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1、1第五章第五章 相交线与平行线相交线与平行线5.1.15.1.1 相交线（相交线（1 1） 一、认识一、认识 邻邻 补角和对顶角补角和对顶角, ,探索对顶角性质探索对顶角性质有一条公共边有一条公共边, ,而且另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角而且另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角. . 如果两个角有一个公共顶点如果两个角有一个公共顶点, , 而且一个而且一个 角的两边分别是另一角两边的反向延长线角的两边分别是另一角两边的反向延长线, ,那么这两个角叫对顶角那么这两个角叫对顶角邻补角可看成是平角被过它顶点的一条射线分成的两个角.邻补角是互补的两个角,互补的两个角也是邻补角?如图,1 的邻
2、补角是2 和4,所以1 与2 互补,1 与4 互补,根据“同角 的补角相等”,可以得出2=4,类似地有1=3.对顶角性质对顶角性质: :对顶角相等对顶角相等. . *强调对顶角概念与对顶角性质不能混淆: 对顶角的概念是确定二角的位置关系,对顶角性质是确定为对顶 角的两角的数量关系. 1.例:如图,直线 a,b 相交,1=40,求2,3,4 的度数.一、判断题: 1.如果两个角有公共顶点和一条公共边,而且这两角互为补角, 那么它们互为邻补角. ( ) 2.两条直线相交,如果它们所成的邻补角相等,那么一对对顶角就互补. ( ) 二、填空题: 1.如图 1,直线 AB、CD、EF 相交于点 O,BO
3、E 的对顶角是_,COF 的邻补角是_. 若AOC:AOE=2:3,EOD=130,则BOC=_. FEODCBAFEODCBA（图 1） （图 2） 2.如图 2,直线 AB、CD 相交于点 O,COE=90,AOC=30,FOB=90, 则EOF=_. 三、解答题: 1.如图,直线 AB、CD 相交于点 O. (1)若AOC+BOD=100,求各角的度数. (2)若BOC 比 AOC 的 2 倍多 33,求各角的度数. 2.两条直线相交,如果它们所成的一对对顶角互补, 那么它的所成的各角的度数是多少? 5.1.1 相交线 、例题分析 例 1 已知：如图 25(1)两条直线 AB，CD 相交
4、于 O 点，又 OE 平分AOC，OF 平分BOC，求 EOF 的大小例 2 已知：如图 25(2)，L1=70，OE 平分AOC，求EOC 和BOC 的度 数。 如图 25(3)，找出图中的邻补角。 2、如图 26，找出图中的对顶角和邻补角。 3、如图 28，若 L1 与 L2 互补，求3，4，5，6，7，8 各角的度数。ba4321ODCBA2EDCBA5.1.25.1.2 垂垂 线线(1)(1)一、垂线的有关概念 1 定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一当两条直线相交所成的四个角中，有一个是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一 条直线叫做另
5、一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足 2 符号：符号：“”“”读作读作“垂直于垂直于”如 ABCD 于 O，含义：直线 AB 与直线 CD 垂直，垂足是 O 3 对定义的理解： 如图 210 因为 ABCD 于 O，(已知)所以1=90(垂直定义或垂直性质)因为AOC=90， 用三角板画垂线的基本方法:两条直角边两条直角边“一贴一贴”：贴住已知直线，：贴住已知直线， “一靠一靠”：靠住已知点再画：靠住已知点再画 线线如图 212 中，过点 A，作直线 BD 的垂线过 A 点作 BD 或 DE 的垂线有没有，(有)过 A 点作 BD 或 DE 的垂线有
6、几条，( (只一条只一条) )5.1.25.1.2 垂垂 线线(2)(2)画图操作,得出结论.画出直线 L,L 外一点 P; 过 P 点出 POL,垂足为 O;点 A1,A2,A3在 L 上,连接 PA、PA2、PA3; 用叠合法或度量法比较 PO、PA1、PA2、PA3长短.得出垂线的另一条性质. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.简单说成:垂线垂线 段最短段最短. . 二、点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度直线外一点到这条直线的垂线段的长度, ,叫做点到直线的距离叫做点到直线的距离. .判断正确与错误,如果正确,请说明理由,若错误,请订正.(1)直线外一点与
7、直线上的一点间的线段的长度是这一点到这条直线的距离.(2)如图,线段 AE 是点 A 到直线 BC 的距离.(3)如图,线段 CD 的长是点 C 到直线 AB 的距离. 填空题.1.如图(1),ACBC,C 为垂足,CDAB,D 为垂足,BC=8,CD=4.8,BD=6.4,AD=3.6,AC= 6,那么点 C 到 AB 的距离是_,点 A 到 BC 的距离是_,点 B 到 CD 的距离是_,A、B 两点的距离 是_.3DCBAC BA(1) (2)1.(1)用三角尺画一个是 30的AOB,在边 OA 上任取一点 P,过 P 作 PQOB, 垂足为 Q,量一量 OP 的长,你发现点 P 到 O
8、B 的距离与 OP 长的关系吗?(2)若所画的AOB 为 60角,重复上述的作图和测量,你能发现什么?2.如图（2）,分别画出点 A、B、C 到 BC、AC、AB 的垂线段,再量出 A 到 BC、点 B 到 AC、 点 C 到 AB 的距离. 5.25.2 平行线（一）平行线（一） 1.平行线的定义及其表示方法。在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。如图，直线 a 与 直线 b 互相平行，记作“ab” 。念为 a 平行于 b。在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系有几种呢？两种：平行或相交。在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系有几种呢？两种：平行或
9、相交。 1、利用直尺和三角板画已知直线的平行线。 2、经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 3、如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行推论的实质：平行线具有如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行推论的实质：平行线具有 传递性传递性 小结：同一平面内两条直线的位置关系只有两种，相交或平行，经过已知直线外一点，有且只 有一条直线与已知直线平行。如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平 行推论的实质：平行线具有传递性 5 52 2 平行线（二）平行线（二） 52 三线八角1 两条直线
10、相交后产生了几个角?每两个角之间的关系是什么?(除平角外，产生四个角，对顶角 相等，邻补角互补)2 三条直线之间也可以有什么样的位置关系? (1)三条直线都没有交点 (2)两条直线平行被第三 条直线所截(3)三条直线两两相交，有三个交点(4)三条直线交于一点三条直线相交后形成的八个角如图 230(3)进行研究，简称为：三线八角三线八角 二、三线八角的意义 1 在图 231 中，l1 和 l3(或 l2 和 l3)所形成的四个角是有公共顶点的，而每两个角之间的关 系从位置来分，可分为两类：对顶角和邻补角，而上面四个角和下面四个角是没有公共顶点的，那 么上面的一个与下面的一个又有什么样的位置关系呢
11、?42 分析特点，形成概念 (1)(1)同位角的意义同位角的意义1 和5 有共同特点是：均在直线 l3 的一侧，且分别在 l1 和 l2 的上方 或下方，像这样的两个角叫作同位角出。图中还有同位角吗?(2 与6，4 与 8，3 与7) (2)同旁内角的意义同旁内角的意义 ：均在直线 l3 的一侧，且分别在 l1 和 l2 的内侧 (3)内错角有意义：内错角有意义：分别在直线 l3 的两侧，且分别在 l1 和 l2 的内侧 1）.如图 232，说出以下各对角是哪两条直线被第三条直线所截而得到的?1 与2，2 与 4，2 与3 答：1 与2 是 l2、l3 被 l1 所截而得到的一对同旁内角。2
12、与4 是直线 l2、l1 被 l3 所截而 得到的同旁内角。2 与3 是 l2、l1 被 l3 所截而得到的同位角 2).如图 233，找出下列图中的同位角，内错角和同旁内角。 答：同位角有：2 与3，4 与7，4 与8；内错角有1 与3，6 与8，6 与7；同 旁内角有3 与8，1 与4 3.)如图 234，指出图中1 与2，3 与4 的关系 答：1 与2 是内错角，3 与4 也是内错角 4)如图 235 中的对顶角和邻补角 答：对顶角有四对：它们是1 与3，2 与4，5 与6，7 与8； 邻补角有1 与2，2 与3，3 与4，4 与1，5 与8，8 与6，6 与7，7 与 5 (还可以找出
13、图 235 中相等的角，即四对对顶角)5) 如图 236，如果1=2=7，那么还有哪些角是相等的 答：1 与4 是邻补角，2 与5 是邻补角，3 与6 是邻补角7 与8 是邻补角，因为 1=2=7，2=3(对顶角相等)，所以1=2=3=7，则4=5=6=8(等角的补角相等) 6)如图 237 中，若1=2，证明：3 与4 是互补的角 证明：因为1=3，(对顶角相等) 1=2，(已知) 所以2=3(等量代换) 又因为2+4=180 所以3+4=180(等量代换) 即3 与4 是互补的角 课堂练习 (1)指出图 239(1)中， 2 和5 的关系是_； 3 和5 的关系是_； 2 和_是直线_、_
14、被_所截，形成的同位角； 1 和4 呢?3 和4 呢?6 和7 是对顶角吗? (2)指出图中 239(2)中，5C 和D 的关系： B 和GEF 的关系； A 和D 的关系； AGE 和BGE 的关系； CFD 和AFB 的关系 (3)如图 239(3)，用数学标出的八个角中 同位角有_；内错角有_； 同旁内角有_； (4)如图 239(4)，若1=2，可推出1 与ADE_；1 与BDE_ (5)判断正误： 如图 239(5)，1 和B 是同位角；( ) 2 和B 是同位角； ( ) 2 和C 是内错角；( ) EAD 和C 是内错角； ( ) (6)如图 239(6)， 1 和4 是同位角；1 和5 是同位角；2 和7 是内错角；1 和4 是同旁内角；5 52 22 2 直线平行的条件（直线平行的条件（1 1） 利用直尺、三角尺画直线 b，使它经过 P 点，且平行于直线 a。与是什么位置关系的角？在三12角板移动的过程中，与是否产生变化？121. .同位角相等，两直线平行。同位角相等，两直线平行。2.2.内错角相等，两直线平行。内错角相等，两直线平行。3.3.同旁内角互补，两直线平行同旁内角互补，两直线平行。例如，
