，A=，ABC 是直角三角形。), 0(2（2）ABC 的最大边长为 12，由（1）知斜边=12，又ABC 最小角的正QaQ弦值为，Rt
6、ABC 的最短直角边为 12=4，另一条直角边为313128SABC=16284212【点晴点晴】此题主要考查三角函数变换及正弦定理的应用.用正弦定理化边为角，再 以角为突破口，判断出ABC 的形状，最后由已知条件求出三条边，从而求面积.【文文】在ABC 中，若 tanAtanB，试判断ABC 的形状22ba :解析解析 由同角三角函数关系及正弦定理可推得A、B 为三角形的内角，sinA0，sinB0专题 8 解三角形 第3页（共8页）2A2B 或 2A2B，AB 或 AB2所以ABC 为等腰三角形或直角三角形 【点晴点晴】三角形分类是按边或角进行的，所以判定三角形形状时一般要把条件转 化为边
7、之间关系或角之间关系式，从而得到诸如 a2b2c2， a2b2c2（锐角三角形） ，a2b2c2（钝角三角形）或 sin(AB)0，sinAsinB，sinC1 或 cosC0 等一些 等式，进而判定其形状，但在选择转化为边或是角的关系上，要进行探索 【范例范例 2】中，内角.的对边分别为.，已知.成等比数ABCA BCabcabc列，且奎屯王新敞新疆Bcos43（1）求的值；CAcotcot（2）若，求的值奎屯王新敞新疆23BCBAca 解析解析（1）由得，由得，Bcos4347sinBacb 2CABsinsinsin2 BCA CAACAC CC AACA2sinsin sinsinsi
8、ncoscossin sincos sincoscotcot奎屯王新敞新疆 774 sin1 sinsin2BBB（2）由得：，因，所以：，即：23BCBA23cosBacBcos432ac奎屯王新敞新疆22b由余弦定理得Baccabcos22225cos2222Bacbca于是： 故奎屯王新敞新疆9452222accacaca 3 【点晴点晴】 以三角形为载体，以三角变换为核心，结合正弦定理和余弦定理综合考 查逻辑分析和计算推理能力是高考命题的一个重要方向，因此要特别关注三角函数在 解斜三角形中的灵活应用. 【文文】在ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边，.2274sinco
9、s22BCA(1)求角 A 的度数；(2)若 a=，b+c=3，求 b 和 c 的值.3解析解析 27(1)4sincos2180 ,:22BCAABC上上上222721 cos()2cos1,4(1 cos)4cos52 14cos4cos10,cos,2 0180 ,60BCAAAAAAAA Q上专题 8 解三角形 第4页（共8页）222222 22(2):cos2 11cos()3.222 3123,3:2 :.221bcaAbc bcaAbcabcbc bcbbabcbcbcccQ上上上上上上上上上上上上上上【点睛点睛】正弦定理和余弦定理在解斜三角形中应用比较广泛.【范例范例 3】已知
10、ABC 的周长为 6，成等比数列，求,BCCAABuuu ruu u ruuu r（1）ABC 的面积 S 的最大值；（2）的取值范围BA BCuu u r uuu rg解析解析 设依次为 a，b，c，则a+b+c=6，b=ac ,BCCAABuuu ruu u ruuu r在ABC 中得,2222221cos2222acbacacacacBacacac故有又从而03B6,22acbbac02b（），即22111sinsin2sin32223SacBbBmax3S（）22222()2cos22acbacacbBA BCacBuu u r uuu rg22 2(6)3(3)272bbb 02,b
11、Q218BA BC uu u r uuu rg 【点睛点睛】 三角与向量结合是高考命题的一个亮点.问题当中的字母比较多，这就需 要我们采用消元的思想，想办法化多为少，消去一些中介的元素，保留适当的主变 元主变元是解答问题的基本元素，有效的控制和利用对调整解题思路是十分有益处 的 【变式变式】在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c, ABC 的外接圆半径R=，且满足.3BCA BC sinsinsin2 coscos(1) 求角 B 和边 b 的大小； (2) 求ABC 的面积的最大值。解析解析 (1) 由整理得 sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosBBCA BC
12、 sinsinsin2 coscossin(B+C)= 2sinAcosB sinA=2sinAcosB cosB= B=21 3 b=2RsinB b=3(2)=ABCS)32sin(sin33sinsin3sin212AACARBac专题 8 解三角形 第5页（共8页） 21)62sin(233A当 A=时, 的最大值是3ABCS439【点睛点睛】三角函数的最值问题在三角形中的应用 【范例范例 4】某观测站 C 在城 A 的南 20西的方向上，由 A 城出发有一条公路，走 向是南 40东，在 C 处测得距 C 为 31 千米的公路上 B 处有一人正沿公路向 A 城走去， 走了 20 千米后
13、，到达 D 处，此时 C、D 间距离为 21 千米，问还需走多少千米到达 A 城？ 解析解析 据题意得图 02，其中 BC=31 千米，BD=20 千米，CD=21 千米， CAB=60 设ACD = ，CDB = 在CDB 中，由余弦定理得：，71 20212312021 2cos222222 BDCDBCBDCD734cos1sin2 CDACAD180sinsin 18060180sin1435 23 71 21 73460sincos60cossin60sin在ACD 中得1514352321 1435 60sin21sinsinACDAD所以还得走 15 千米到达 A 城 【点晴点晴
14、】 运用解三角形的知识解决实际问题时，关键是把题设条件转化为三角形 中的已知元素，然后解三角形求之 【变式变式】已知半圆 O 的直径 AB=2，P 为 AB 延长线上一点，OP=2，Q 为半圆上 任意一点，以 PQ 为一边作等边三角形 PQR（P、Q、R 为顺时针排列），问点 Q 在什 么位置时，四边形 OPRQ 面积最大，并求这个最大面积.解析解析 设,cos45),1800(2xPQxxPOQ面积，PQRxPQScos3435 432 1而POQ 面积 S2=，xsin 四边形 OPRQ 面积)cos3(sin43521xxSSS.2435,150),60sin(2435maxSxx当【点睛点睛】三角函数在实际
