《2017年江苏省高数复习资料第五单元 定积分及其应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017年江苏省高数复习资料第五单元 定积分及其应用（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第五单元第五单元 定积分及其应用定积分及其应用 一、概念与性质一、概念与性质1 1、定义：、定义：baniidxxfxf)()(lim10 2 2、几何意义：、几何意义：平面图形的面积3 3、性质：、性质：bccabaabbadxxfdxxfdxxfdxxfdxxf)()()(,)()(babadxxfkdxxkf)()(dxxgdxxfdxxgxfbababa)()()()(aadxxf0)(cabcbadxxfdxxfdxxf)()()( 若 axb,f(x)0，则0)(badxxf若 axb,f(x)g(x)，则babadxxgdxxf)()( babadxxfdxxf)()(估值定理估
2、值定理) )在a,b上，若 mf(x)M,则m(b-a)M(b-a)badxxf)(（中值定理）（中值定理）若 f(x)在a,b上连续，则在a,b上至少有一个数，使=f()(b-a)badxxf)(二、基本公式二、基本公式1 1、变限的定积分可微：、变限的定积分可微：)()()()()()()(xxfxxfdxxfxx2 2、牛顿、牛顿莱布尼兹公式（微积分基本公式）莱布尼兹公式（微积分基本公式）（F(x)F(x)为为 f(x)f(x)在在a,ba,b上的任一原函数）上的任一原函数）)()()()(aFbFxFdxxfb aba三、定积分的换元积分法与分部积分法三、定积分的换元积分法与分部积分法
3、 1 1、定积分的换元积分法与分部积分法同于不定积分；、定积分的换元积分法与分部积分法同于不定积分； 注意：换元必换积分上、下限。注意：换元必换积分上、下限。2 2、对称区间上奇、偶连续函数的定积分、对称区间上奇、偶连续函数的定积分若 f(x)在-a,a上为偶连续函数，则 aaadxxfdxxf 0)(2)(若 f(x)在-a,a上为奇连续函数，则0)(aadxxf3 3、两个重要公式、两个重要公式为偶数时nnn nn,221 231LL为奇数时nnn nn, 132 231LL22 02 0cossin xdxxdxnn例例 1 1 等于 （A A） （因（因为常数）为常数） 21sin x
4、dxdxd21sin xdx、 、cos2-cos1 C、sin1-sin2 D、sin2-sin1例例 f(x)在区间a,b上连续，则的值 （）（）babadttfdxxf)()(、小于零 、等于零 、大于零 、不确定 （与积分变量无关）（与积分变量无关） 例例 设 f(x)在区间a,b上连续，则曲线 y=f(x)与直线 x=a,x=b 和 y=0 所围成的平面图 形的面积等于 （ C C ） D.不确定bababadxxfCdxxfBdxxfA)(.)(.)(.例例 设 f(x)在区间a,b上连续，根据定积分中值定理，在闭区间a,b上至少存在一点，使 f() badxxfab)(1例例 估
5、计积分的值的范围2 0sin dxex解：解：在区间上，sinx1,因此，2, 0eexsin1所以222 0sinedxex 例例 设)4(,cos)( 02FtdttxFx求解：解：84cos4)4(,coscos)(2202FxxtdttxFx故例例 设)(,sin)( 0xfxxdttfx求解：解：对等式两端同时求导数得：f(x)=sinx+xcosx例例 设，求 F /(x)dtedtexF xtxt00222)(解：解：242222)()(2)(xxxxexeexexF例例 求 （，利用洛必达法则）利用洛必达法则） 3020sin limxdttextx00解：解：原式=31 3l
6、im3sinlim220220 xex xxexxxx例例 设 (a 为非零常数)，求dxdytuduax 0siny=asint3解：解：ttatadtdxdtdydxdytadtdytadtdxcotsincos,cos,sin例例 证明在区间(0,1)内有惟一的实根。0113 02xtdtx证：证：令，则 f(x) 在区间(0,1)内为连续函数，且 f(0)=-10,即 f(x)在在区间(0,1)222132 113)(xx xxf内单调增加，因此，f(x)在区间(0,1)内最多存在一个零点，综上所述，在区间(0,1)内有惟一的实根。0113 02xtdtx例例 求函数的极值点及极值。x
7、tdtxf21ln)(解：解：法一：f /(x)=lnx,令 f /(x)=0,解得 x=1,01) 1 (,1)( fxxf所以 x=1 为极小值点，极小值为) 12(ln21lnln121121121dttttdt法二：先求出 f(x)，再讨论极值值（略）例例 若 f(x)有连续导数，f(b)=5,f(a)=3,求badxxf)(解：解：235)()()()()(afbfxfxdfdxxfbab aba例例 设)2(,sin)( 0fftdtxfx求解：解：12cos1)2(,cos1cossin)(00fxttdtxfxx1cos1) 1 ()2( fff例例 设，求 f(x)102)(
8、3)(dxxfxxxf解：设，在0,1上取定积分得：AxxxfAdxxf2103)(,)(则，即10210)3()(dxAxxdxxf32,21)21(1 023AAAxxA解处4所以xxxf323)(2例例 已知为 f(x)的一个原函数，求xxe10)(dxxf x解：解：10101 010)()()()(dxxfxxfxxdfdxxf x因exedxxfxeexexfxxxx1 010)(,)()(且所以eexxedxxf xx1 010)1 ()(例例 计算 （开方时要加绝对号）（开方时要加绝对号） dxxx20244解：解：原式2)212()2(2)2(2 022020202xxdxx
9、dxxdxx例例 设 f(x)= ,求2011)()2()() 1 (dxxfdxxf解：解：2) 1(21) 1()() 1 (1 121111xdxxdxxf2121021102021) 1()()()()2(dxxdxxdxxfdxxfdxxf38 67 23 61) 1(212 131 02xx例例 求 （、）（、） （利用奇、偶性质）（利用奇、偶性质）dxxx11211解：解：原式2arctan211211 11 0102112112xdxxdxxdxxx例例 计算 （、）（、） （分部积分）（分部积分）10arctanxdx解：解：原式102 2102101 0)1 (121 41
10、4arctanarctanxdxdxxxxxdxx2ln21 4)1ln(21 41 02x例例 2121 （ ） （05B05B，9 9） dxxfba)3(解：解：原式=3)3()3( 3)3(33)3(afbfxfxdxfb aba例例 2222 设函数 y=y(x)是由参数方程 所确定，求dxdy解：解：202sin)sin(tduudtdxtx+1, x11,212xxx=tduu 02sin2costy 5（05B05B、1515）ttttdtdxdtdydxdytttdtdy2sinsin2,sin2)(cos22 22例例 2323 计算 （05B05B、1717） exdxx
11、1ln1解：解：原式exedxxxxxxxdeeee244212ln2ln21111例例 2424 设 f(x)在0，1上有连续的导数，且 f(1)=2,则3)(10dxxf（ ） （0606、9 9）10)(dxxf x解：解：原式132)()()(101 010dxxfxxfxxdf例例 2525 计算 （0606、1616） dxxx2 02cos解：解：原式cos)cos(24sin2sin2 02 02 2 02 02dxxxxdxxxxx24sin242 2 02 x例例 2626 设，则 f /(x)= ( D D ) (07(07、5)5) dttxfx202sin)(4224
12、sin2.cos2.sin2.sin.xxDxxCxxBxA例例 2727 定积分的值为（ ） （0707、9 9）dxxxx)cos1(43222解：解：原式tdttxxdxxxdxx 2 023222222cos42sin2cos44 设 2)2sin21(4)2cos1 (42 02 0ttdtt例例 2828 计算 （0707、1616）122221dxxx解：解：令 x=sint,dx=costdt,4,22,2,1txtx时时原式=41)cot() 1(cscsincos242422422ttdttdttt6例例 2929 设函数，则 f /(x)= ( ( D D ) ) (08
13、(08、03)03)tdtt xsin022xxDxxCxxBxxA2sin8.2sin4.2sin8.2sin4.2222例例 3030 = （） （0808、1111）dxxx1121sin2解：解：原式22arctan212)1sin 12(1 11121122xdxxdxxx x例例 3131 求定积分 （0808、1616）dxex10解：解：原式2 2 221 0101 010tttteedtetedttetx令例例 3232 计算)00(2)1 ( lim010xdttxtx解：解：原式 （分子分母同时求导）（分子分母同时求导）22)1 (lim10exxx 例例 3333 已知dxddttxxx求,sin)(202解：4202sin2sin)(2 xxdttxdxdx例例 3434 设，当 x0 时，f(x)是 g(x)的什么无1)(,)1ln()( 02xexgdttxfxx穷小？解：解：0)1 (2lim12lim1)1
