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1、第四讲：基本不等式与不等式证明第四讲：基本不等式与不等式证明一、常用的基本不等式有以下这些：222223333121,2,2232 4353 :,abR abababababRababababRabababcRabcabcabcabcabcRabcabcna aaL（）、当且仅当时取“” 号；（）、，当且仅当时，取“” 号；（）、，当且仅当时，取“” 号；（）、，当且仅当时，取“” 号；（）、，当且仅当时取“” 号。推广到,12 1212nnnnnaaaRa aan aaaLLL，当且仅当时取“” 号。二、证明不等式常用的方法有比较法、公式法、综合法、分析法、放缩法、反证法、数形结合法以及数学
2、归纳法等。例题 1、若_.中最小的数是则2, 10ba abbaaaaaba 解：因为 00,y0,且,求 x+y 的最小值.1yb xa解法一:()()ababxyxyxyabbaxyxyyx22() ,“xaabababxaabyb当即取号所以,.2bayx 的最小值为解法二:三角换元2to125 21ytt 2222 2222sin,cos;(1 cot),(1tan);sincoscottan2ababxaybxyxyabababab令则错误解法：12,2,24.ababxyabxyxyabxyxy Q例题 5、某种汽车， （1）购买时费用为 10 万元， （2）每年交保险费、养路费、
3、汽油费合计 9千元；（3）汽车的维修费平均为第一年 2 千元，第二年 4 千元，第三年 6 千元，依次成等差数列，逐年递增，求这种汽车使用多少年报废最合算？解：设使 x 年，所花费用年平均值为 y，则311 . 0102 . 0) 1(2 . 04 . 02 . 09 . 010xxxxxyK当且仅当，即 x=10 时，取“=”号，所以，这种汽车使用 10 年报废最合算。xx1 . 010例题 6、若对一切 abc,不等式恒成立,求 n 的最大值.can cbba11解:设 a-b=x,b-c=y,则对一切 x0,y0,不等式恒成立,即恒成立.易见yxn yx11 xyyxn2)( . 4.
4、4)(2 的最大值为时成立等号当且仅当nyxxyyx例题 7、求证：，并指出等号成立的条件。sinsinsinsin1sinsin22证明：),1sin1, 1sin1(0)sin1)(sin1 ()sin(sinsinsin1sinsinsinsin2sinsin)sinsinsin(sin) 1sin(sin22222故原不等式获证，且等号成立的条件是即, 1sinsin.,22,22ZlZklk证法二：证法二：2222222222222222sin,sin,1,2()2()()()()222ab cabcabbccaabcabbccaabbccaabbcca令则不等式可以写成利用特殊不等
5、式同样可以证明该不等式成立。例题 8、已知：，求证：均为正数，且、332211 321321ba ba babbbaaa.3213212121 bbbaaa bbaa 提示：这道题源于化学中的溶液浓度问题。12312312312 1212312123 1212312121231212123: aaabbbaaaaaaabbbbbaaabbbbbaabbaabbbaabbaQ证明、均为正数()() ()()()() ()()() ()1 32 33 13 23312 1 33 12 33 2 1323(1),.aba ba ba baaaaaba b a ba bbbbbL L L L LQ将这
6、两个不等式相加即得不等式(1),从而原不等式得证.例题 9、设 00,b0,且 a+b=1,求证:. 221 21ba证法一:4)21)(21(21221 21, 1, 0, 0bababababaQ.由基本不等式,所以原不1)21)(21(ba1)21()21(21)21)(21(baba等式成立.证法二:令11,22xayb由第三个不等式2 2222()2()2xyxyxyxy0,0,1ababQ11112()()22222abab例题 11、已知命题：如果.4111, babaRba，那么且、(1) 证明这个命题是真命题;(2) 根据已知条件还能得到什么新的不等式,试写出其中两个，并加以
7、证明;(3) 如果,且 a+b+c=1,推广上述已知命题能得到什么不等式,并加以证明.Rcba、解:(1)421221211,21,21ababbaababba(当且仅当 a=b 时,等号成立);(2) 111,224a+ba+babab Q，2 222211,222ababab还有即；（3）9313131113133abccbaabccba，Q（当且仅当 a=b=c 时，等号成立）例 12、 （1）三个同学对问题“关于的不等式25|5|在1，12上恒成立，x2x3x2xax求实数的取值范围”提出各自的解题思路a甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值” 乙说：“把不等式变形为左边含变
8、量的函数，右边仅含常数，求函数的最值” x丙说：“把不等式两边看成关于的函数，作出函数图像” x参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的取值范围是 a解：由25|5|，2x3x2x225,112|5 |axxaxxxx 而，等号当且仅当时成立；且，等号当2525210xxxxg5 1,12x 2|5 | 0xx且仅当时成立；5 1,12x 所以，等号当且仅当时成立；故；2 min25|5 |10axxxx5 1,12x (,10a （2） （09 全国高考题） 已知为圆:的两条相互垂直的弦，垂足为ACBD、O224xy,则四边形的面积的最大值为 。1,2MABCD解：设圆心到的距离分别为,OACBD、12dd、则.222 123ddOM+2222 12|4(2) ,|4(2)ACdBDd四边形的面积ABCD2222 1211| |4(2) 4(2) 22SACBDdd2222 12122 (4)8()5dddd)(4-说明：课后练习请在听课之后“点击进入测试页面”进行测试，提交完了就可以下载课后练习的答案yx22O12AB CD1d2dM
