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1、第五单元第五单元 定积分及其应用定积分及其应用 一、概念与性质一、概念与性质1 1、定义:、定义:baniidxxfxf)()(lim10 2 2、几何意义:、几何意义:平面图形的面积3 3、性质:、性质:bccabaabbadxxfdxxfdxxfdxxfdxxf)()()(,)()(babadxxfkdxxkf)()(dxxgdxxfdxxgxfbababa)()()()(aadxxf0)(cabcbadxxfdxxfdxxf)()()( 若 axb,f(x)0,则0)(badxxf若 axb,f(x)g(x),则babadxxgdxxf)()( babadxxfdxxf)()(估值定理估
2、值定理) )在a,b上,若 mf(x)M,则m(b-a)M(b-a)badxxf)((中值定理)(中值定理)若 f(x)在a,b上连续,则在a,b上至少有一个数,使=f()(b-a)badxxf)(二、基本公式二、基本公式1 1、变限的定积分可微:、变限的定积分可微:)()()()()()()(xxfxxfdxxfxx2 2、牛顿、牛顿莱布尼兹公式(微积分基本公式)莱布尼兹公式(微积分基本公式)(F(x)F(x)为为 f(x)f(x)在在a,ba,b上的任一原函数)上的任一原函数))()()()(aFbFxFdxxfb aba三、定积分的换元积分法与分部积分法三、定积分的换元积分法与分部积分法
3、 1 1、定积分的换元积分法与分部积分法同于不定积分;、定积分的换元积分法与分部积分法同于不定积分; 注意:换元必换积分上、下限。注意:换元必换积分上、下限。2 2、对称区间上奇、偶连续函数的定积分、对称区间上奇、偶连续函数的定积分若 f(x)在-a,a上为偶连续函数,则 aaadxxfdxxf 0)(2)(若 f(x)在-a,a上为奇连续函数,则0)(aadxxf3 3、两个重要公式、两个重要公式为偶数时nnn nn,221 231LL为奇数时nnn nn, 132 231LL22 02 0cossin xdxxdxnn例例 1 1 等于 (A A) (因(因为常数)为常数) 21sin x
4、dxdxd21sin xdx、 、cos2-cos1 C、sin1-sin2 D、sin2-sin1例例 f(x)在区间a,b上连续,则的值 ()()babadttfdxxf)()(、小于零 、等于零 、大于零 、不确定 (与积分变量无关)(与积分变量无关) 例例 设 f(x)在区间a,b上连续,则曲线 y=f(x)与直线 x=a,x=b 和 y=0 所围成的平面图 形的面积等于 ( C C ) D.不确定bababadxxfCdxxfBdxxfA)(.)(.)(.例例 设 f(x)在区间a,b上连续,根据定积分中值定理,在闭区间a,b上至少存在一点,使 f() badxxfab)(1例例 估
5、计积分的值的范围2 0sin dxex解:解:在区间上,sinx1,因此,2, 0eexsin1所以222 0sinedxex 例例 设)4(,cos)( 02FtdttxFx求解:解:84cos4)4(,coscos)(2202FxxtdttxFx故例例 设)(,sin)( 0xfxxdttfx求解:解:对等式两端同时求导数得:f(x)=sinx+xcosx例例 设,求 F /(x)dtedtexF xtxt00222)(解:解:242222)()(2)(xxxxexeexexF例例 求 (,利用洛必达法则)利用洛必达法则) 3020sin limxdttextx00解:解:原式=31 3l
6、im3sinlim220220 xex xxexxxx例例 设 (a 为非零常数),求dxdytuduax 0siny=asint3解:解:ttatadtdxdtdydxdytadtdytadtdxcotsincos,cos,sin例例 证明在区间(0,1)内有惟一的实根。0113 02xtdtx证:证:令,则 f(x) 在区间(0,1)内为连续函数,且 f(0)=-10,即 f(x)在在区间(0,1)222132 113)(xx xxf内单调增加,因此,f(x)在区间(0,1)内最多存在一个零点,综上所述,在区间(0,1)内有惟一的实根。0113 02xtdtx例例 求函数的极值点及极值。x
7、tdtxf21ln)(解:解:法一:f /(x)=lnx,令 f /(x)=0,解得 x=1,01) 1 (,1)( fxxf所以 x=1 为极小值点,极小值为) 12(ln21lnln121121121dttttdt法二:先求出 f(x),再讨论极值值(略)例例 若 f(x)有连续导数,f(b)=5,f(a)=3,求badxxf)(解:解:235)()()()()(afbfxfxdfdxxfbab aba例例 设)2(,sin)( 0fftdtxfx求解:解:12cos1)2(,cos1cossin)(00fxttdtxfxx1cos1) 1 ()2( fff例例 设,求 f(x)102)(
8、3)(dxxfxxxf解:设,在0,1上取定积分得:AxxxfAdxxf2103)(,)(则,即10210)3()(dxAxxdxxf32,21)21(1 023AAAxxA解处4所以xxxf323)(2例例 已知为 f(x)的一个原函数,求xxe10)(dxxf x解:解:10101 010)()()()(dxxfxxfxxdfdxxf x因exedxxfxeexexfxxxx1 010)(,)()(且所以eexxedxxf xx1 010)1 ()(例例 计算 (开方时要加绝对号)(开方时要加绝对号) dxxx20244解:解:原式2)212()2(2)2(2 022020202xxdxx
9、dxxdxx例例 设 f(x)= ,求2011)()2()() 1 (dxxfdxxf解:解:2) 1(21) 1()() 1 (1 121111xdxxdxxf2121021102021) 1()()()()2(dxxdxxdxxfdxxfdxxf38 67 23 61) 1(212 131 02xx例例 求 (、)(、) (利用奇、偶性质)(利用奇、偶性质)dxxx11211解:解:原式2arctan211211 11 0102112112xdxxdxxdxxx例例 计算 (、)(、) (分部积分)(分部积分)10arctanxdx解:解:原式102 2102101 0)1 (121 41
10、4arctanarctanxdxdxxxxxdxx2ln21 4)1ln(21 41 02x例例 2121 ( ) (05B05B,9 9) dxxfba)3(解:解:原式=3)3()3( 3)3(33)3(afbfxfxdxfb aba例例 2222 设函数 y=y(x)是由参数方程 所确定,求dxdy解:解:202sin)sin(tduudtdxtx+1, x11,212xxx=tduu 02sin2costy 5(05B05B、1515)ttttdtdxdtdydxdytttdtdy2sinsin2,sin2)(cos22 22例例 2323 计算 (05B05B、1717) exdxx
11、1ln1解:解:原式exedxxxxxxxdeeee244212ln2ln21111例例 2424 设 f(x)在0,1上有连续的导数,且 f(1)=2,则3)(10dxxf( ) (0606、9 9)10)(dxxf x解:解:原式132)()()(101 010dxxfxxfxxdf例例 2525 计算 (0606、1616) dxxx2 02cos解:解:原式cos)cos(24sin2sin2 02 02 2 02 02dxxxxdxxxxx24sin242 2 02 x例例 2626 设,则 f /(x)= ( D D ) (07(07、5)5) dttxfx202sin)(4224
12、sin2.cos2.sin2.sin.xxDxxCxxBxA例例 2727 定积分的值为( ) (0707、9 9)dxxxx)cos1(43222解:解:原式tdttxxdxxxdxx 2 023222222cos42sin2cos44 设 2)2sin21(4)2cos1 (42 02 0ttdtt例例 2828 计算 (0707、1616)122221dxxx解:解:令 x=sint,dx=costdt,4,22,2,1txtx时时原式=41)cot() 1(cscsincos242422422ttdttdttt6例例 2929 设函数,则 f /(x)= ( ( D D ) ) (08
13、(08、03)03)tdtt xsin022xxDxxCxxBxxA2sin8.2sin4.2sin8.2sin4.2222例例 3030 = () (0808、1111)dxxx1121sin2解:解:原式22arctan212)1sin 12(1 11121122xdxxdxxx x例例 3131 求定积分 (0808、1616)dxex10解:解:原式2 2 221 0101 010tttteedtetedttetx令例例 3232 计算)00(2)1 ( lim010xdttxtx解:解:原式 (分子分母同时求导)(分子分母同时求导)22)1 (lim10exxx 例例 3333 已知dxddttxxx求,sin)(202解:4202sin2sin)(2 xxdttxdxdx例例 3434 设,当 x0 时,f(x)是 g(x)的什么无1)(,)1ln()( 02xexgdttxfxx穷小?解:解:0)1 (2lim12lim1)1