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1、含参数不等式含参数不等式在一定条件下，给出一个带参数的不等式，对使不等式恒成立的参数进行讨论，或求其最大(小)值，这是 数学竞赛中比较活跃的题型之一，确定使不等式恒成立的参数的取值范围或最值，一般要经过这样几个步骤： 首先可估计或猜测该参数的上界或下界，再求出该参数的上界或下界，最后注明不等式对于这个上界或下界恒 成立.处理这类问题既要注意运用不等式的比较法、放缩法、反推法、归纳法等，以及善于灵活运用一些基本不 等式，如算术几何不等式、柯西不等式、排序不等式、琴生不等式等，还要善于利用函数的性质(单调性、最 值性等)、利用所给不等式的结构特征来处理.例例 1、(07 浙江竞赛) 设正实数及非负
2、实数满足条件, ,a b c, x y666223,(1)2abcxy求的最小值，并论证你的结论.332332332111 222Ia xb yb xc yc xa y解：解：根据，有22 111nkn kk n kk k kaa bb 332332332111 222Ia xb yb xc yc xa y. 3323323329 222a xb yb xc yc xa y33323339 2 ()()x abcyabc()23 2xy23 22(1)xx2331x333 2666()3()9abcabc上式取等号当且仅当.1,0,1abcxy例例 2、求使下列两式对任何实数都成立的22222
3、2 cos2()8cos()8(1)50(1)122(2)bxybxyb bbxybxybb-+-+- yx,b的所有值.解：解：将式变形为 对任意实数均成立，故bybx22) 1()(yx,0b于是式为 05) 1(8)cos(8 1)(cos2 22bbyxbyx令，则式为 1 , 1),cos(zyxz 1 , 1, 03888422zbbbzz作辅助函数，则在上恒大于 0，38884)(22bbbzzzf)(zf 1 , 1因，所以，有如下两种情形：0b(1)，则或；0)388(446422bbb23b021b(2)有则. , 0) 1 (, 1, 0fb.421421, 1,21 2
4、3bbbb或42123b综合(1)、(2)，可得的取值范围为b 0 ,21 421,U例例 3、设为直角三角形的三边长，其中为斜边长，求使成立的的最大值.cba,ckabccba333 k(2008 年第四届北方数学奥林匹克邀请赛)解：解：记，并设，则abccbay333 2, 0,sin,coscbca cossin1)cossin1)(cos(sin cossin1cossin33y)cos(sincossin1cossin设，则，故tcossin21cossin2tttttty122112注意到，函数在区间上是减函数，故2, 1 (4sin2 ty2, 1 (222122y因此，最大的2
5、2k例例 4、设是直角三角形的三边长，且, 若对所有直角cba,cbakabcbacacbcba)()()(222三角形都成立，求最大常数，并确定何时等号成立.k 解：解：当，即ABC 为等腰直角三角形时，原不等式为ba ，即 , 猜测的最大值为.32222)(2)2()2(kaaaaaaaaaa232kk232下证： abcbacacbcba)232()()()(222不妨设，边所对的角为，则, 令，1ca4, 021 2cossincossin22 t于是有)()()(222bacacbcbacossin)sin1 (cos) 1(cossin22(由，则) 1cos)(sincos(si
6、n1) 1(221) 1(21tttt21ttt 2 2212222222tttttt)232(22122222 abc)232(cossin)232(从而式得证，且当 时等号成立. 故欲求的的最大值为.4k232 说明：说明：本题先取特殊值猜测的最大值，进而进行证明，这种利用特殊值“先猜后证”的方法是解决这类问题k 的常用手法. 式也可以用另一个简捷的证法：)()()(222bacacbcba)(2)2()2()(222 22 22baccacbbcabac.abbacabcabcabc2222222abc)232( 例例 5、设 abc 是直角三角形的三边长，求最大常数 M，使得 恒成立.
7、1 a1 b1 cM abc例例 6、求最大的常数，使得对满足的实数，恒有c1, 0, 022yxyxyx,cxyyx66解：解：当时，不等式也成立，则.22 yx2166 xyyxc下证在条件下，不等式 恒成立.1, 0, 022yxyxcxyyx66式等价于，即 .xyyxyxyx213)(222222202)(62 xyxy令，因，有.xy21 2022 yxxy210设，则在上是递增的，且.26)(2f210)(f 21, 00)21(f故在上有.从而. 综上所述，的最大值为 . 21, 00)(f02)(62 xyxyc1 2说明：说明：欲求含在不等式中参数的最值，可先估计该参数的上
8、界或下界，然后再证明不等式对于这个上界或下界恒成立. 本题也可以这样来考虑：求出的最小值，此最小值即为的最大值.xyyx66c即.xyxyxyyxyxxx xyyx313)(222222266 由，则，.于是.210 xy21xy233 xy21 23266 xyyx当时等号成立，于是的最小值为，从而的最大值为.22 yxxyyx66 21c21例例 7、求最大的正数 ，使得对任意实数 a，b，均有 a2b2(ab)2(a2abb2)35、设正数 x, y 满足 x3y3xy，求使 x2y21 恒成立的实数 的最大值. (2014 希望联盟夏令营)例例 8、(2002 女子奥数)试求出所有的正
9、整数 k，使得对任意满足不等式 k(abbcca)5(a2b2c2)的正数 a, b, c， 一定存在三边长分别为 a, b, c 的三角形. 例例 9、求最大的常数 k，使得对于0, 1中的一切实数 a，b，c，d，都有不等式 a2bb2cc2dd2a4k(a2b2c2d2)成立.例例 10、(2006 东南奥赛)求最小的实数 m，使得对于满足 abc1 的任意正实数 a，b，c，都有 333222(61m abcabc）（）解法一：解法一：当 a=b=c 时，有下证不等式1 327m 33322261abcabc27（）（）对于满足 abc1 的任意正实数 a，b，c 都成立因为对于，有0
10、1x32427653xxx，故，3281181540xxx21940xx（3）（）32427653xxx01x所以，32427653aaa32427653bbb32427653ccc把上面三个不等式相加，得. 所以，m 的最小值为 2733322261abcabc27（）（）解法二：解法二：当 a=b=c 时，有下证不等式 1 327m 33322261abcabc27（）（） 对于满足 abc1 的任意正实数 a，b，c 都成立因为，所以，同理，2() ()0abab3322aba bab3322bcb cbc3322cac aca于是，3332222222()abca bb cc aabb
11、cca，3333332222223()abcabca bb cc aabbcca222222()()abc abcabc所以222222616abcabc （）（）2()abc2222226()3()abcabc所以，m 的最小值为 272223339()27abcabc（）例例 11、(2003 女子奥数) 给定正整数，求最大的实数，使得不等式2n 2 1212nnnaaaaa L对任何满足的正整数均成立12naaaL12,na aaL例例 12、(2006 年江苏省复赛题)设为正数，记为中的最小数. , ,a b cd222() ,() ,()abbcca(1) 求证：存在，使得； (*)
12、(01)222()dabc(2) 求出使不等式(*)成立的最小正数；并给予证明. 解解：(1)由的定义知，. 将这三个不等式相加，得d2()dab2()dbc2()dca，2222222223()()()2()2222()dabbccaabcabbccaabc即 ，故可取. 2222()3dabc2 3(2)不妨设.若，则，且. 因此，abc2acb20abc2()dbc22222225()5()()dabcbcabc，即. 222225()(2)630bcbcbcbcc 1 5若，则，且. 因此，2acb2ab2()dab22222225()5()()dabcababc，故此时也有. 222
13、241042(2 )(2)0aabbcababc1 5为了证明，我们取，则，此时有1 52acb22acd.22222222()()()35322acacabcacacacdac由此可见，对于任意正数，有1 52222222221313()()()()5555dabcacabcabcac. 故只要，上式右边就. 22221()()5abcaac1()5ca222()abc因此必有. 综上两个方面所述，可知满足(*)的最小正数为. 1 51 5 课外作业：课外作业：1、(06 江苏复赛) 已知函数，令 Snf ( )f ( )f ()f (1), nN*( )24f xx 1 n2 nn1n若不等式 恒成立，求实数 a 的取值范围. 答案：aan Snan+ 1 Sn+ 15 22、求实数 a 的取值范围，使得对任意实数 x 和任意 0， ，恒有(x32si
