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1、数列专题之求通项公式数列专题之求通项公式【教学目标教学目标】1、 通过从最基本的等差、等比数列求和问题进行变式，展现几类常见的递推公式；2、 初步体验将新数列的递推公式迭代具体化，并猜测归纳新数列本质规律的方法；3、 通过将新问题化归为最基本的等差、等比数列求通项公式或求和的问题的过程，使学生初步掌握由数列递推公式求通项公式的若干常用方法，并进一步体验化归思想和数学未知问题的研究方法。【教学重难点教学重难点】掌握几类常见求数列通项公式的方法。【教学过程教学过程】 （框线内为板书）一、复习引入一、复习引入【引例】口答（1）在数列中，则_na13a 12nnaana 解：，3(1)221nann*
2、nN（2）在数列中，则_na12a 13nnaana 解：，12 3nna*nN【基础变式】如果条件变化为以下形式，你还能求解通项公式吗？（1）在正数项数列中，求_na12a 22 13nnaana 解：是以 4 为首项，3 为公比的等比数列2na所以，因为，所以，214 3nna0na 1 22 3nna *nN（2）在数列中，则_na13a 121n n naaana 解：由题意，且，所以是以为首项，2 为公差的等差数列0na 1112nnaa1na1 3所以，所以，1165(1) 233nnna3 65nan*nN【小结】非等差、等比数列，须化归为等差、等比数列求解通项公式数列专题数列通
3、项公式求数列通项公式的基本思路：新数列问题等差、等比数列问题【进阶变式】如果条件变化为以下形式，你还能求解通项公式吗？（1）在数列中，求的通项公式na12a 12nnaan na（2）在数列中，求的通项公式na12a 13nnnaa na（3）在数列中，求的通项公式na12a 132nnaa na（4）在数列中，求的通项公式na12a 132nnSS na二、通过变式引入其他类型的求通项公式方法二、通过变式引入其他类型的求通项公式方法1、将引例（1）中的 2 改为 2n，即变为，如何求解？12nnaan【例 1】在数列中，求的通项公式na12a 12nnaan na【分析 1】根据递推公式，表
4、示出数列的前五项：，12a 2124aa3248aa43614aa54822aa减 2 之后成为：0,2,6,12,20，猜测（填空题可使用）但缺少严格论证na 22nn【分析 2】如果不计算答案，而将代入过程呈现：，110aa212aa321424aaa4316246aaa54182468aaa发现规律：（，）2 1(1)024682(1)2222nn naannn L2n *nN这是一种迭代的思路，等价的解法也可以是累加法：【分析 3】通项公式变形为，即：12nnaan，（，）212aa322 2aa432 3aa12(1)nnaan2n *nN发现可用这一系列的式子表示：na121321
5、21()()()()nnnnnaaaaaaaaaaL（，）2(1)22462(2)2(1)2222n nnnnn L2n *nN经检验，na22nn*nN【小结】迭代法；累加法；求数列通项公式的方法：1、迭代法：不断用变量的旧值递推新值的过程；2、累加法：（，）12132121()()()()nnnnnaaaaaaaaaaL2n *nN适用情况：且可求前 n 项和1( )nnaaf n( )f n2、将引例（2）中的 3 改为，即变为，如何求解？3n13nnnaa【例 2】在数列中，求的通项公式na12a 13nnnaa na【分析】将例 2 减法改成了除法，因此方法可以类比解：由题意，所以，
6、即：0na 13nnna a，（，）213a a2323a a3433a a113nnna a2n *nN发现可用这一系列的式子表示：na（，）1221312 1 12212 3 333nnnn n nnaaaaaaaaaaLL(1) 22 3n n 2n *nN当 n=1 时，(1) 22 32n n 所以，na(1) 22 3n n *nN【小结】累乘法；求数列通项公式的方法：3、累乘法：（，）312 1 1221nn n nnaaaaaaaaaaL0na 2n *nN适用情况：且可求前 n 项积1( )nnaag n( )g n3、将引例中的递推公式组合成，如何求解？132nnaa【例
7、3】已知数列满足，且，求的通项公式 na12a 132nnaa na【提示】根据递推公式，写出前 5 项为：2，8，26，80，242,分别减 1 之后为 3，9，27，81，243，为等比数列，因此猜测是等比数列1na 解：设（）1nnba*nN，1113ba * 1112,132 13(1)3nnnnnnnNbaaab 可得，所以，所以是以 3 为首项，3 为公比的等比数列0nb 130nnb b nb所以，所以（）13 33nn nb 131n nnab *nN【思考】能否通过其他方式找到辅助数列，从而求解通项公式？【分析】只要合理分配递推公式右式中的常数项 2，就一定能构造辅助数列成为
8、等比nac数列：设，展开整理得，令得1()3()nnacac132nnaac22c 1c 所以必有，即是等比数列1(1)3(1)nnaa1na 【巩固练习】已知：，构造辅助数列使其为等比数列11a1112nnaa解：设，展开整理得，令得11()()2nnacac111 22nnaac12c 2c 所以必有，即是等比数列11(2)(2)2nnaa2na 【小结】辅助数列法待定系数法4、辅助数列法（1）倒数型（2）平方型（3）待定系数型适用情况：（） ，可通过待定系数法构造等比辅助数列1nnapaq(1)0pq pnac说明：p=1 时为等差数列，q=0 时为等比数列，p=0 时为常数列，无需使用
9、此方法。4、将例 1 中的 a 替换成 S，即变为，如何求解？132nnSS【例 4】在数列中，求的通项公式na12a 132nnSS na【分析 1】可根据例 3 先用待定系数法找到辅助数列，从而求出通项公式，继而求出nSna解法一：根据例 3，可证是以 3 为首项，3 为公比的等比数列，且1nS （）31n nS *nN当时，2n 11 1332 3nnn nnnaSS 当时，1n 112aS所以；因为当时， 1212 32nnn a n 1n 12 32n所以（）12 3nna*nN【分析 2】可利用化为递推公式1,2nnnaSSn解法二：由已知：（） ，（，）132nnSS*nN132
10、nnSS2n *nN两式相减得（，）113232nnnnSSSS2n *nN即（，） （从第二项开始为等比数列）13nnaa2n *nN又得，解得2132SS21132aaa26a 可得，所以（，）20a 130nna a2n *nN所以从第二项开始是以 6 为首项，3 为公比的等比数列 na所以（，）216 32 3nn na2n *nN当时，1n 12 32n所以1*2 3,n nanN5、公式法（） 【注】仅当时可用1112nnnSn a SSn *nNna1nnSS2n 适用情况：已知的通项公式或含的递推公式nSnS使用方法：（1）将与作差，消去nS1nSnS（2）将代换成，消去na1
11、nnSSna【例 5】在数列中，求的通项公式na12a 32nnSa na【分析】可利用化为递推公式1,2nnnaSSn解法一：，32(1)nnSan1132(2)nnSan两式相减得：133(2)nnnaaan13(2)2nnaan所以是以 2 为首项为公比的等比数列na3 2132 ( )2n na解法二：，32(1)nnSan1,2nnnaSSn所以，即，13()2(2)nnnSSSn1232nnSS131(2)2nnSSn之后用待定系数法求解【课堂总结】数列专题数列通项公式求数列通项公式的基本思路：新数列问题等差、等比数列问题求数列通项公式的方法：1、迭代法：不断用变量的旧值递推新值的
12、过程；2、累加法：（，）12132121()()()()nnnnnaaaaaaaaaaL2n *nN适用情况：且可求前 n 项和1( )nnaaf n( )f n3、累乘法：（，）312 1 1221nn n nnaaaaaaaaaaL0na 2n *nN适用情况：且可求前 n 项积1( )nnaag n( )g n4、辅助数列法（1）倒数型（2）平方型（3）待定系数型适用情况：（） ，可通过待定系数法构造等比辅助数列1nnapaq(1)0pq pnac5、公式法（） 【注】仅当时可用1112nnnSn a SSn *nNna1nnSS2n 适用情况：已知的通项公式或含的递推公式nSnS使用方
13、法：（1）将与作差，消去nS1nSnS（2）将代换成，消去na1nnSSna数列专题数列专题求通项公式求通项公式 笔记纸笔记纸一、引例一、引例1、口答（1）在数列中，则_na13a 12nnaana （2）在数列中，则_na12a 13nnaana 2、基础变式：如果条件变化为以下形式，你还能求解通项公式吗？（1）在正数项数列中，则_na12a 22 13nnaana 解：由题意，数列_是以_为首项，_为公比的等比数列所以，_，因为，所以_，0na na *nN（2）在数列中，则_na13a 121n n naaana 解：由题意，两边取倒数得_，整理得_0na 所以数列_是以_为首项，_为公差的等差数列所以_，所以_，na *nN【小结小结】求数列通项公式的基本思路：新数列问题求数列通项公式的基本思路：新数列问题_
