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1、数学归纳法数学归纳法一一.知识梳理知识梳理(1) 数学归纳法的基本形式数学归纳法的基本形式 设设 P(n)是关于自然数是关于自然数 n 的命题，若的命题，若1P(n0)成立成立(奠基奠基)2假设假设 P(k)成立成立(kn0)，可以推出，可以推出 P(k+1)成立成立(归纳归纳)，则则 P(n)对一切大于等于对一切大于等于 n0的自然数的自然数 n 都成立都成立头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 (2)数学归纳法的应用数学归纳法的应用 具体常用数学归纳法证明具体常用数学归纳法证明头 头头 头 头头 头 头 头头
2、 头 头 头 头 头http:/ 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头头 头 恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问 题，数列的通项与和等题，数列的通项与和等头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 二、典型例题讲解二、典型例题讲解【例例 1】1】证明：证明：(1)1 131 21 11 nnnLL)( Nn(2) )2311 ()711)(411)(11 (nLL313 n)( Nn分析分析:如果运用以前所学知识通过放缩法进行回很困难如果运用以前所学知识通过放缩法进
3、行回很困难,但是如果用数学归纳法但是如果用数学归纳法 就比较容易就比较容易.以下是详细证明过程以下是详细证明过程.证明证明:(1):当当 n=1 时时,左左=1,故故 n=1 时不等式成立时不等式成立.1213 41 31 21:假设当假设当 n=k 时不等式成立，即时不等式成立，即1131 21 1k1 kkLL那么当那么当 n=k+1 时时,左左=431 331 231 131 21 kkkkkLL= 11 431 331 231 131 21 11 kkkkkkkLL=1) 1)(43)(23(32 131 21 11 kkkkkkLL故故 n=k+1 时不等式成立时不等式成立根据（根据
4、（1） （2）可知：结论对于一切正整数）可知：结论对于一切正整数 n 成立成立.(2)第一步第一步:当当 n=1 时时,左左=2, 右右=, 故左故左右右, 即即 n=1 时不等式成立时不等式成立.34第二步第二步:假设假设 n=k 时不等式成立时不等式成立,即即)2k311 ()711)(411)(11 (LL313 k那么那么 n=k+1 时时,左左=)1311)(2k311 ()711)(411)(11 (kLL1323133 kkkQ333 343132313 kkkk=)43() 13()23(23 kkk=222) 13() 13)(43()23( kkkk=02) 13(4k9
5、k左左1323133 kkk311k3 ）（n=k+1 时不等式成立时不等式成立第三步：根据（第三步：根据（1） （2）可知：对于一切正整数）可知：对于一切正整数 n 不等式成立。不等式成立。【例例 2】2】 证证 n N 时有时有 2n111111333（）（）（）1 2 证明：显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个证明：显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个 n N ，有，有 1（）（1）2n111111333（）（）（）2n111 333用数学归纳法证明（用数学归纳法证明（1）式：）式： n1 时，时， （1）式显然成立，）式显然成立，设设 nk 时，时， （1）式成立，）式成立
6、，即即 1（）2k111111333（）（）（）2k111 333则当则当 nk1 时，时， 1（） 2kk1111111113333（）（）（）（）2k111 333 （）k11131（）（）2k111 333k11 3k11 32k111 333 1（）即当）即当 nk1 时，时， （1）式也成立。）式也成立。2k111 333k11 3故对一切故对一切 n N ， （1）式都成立。）式都成立。利用（利用（1）得，）得， 1（）12n111111333（）（）（）2n111 333n11133 113（）1 nn1111 112322 3（）（）1 2 故原式成立，从而结论成立。故原式成立
7、，从而结论成立。 【例例 3】3】设数列设数列an的前的前 n 项和为项和为 Sn，且方程，且方程 x2anxan0 有一根为有一根为 Sn1，n1，2，3， （）求）求 a1，a2； （） an的通项公式的通项公式 解：解：()当当 n1 时，时，x2a1xa10 有一根为有一根为 S11a11，于是于是(a11)2a1(a11)a10，解得，解得 a1 1 1 2 2当当 n2 时，时，x2a2xa20 有一根为有一根为 S21a2 ，1 1 2 2于是于是(a2 )2a2(a2 )a20，解得，解得 1 1 2 21 1 2 2a21 1 6 6()由题设由题设(Sn1)2an(Sn1)
8、an0， 即即 Sn22Sn1anSn0 当当 n2 时，时，anSnSn1，代入上式得，代入上式得 Sn1Sn2Sn10 由由()知知 S1a1 ，S2a1a2 1 1 2 21 1 2 21 1 6 62 2 3 3由由可得可得 S3 3 3 4 4由此猜想由此猜想 Sn，n1，2，3， n n n n1 1下面用数学归纳法证明这个结论下面用数学归纳法证明这个结论 (i)n1 时已知结论成立时已知结论成立(ii)假设假设 nk 时结论成立，即时结论成立，即 Sk，k k k k1 1当当 nk1 时，由时，由得得 Sk1，即，即 Sk1，1 12 2S S k kk k1 1 k k2 2
9、 故故 nk1 时结论也成立时结论也成立综上，由综上，由(i)、(ii)可知可知 Sn对所有正整数对所有正整数 n 都成立都成立 n n n n1 1于是当于是当 n2 时，时，anSnSn1，n n n n1 1n n1 1 n n1 1 n n( (n n1 1) )又又 n1 时，时，a1 ，所以，所以an的通项公式的通项公式 an，n1，2，3， 1 1 2 21 1 1 1 2 2n n n n1 1【例例 4】4】(09 山东山东) 等比数列等比数列的前的前 n 项和为项和为，已知对任意的，已知对任意的，点，点均均 nasn,nN( .)nn S在函数在函数的图象上。的图象上。(0
10、1, ,ybxr bbb r且均为常数（）求）求 r 的值。的值。（）当）当 b=2 时，记时，记22(log1)()nnannb求证：对任意的求证：对任意的不等式成立不等式成立,nN12121111nnbbbnbbb解解:因为对任意的因为对任意的,点点，均在函数，均在函数且且均为常数的图均为常数的图nN( ,)nn S(0xybr b1, ,bb r像上像上.所以得所以得,当当时时,当当时时,n nSbr1n 11aSbr2n ,又因为又因为为等比数列为等比数列,所以所以111 1()(1)nnnnn nnnaSSbrbrbbbb na,公比为公比为,1r b1(1)n nabb（2）当）当
11、 b=2 时，时，, 11(1)2nn nabb1 222(log1)2(log 21)2n nnban则则,所以所以121 2nnbn bn12121113 5 7212 4 62nnbbbn bbbnL下面用数学归纳法证明不等式下面用数学归纳法证明不等式成立成立.12121113 5 72112 4 62nnbbbnnbbbnL 当当时时,左边左边=,右边右边=,因为因为,所以不等式成立所以不等式成立.1n 3 22322 假设当假设当时不等式成立时不等式成立,即即成立成立.nk12121113 5 72112 4 62kkbbbkkbbbkL则当则当时时,左边左边=1nk11212111
12、113 5 721 232 4 6222kkkkbbbbkk bbbbkkL2223(23)4(1)4(1) 111(1) 1(1) 1224(1)4(1)4(1)kkkkkkkkkkk 所以当所以当时时,不等式也成立不等式也成立.1nk由由、可得不等式恒成立可得不等式恒成立.【例例 5】5】( (09 陕西）陕西）已知数列已知数列满足，满足， .nx* 1111,21n nxxnNx 猜想数列猜想数列的单调性，并证明你的结论；的单调性，并证明你的结论； 2nx()证明：证明：。证（。证（1）由）由1 11 2|( )6 5n nnxx -| 1n+1244 n112513 213821xxxxxx及得，由由猜想：数列猜想：数列是递减数列是递减数列246xxx 2nx下面用数学归纳法证明：下面用数学归纳法证明：（1）当）当 n=1 时，已证命题成立时，已证命题成立 （2）假设当）假设当 n=k 时命题成立，即时命题成立，即222kkxx易知易知，那么，那么20kx2321 2224 2123212311 11(1)(1)kk kk kkkkxxxxxxxx =22222122230(1)(1)(1)(1)kkkkkkxx xxxx即即2(1)2(1) 2kkxx也就是说，当也就是说，当 n=k+1 时命题也成立，结合（时命题也成立，结合（1）和（）和
