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1、含参数不等式含参数不等式在一定条件下,给出一个带参数的不等式,对使不等式恒成立的参数进行讨论,或求其最大(小)值,这是 数学竞赛中比较活跃的题型之一,确定使不等式恒成立的参数的取值范围或最值,一般要经过这样几个步骤: 首先可估计或猜测该参数的上界或下界,再求出该参数的上界或下界,最后注明不等式对于这个上界或下界恒 成立.处理这类问题既要注意运用不等式的比较法、放缩法、反推法、归纳法等,以及善于灵活运用一些基本不 等式,如算术几何不等式、柯西不等式、排序不等式、琴生不等式等,还要善于利用函数的性质(单调性、最 值性等)、利用所给不等式的结构特征来处理.例例 1、(07 浙江竞赛) 设正实数及非负
2、实数满足条件, ,a b c, x y666223,(1)2abcxy求的最小值,并论证你的结论.332332332111 222Ia xb yb xc yc xa y解:解:根据,有22 111nkn kk n kk k kaa bb 332332332111 222Ia xb yb xc yc xa y. 3323323329 222a xb yb xc yc xa y33323339 2 ()()x abcyabc()23 2xy23 22(1)xx2331x333 2666()3()9abcabc上式取等号当且仅当.1,0,1abcxy例例 2、求使下列两式对任何实数都成立的22222
3、2 cos2()8cos()8(1)50(1)122(2)bxybxyb bbxybxybb-+-+- yx,b的所有值.解:解:将式变形为 对任意实数均成立,故bybx22) 1()(yx,0b于是式为 05) 1(8)cos(8 1)(cos2 22bbyxbyx令,则式为 1 , 1),cos(zyxz 1 , 1, 03888422zbbbzz作辅助函数,则在上恒大于 0,38884)(22bbbzzzf)(zf 1 , 1因,所以,有如下两种情形:0b(1),则或;0)388(446422bbb23b021b(2)有则. , 0) 1 (, 1, 0fb.421421, 1,21 2
4、3bbbb或42123b综合(1)、(2),可得的取值范围为b 0 ,21 421,U例例 3、设为直角三角形的三边长,其中为斜边长,求使成立的的最大值.cba,ckabccba333 k(2008 年第四届北方数学奥林匹克邀请赛)解:解:记,并设,则abccbay333 2, 0,sin,coscbca cossin1)cossin1)(cos(sin cossin1cossin33y)cos(sincossin1cossin设,则,故tcossin21cossin2tttttty122112注意到,函数在区间上是减函数,故2, 1 (4sin2 ty2, 1 (222122y因此,最大的2
5、2k例例 4、设是直角三角形的三边长,且, 若对所有直角cba,cbakabcbacacbcba)()()(222三角形都成立,求最大常数,并确定何时等号成立.k 解:解:当,即ABC 为等腰直角三角形时,原不等式为ba ,即 , 猜测的最大值为.32222)(2)2()2(kaaaaaaaaaa232kk232下证: abcbacacbcba)232()()()(222不妨设,边所对的角为,则, 令,1ca4, 021 2cossincossin22 t于是有)()()(222bacacbcbacossin)sin1 (cos) 1(cossin22(由,则) 1cos)(sincos(si
6、n1) 1(221) 1(21tttt21ttt 2 2212222222tttttt)232(22122222 abc)232(cossin)232(从而式得证,且当 时等号成立. 故欲求的的最大值为.4k232 说明:说明:本题先取特殊值猜测的最大值,进而进行证明,这种利用特殊值“先猜后证”的方法是解决这类问题k 的常用手法. 式也可以用另一个简捷的证法:)()()(222bacacbcba)(2)2()2()(222 22 22baccacbbcabac.abbacabcabcabc2222222abc)232( 例例 5、设 abc 是直角三角形的三边长,求最大常数 M,使得 恒成立.
7、1 a1 b1 cM abc例例 6、求最大的常数,使得对满足的实数,恒有c1, 0, 022yxyxyx,cxyyx66解:解:当时,不等式也成立,则.22 yx2166 xyyxc下证在条件下,不等式 恒成立.1, 0, 022yxyxcxyyx66式等价于,即 .xyyxyxyx213)(222222202)(62 xyxy令,因,有.xy21 2022 yxxy210设,则在上是递增的,且.26)(2f210)(f 21, 00)21(f故在上有.从而. 综上所述,的最大值为 . 21, 00)(f02)(62 xyxyc1 2说明:说明:欲求含在不等式中参数的最值,可先估计该参数的上
8、界或下界,然后再证明不等式对于这个上界或下界恒成立. 本题也可以这样来考虑:求出的最小值,此最小值即为的最大值.xyyx66c即.xyxyxyyxyxxx xyyx313)(222222266 由,则,.于是.210 xy21xy233 xy21 23266 xyyx当时等号成立,于是的最小值为,从而的最大值为.22 yxxyyx66 21c21例例 7、求最大的正数 ,使得对任意实数 a,b,均有 a2b2(ab)2(a2abb2)35、设正数 x, y 满足 x3y3xy,求使 x2y21 恒成立的实数 的最大值. (2014 希望联盟夏令营)例例 8、(2002 女子奥数)试求出所有的正
9、整数 k,使得对任意满足不等式 k(abbcca)5(a2b2c2)的正数 a, b, c, 一定存在三边长分别为 a, b, c 的三角形. 例例 9、求最大的常数 k,使得对于0, 1中的一切实数 a,b,c,d,都有不等式 a2bb2cc2dd2a4k(a2b2c2d2)成立.例例 10、(2006 东南奥赛)求最小的实数 m,使得对于满足 abc1 的任意正实数 a,b,c,都有 333222(61m abcabc)()解法一:解法一:当 a=b=c 时,有下证不等式1 327m 33322261abcabc27()()对于满足 abc1 的任意正实数 a,b,c 都成立因为对于,有0
10、1x32427653xxx,故,3281181540xxx21940xx(3)()32427653xxx01x所以,32427653aaa32427653bbb32427653ccc把上面三个不等式相加,得. 所以,m 的最小值为 2733322261abcabc27()()解法二:解法二:当 a=b=c 时,有下证不等式 1 327m 33322261abcabc27()() 对于满足 abc1 的任意正实数 a,b,c 都成立因为,所以,同理,2() ()0abab3322aba bab3322bcb cbc3322cac aca于是,3332222222()abca bb cc aabb
11、cca,3333332222223()abcabca bb cc aabbcca222222()()abc abcabc所以222222616abcabc ()()2()abc2222226()3()abcabc所以,m 的最小值为 272223339()27abcabc()例例 11、(2003 女子奥数) 给定正整数,求最大的实数,使得不等式2n 2 1212nnnaaaaa L对任何满足的正整数均成立12naaaL12,na aaL例例 12、(2006 年江苏省复赛题)设为正数,记为中的最小数. , ,a b cd222() ,() ,()abbcca(1) 求证:存在,使得; (*)
12、(01)222()dabc(2) 求出使不等式(*)成立的最小正数;并给予证明. 解解:(1)由的定义知,. 将这三个不等式相加,得d2()dab2()dbc2()dca,2222222223()()()2()2222()dabbccaabcabbccaabc即 ,故可取. 2222()3dabc2 3(2)不妨设.若,则,且. 因此,abc2acb20abc2()dbc22222225()5()()dabcbcabc,即. 222225()(2)630bcbcbcbcc 1 5若,则,且. 因此,2acb2ab2()dab22222225()5()()dabcababc,故此时也有. 222
13、241042(2 )(2)0aabbcababc1 5为了证明,我们取,则,此时有1 52acb22acd.22222222()()()35322acacabcacacacdac由此可见,对于任意正数,有1 52222222221313()()()()5555dabcacabcabcac. 故只要,上式右边就. 22221()()5abcaac1()5ca222()abc因此必有. 综上两个方面所述,可知满足(*)的最小正数为. 1 51 5 课外作业:课外作业:1、(06 江苏复赛) 已知函数,令 Snf ( )f ( )f ()f (1), nN*( )24f xx 1 n2 nn1n若不等式 恒成立,求实数 a 的取值范围. 答案:aan Snan+ 1 Sn+ 15 22、求实数 a 的取值范围,使得对任意实数 x 和任意 0, ,恒有(x32si