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1、1锐角三角函数教材分析 北京四中 董嵩 2011.09.29 一、内容分析 本章“锐角三角函数”属于三角学，是数学课程标准中“空间与图形”领域的重要内 容从数学课程标准看，中学数学把三角学内容分成两个部分，第一部分放在义务教育第 三学段，第二部分放在高中阶段在义务教育第三学段，主要研究锐角三角函数和解直角三角 形的内容在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，包括解斜三角形、三角函数、反三角 函数和简单的三角方程无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都是后一 部分的重要基础，掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法，是学习三角函数和解斜三 角形的重要准备 本章主要内容包括：锐角三
2、角函数（正弦、余弦和正切），解直角三角形以及三角函数法 在解相关的综合题中的运用（意识）锐角三角函数是自变量为锐角时的三角函数，即缩小了 定义域的后的三角函数解直角三角形在实际当中有着广泛的应用，锐角三角函数为解直角三 角形提供了有效的工具相似三角形的知识是学习锐角三角函数的直接基础，勾股定理等内容 也是解直角三角形时经常使用的数学结论，因此本章与“勾股定理”和 “相似”两章有着密 切关系 锐角三角函数是本套教科书中唯一出现过的初等超越函数，出现过的其他函数（一次函数、 二次函数等）都是代数函数锐角三角函数的一个突出特点是概念的产生和应用都与图形分不 开锐角三角函数具有鲜明的几何意义，其自变量
3、是角， 函数值是直角三角形中边长的比 值学习本章不仅可以使学生对函数概念的认识更全面，而且可以对用变化和对应的观点讨论 几何图形问题的方法认识得更深入 二、考试要求锐角三 角函数了解锐角三角函数 （sinA，cosA，tanA） ； 知道，3045 角的三角函数值60由某个锐角的一个三角函数值， 会求这个角的其余两个三角函 数值；会计算含有，30 ，角的三角函数式的4560 值能运用三角函数解决 与直角三角形有关的 简单问题解直角 三角形知道解直角三角形的含 义会解直角三角形；能根据问题 的需要添加辅助线构造直角三 角形；会解由两个特殊特殊直角三 角形构成的组合图形的问题能综合运用直角三角 形
4、的性质解决有关问 题三、课时安排 28.1（5 课时） 三种三角函数的概念 2 课时 ，角的三角函数值 1 课时304560 ，角的三角函数值在几何计算题中的运用 1 课时304560 求同角的三角函数值 1 课时 28.2（6 课时） 解直角三角形 1 课时 解组合图形及实际应用 3 课时 锐角三角函数的综合运用 2 课时2四、教学建议 【第一部分】锐角三角函数1锐角三角函数的概念教学的引入和引申 （1）【方案一】提出问题：含 30、45角的直角三角形中边与角之间有确定的对应关系， 对于一般的直角三角形，边与角之间是否也有确定的对应关系？ （2）【方案二】实际问题：如何测量旗杆的长度？ （3
5、）如何理解 sin、cos 和 tan 的概念？ （4）根据学生的实际能力水平，编写“进阶练习”一方面复习、巩固锐角三角函数的 概念，熟练掌握知识并形成技能；另一方面，通过练习让学生学会观察、归纳、分析，发现量 与量之间的关系，从而顺利地提出“同角的三角函数关系”和“余角的三角函数关系”等问题， 并进行讨论和研究 2在解题教学的过程中，要始终围绕“锐角三角函数的概念及基本关系式”进行学法指 导，逐步达到以下教学要求 【基本要求】 （1）根据已知条件，能求出直角三角形某一锐角的三角函数 值 例 1（2011 浙江湖州）如图，已知在 RtABC 中， C90， BC1，AC=2，则 tanA 的值
6、为（ ） A2 B1 2C5 5D2 5 5 【答案】B 例 2 （2011 四川乐山）如图，在 44 的正方形网格中，tan=（ ） A1 B2 C D1 25 2 【答案】B （2）已知一个锐角的三角函数值，能根据锐角三角函数的定义，求出同角（或等角）的3其它两个三角函数值或这个角 （3）已知一个锐角的三角函数值，能根据余角三角函数关系，进行三角式的转化（变为 余角的余函数，现在主要是正弦和余弦的转化）例 3已知，则 ， ， 3sin3costancos(90)已知，则 ， 3tan2sincos【答案】，；，6 32 23 321 72 7 7 （4）能利用三角函数的定义建立比例式，进行
7、推理和计算 例 4（2011 山东日照）在 RtABC 中，C=90，把A 的邻边与对边的比叫做A 的余切，记作 cotA=ab则下列关系式中不成立的是（ ） （A）tanAcotA=1 （B）sinA=tanAcosA （C）cosA=cotAsinA （D）tan2A+cot2A=1 【答案】D 例 5如图，矩形 ABCD 中，ADAB，AB=a，作BDA AE 交 BD 于 E，且 AE=AB试用 a 与表示：AD= 【答案】，tana 2 sina（5）能对一些函数三角函数的简单式子（含特殊角的三角函 数值）进行化简例 6（2011 安徽芜湖）计算：20113015( 1)( )(co
8、s68)3 38sin602oo【答案】83 【较高要求】 （6）能构造直角三角形，求锐角三角函数值 例 7（20011 江苏镇江）如图，在 RtABC 中，ACB=90，CDAB，垂足为 D若 AC=，BC=2，则 sinACD 的值为（ 5） A B C D5 32 5 55 22 3 答案【 A】 例 8 （2011 湖北荆州）在ABC 中，A120，AB4，AC2，则的值是（ sinB ） A B C D5 7 143 521 721 14 【答案】D （7）了解用“三角法”计算和证明几何题ABCD4例 9在中，已知，求的面积ABC2AB 4BC 2 2cos3B ABC【答案】4 3
9、【结论】1sin2ABCSacB【进阶提高】 例 10已知，如图，D 是中 BC 边的中点，ABC，求90BAD2tan3B sinDAC【方法】见比设 k【答案】3 5 例 11已知，如图，在菱形 ABCD 中，于AEBC点 E，EC=1，求四边形 ABCD 的周长5sin13B 【答案】32 例 12已知，如图，中，ABCCEABBDAC，求 cosA 及 tanA2 5DE BC【答案】，2 521 2 4探究活动 【个案 1】sin 和 cos 有何区别及联系？ 【个案 2】求 15角的三角函数值. 方法 1以斜边为腰作等腰三角形，求“半角”的三角函数值 方法 2构造特殊角的“和角或差
10、角” 方法 3用面积法求正弦值 【个案 3】sin2 与 sin 之间有什么关系？深入认识倍角或半角三角函数关系【第二部分】解直角三角形1创设实际情境引出课题ABCDABCDEABCDEABCDE15O20O5如图，一勘测人员从 B 点出发，沿坡角为 15的坡面以 5 千米/时的速度行至 D 点，用了 12 分钟，然后沿坡角为 20的坡面以 3 千米/时的速度到达山顶 A 点，用了 10 分钟求小山高 及 A、B 两点的水平距离2“解直角三角形”的基本功 （1）如图，在 Rt中，则有ABC90C， ；22sintanacAbAcbcostanbacBB， 22 sincosabcabAAcos
11、sinabcBB（2）直角三角形的可解条件和基本类型已知条件解法斜边 c 和锐角 A，90BAsinacAcosbcA21sincos2ScAA一条边 和一个 锐角直角边 a 和锐角 A，90BAtanabAsinacA22tanaSA两条直角边 a 和 b，由求，22cabtanaAbA90BA1 2Sab两条边直角边 a 和斜边 c，由求，22bcasinaAcA90BA221 2Sa ca3重视数形结合、转化等数学思想方法的运用 在解直角三角形的教学中，应指导学生结合图形弄清各相关元素之间的位置关系与数量关 系的转化，从而建立直角三角形的的边、角之间的相等关系这是数形结合思想的体现与运
12、用 如果已知量中不是直角三角形的基本元素，那么就要根据这些已知量和基本元素之间的关 系，设法把这类问题转化为解直角三角形的基本类型，从而解出原三角形 例 1如图，在 RtABC 中，C=90（1）a=2，b=，解2 3ABC（2）在 RtABC 中，a=2，c=，解2 2ABC（3）在 RtABC 中，A=30，a=，解3ABC（4）在 RtABC 中，A=30，b=2，解ABCABCabcABC6（5）在 RtABC 中，C=90，sinA=，b=2，求 c 的值（）418 15 15（6）在 RtABC 中，C=90，tanA=，SABC=2，求 c 的值（）4117例 2已知，如图，Rt
13、中，于 DABC90ACBCDAB （1）若，解3AD 1DB ABC（2）若，解CDhACDABC（3）若，求:3:1AD DB A（4）如图，在ABC 中，CDAC 于 D，sinA=，tanB=3， AB=2，求 BC 的长 （3 5）2105（5）如图，在 RtABC 中，ACB=90，CDAB 于 D， sinBCD=，CB=4，求2 3AC 的长 （）2 5例 3如图，在 Rt中，C=90，D 是 BC 边的中点，ABCDEAB 于 E，tanB=，AE=7，求 DE （）1 27 3例 4已知，如图，Rt中，D 是 BC 上一点ABC90ACB（1）B=30，BDA=135，BD
14、=3，求 AB 的长 （）3 33（2）BC=6，BC 边上的中线 AD=5，求斜边 AB 的长 （）2 13（3），求 ACBADCBDm 4通过解决与测量有关的简单实际问题，学会把实际问题转化为数学问题（解直接三角 形问题），提高综合运用所学知识解决问题的能力和“用数学”的意识 （1）准确理解有关测量问题的一些概念：仰角，俯角，坡角，坡度，方向角等 （2）掌握运用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤及典型问题 例 5 （1）如图，小明在 A 时测得某树的影长为 2m，B 时又测得该树的影长为 8m，若两 次日照的光线互相垂直，则树的高度为 m 【答案】4 （2）如图，一艘轮船位于灯塔 P 的北偏东 60方向，与灯塔 P 的距离为 80 海里的 A 处， 它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 45方向上的 B 处求此时轮船所在 的 B 处与灯塔 P 的距离（结果保留根号）A 时B 时ABCDABCDABCDE7（1）题图 （2）题图例 6 （1）如图，两建筑物 AB 和 CD 的水平距离为 3
