《2016新课标三维人教B版数学选修1-1 2.2 双曲线》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016新课标三维人教B版数学选修1-1 2.2 双曲线（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、版权所有:中国好课堂 _2.2双_曲_线22.1 双曲线的标准方程对应学生用书P21双曲线的定义我海军“洛阳”舰和“太湖”舰组成第十六批护航编队远赴亚丁湾，在索马里海域执行护航任务某日“洛阳”舰哨兵监听到附近海域有快艇的马达声，与“洛阳”舰相距 1 600 m 的“太湖”舰，3 s 后也监听到了该马达声(声速为 340 m/s)问题 1：“太湖”舰比“洛阳”舰距离快艇远多少 m?提示：远 34031 020 m.问题 2：若把“洛阳舰”和“太湖舰”看成两个定点 A、B，快艇看成动点 M，M 满足什么条件？提示：|MB|MA|1 020.双曲线的定义把平面内与两个定点 F1，F2的距离的差的绝对
2、值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.版权所有:中国好课堂 双曲线的标准方程在平面直角坐标系中 A(3,0)，B(3,0)，C(0，3)，D(0，3)问题 1：若动点 M 满足|MA|MB|4，则 M 的轨迹方程是什么？提示：1.x24y25问题 2：若动点 M 满足|MC|MD|4，则点 M 的轨迹方程呢？提示：1.y24x25双曲线的标准方程焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上标准方程1x2a2y2b2(a0，b0)1y2a2x2b2(a0，b0)焦点坐标F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)a，b，
3、c 的关系c2a2b21对双曲线定义的两点说明(1)距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支若 F1，F2表示双曲线的左、右焦点，且点 P 满足|PF1|PF2|2a，则点 P 在右支上；版权所有:中国好课堂 若点 P 满足|PF2|PF1|2a，则点 P 在左支上(2)在双曲线定义中，规定 2a|F1F2|，若把|F1F2|用 2c 表示，则当 2a2c 时，P 的轨迹为双曲线当 2a2c 时，P 的轨迹为以 F1，F2为端点的两条射线当 2a2c 时，动点 P 的轨迹不存在2对双曲线标准方程的三点认识(1)只有当双曲线的两焦点 F1，F2在坐标轴上，并且线段 F1F2的垂直平分线也是坐标轴
4、时得到的方程才是双曲线的标准方程(2) 标准方程中的两个参数 a 和 b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里 b2c2a2与椭圆中 b2a2c2相区别，且椭圆中 ab0，而双曲线中 a，b 大小则不确定(3)焦点 F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型 “焦点跟着正项走” ，若 x2项的系数为正，则焦点在 x 轴上，若 y2项的系数为正，则焦点在 y 轴上对应学生用书P22双曲线定义的应用例 1 已知双曲线1 的左、右焦点分别是 F1、F2，若双曲线上一点 P 使得x29y216F1PF290，求F1PF2的面积思路点拨 根据双曲线的定义和勾股定理分别
5、列出关于|PF1|，|PF2|的方程，求得|PF1|，|PF2|或|PF1|PF2|即可精解详析 由1，得 a3，b4，c5.x29y216版权所有:中国好课堂 由双曲线定义及勾股定理得|PF1|PF2|6，|PF1|2|PF2|2|F1F2|2102，(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|100.|PF1|PF2|32.100362SF1PF2 |PF1|PF2|16.12一点通 利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件|PF1|PF2|2a 的变形使用，特别是与|PF1|2|PF2|2，|PF1|PF2|间的关系；二是要与三角形知识相结合，如勾股定理、余弦定理、正弦定
6、理等，同时要注意整体思想的应用1若点 M 在双曲线1 上，双曲线的焦点为 F1，F2，且|MF1|3|MF2|，则x216y24|MF2|等于( )A2 B4C8 D12解析：双曲线中 a216，a4,2a8，由双曲线定义知|MF1|MF2|8，又|MF1|3|MF2|，所以 3|MF2|MF2|8，解得|MF2|4.答案：B2已知动圆 M 与圆 C1：(x3)2y29 外切且与圆 C2：(x3)2y21 内切，则动圆圆心 M 的轨迹方程是_解析：设动圆 M 的半径为 r.版权所有:中国好课堂 因为动圆 M 与圆 C1外切且与圆 C2内切，所以|MC1|r3，|MC2|r1.相减得|MC1|M
7、C2|4.又因为 C1(3,0)，C2(3,0)，并且|C1C2|64，所以点 M 的轨迹是以 C1，C2为焦点的双曲线的右支，且有 a2，c3.所以 b25，所求的轨迹方程为1(x2)x24y25答案：1(x2)x24y25求双曲线的标准方程例 2 求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)a4，经过点 A；(1，4 103)(2)经过点(3,0)，(6，3)思路点拨 先设双曲线标准方程，再构造关于 a，b 的方程组，求 a，b.精解详析 (1)当焦点在 x 轴上时，设所求标准方程为1(b0)，x216y2b2把 A 点的坐标代入，得 b20)，y216x2b2版权所有:中国好课堂 把 A 点的
8、坐标代入，得 b29，所求双曲线的标准方程为1.y216x29(2)设双曲线的方程为 mx2ny21(mn0，b0)，x2a2y2b2则有Error!Error!解得Error!Error!故双曲线标准方程为y21.x25答案：A4根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)过点 P(3，)，Q(，5)且焦点在坐标轴上；154163(2)与双曲线1 有公共焦点，且过点(3，2)x216y242解：(1)设双曲线的标准方程为 mx2ny21(mn1 时，方程为1，表示焦点在 y 轴上的椭圆(12 分)x24ky24一点通将方程化为标准方程的形式，假如方程为1，则当 mn0，b0)或1(a0，b0)或
9、mx2ny21(mn4 或 t4.其中判断正确的是_(只填正确命题的序号)解析：错误，当 t 时，曲线 C 表示圆；正确，若 C 为双曲线，则(4t)(t1)524；正确，若 C 为焦点在 x 轴上的椭圆，则 4tt10.14.答案：7已知双曲线的一个焦点为 F1(，0)，点 P 位于双曲线上，线段 PF1的中点坐标5为(0,2)，求双曲线的标准方程解：设双曲线方程为1(a0，b0)x2a2y2b2因为 c，c2a2b2，5所以 b25a2，a25.所以1.x2a2y25a2由于线段 PF1的中点坐标为(0,2)，则 P 点坐标为(，4)，5版权所有:中国好课堂 代入双曲线方程得1，5a216
10、5a2解得 a21(a225 舍去)故双曲线的标准方程为 x21.y248已知ABC 的两个顶点 A，B 分别为椭圆 x25y25 的左焦点和右焦点，且三个内角 A，B，C 满足关系式 sin Bsin A sin C.12(1)求线段 AB 的长度；(2)求顶点 C 的轨迹方程解：(1)将椭圆方程化为标准形式为y21.x25a25，b21，c2a2b24，则 A(2,0)，B(2,0)，|AB|4.(2)sin Bsin A sin C，12由正弦定理得|CA|CB| |AB|21)y2322.2 双曲线的几何性质版权所有:中国好课堂 对应学生用书P24已知双曲线方程1(a0，b0)x2a2
11、y2b2问题 1：双曲线的对称轴和对称中心各是什么？提示：坐标轴、坐标原点问题 2：双曲线与坐标轴有交点吗？提示：与 x 轴有两个交点(a,0)，(a,0)，与 y 轴没有交点问题 3：双曲线方程中 x，y 的取值范围是什么？提示：|x|a，yR.双曲线的几何性质标准方程1x2a2y2b2(a0，b0)1y2a2x2b2(a0，b0)图形焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)性质焦距|F1F2|2c版权所有:中国好课堂 范围xa 或 xa，yRya 或 ya，xR顶点(a,0)，(a,0)(0，a)，(0，a)对称性关于 x 轴、y 轴和原点对称轴长实轴长2a，虚轴长
12、2b渐近线 0 或 y xxaybba 0 或 y xxbyaab离心率e (e1)ca对双曲线的简单几何性质的几点认识(1)双曲线的范围决定了双曲线的开放性和无限延展性，由双曲线的方程1(a0，b0)，得11，x2a2，|x|a，即 xa 或 xa；x2a2y2b2x2a2y2b2(2)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，离心率越大，双曲线的开口越大，反之亦然；(3)对称性：由双曲线的方程1(a0，b0)，若 P(x，y)是双曲线上任意一点，x2a2y2b2则 P1(x，y)，P2(x，y)均在双曲线上，因 P 与 P1，P2分别关于 y 轴，x 轴对称，因此双曲线分别关于 y 轴
13、，x 轴对称对应学生用书P24已知双曲线的标准方程求其几何性质版权所有:中国好课堂 例 1 求双曲线 9y24x236 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程思路点拨 化为标准形式求a，b，c得双曲线的 几何性质精解详析 双曲线的方程化为标准形式是1，x29y24a29，b24，a3，b2，c.13又双曲线的焦点在 x 轴上，顶点坐标为(3,0)，(3,0)，焦点坐标为(，0)，(，0)，1313实轴长 2a6，虚轴长 2b4，离心率 e ，渐近线方程为 y x.ca13323一点通 已知双曲线的方程求其几何性质时，若方程不是标准形式的先化成标准方程弄清方程中的 a，b 对应
14、的值，再利用 c2a2b2得到 c.然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质1双曲线 2x2y28 的实轴长是( )A2 B22C4 D42解析：双曲线方程可变形为1，所以 a24，a2，2a4.x24y28答案：C版权所有:中国好课堂 2已知双曲线 C 的焦点、顶点恰好分别是椭圆1 的长轴端点、焦点，则双曲x225y216线 C 的渐近线方程为( )A4x3y0 B3x4y0C4x5y0 D5x4y0解析：由已知得，双曲线焦点在 x 轴上，且 c5，a3，双曲线方程为1.x29y216渐近线方程为0 即 0.x29y216x3y4答案：A由双曲线的几何性质求标准方程例 2 求适合下列条件的双曲线标准方程(1)虚轴长为 12，离心率为 ；54(2)顶点间距离为 6，渐近线方程为 y x；32(3)求与双曲线 x22y22 有公共渐近线，且过点 M(2，2)的双曲线方程思路点拨 分析双曲线 的几何性质求a，b，c确定讨论 焦点位置求双曲线的 标准方程精解详析 (1)设双曲线的标准方程为1 或1(a0，b0)x2a2
