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1、掌握抽象函数问题的常用处理方法掌握抽象函数问题的常用处理方法一、理论提示一、理论提示抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和 接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识可以说， 这一类问题，是考查学生能力的较好途径，因此，在近年的高考中，这一类题目有增多和分量加重的趋 势二、精典例题二、精典例题 函数原型法 例 1：给出四个函数，分别满足f(x+y)= f(x)+ f(y) g(x+y)= g(x) g(y)h(xy)= h(x)+ h(y)t(xy)= t(x) t(y)，又给出四个函数图象正确的匹配方案是（
2、 ） （A）丁乙丙甲（B）乙丙甲丁 （C）丙甲乙丁（D）丁甲乙丙 我们知道，抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而成的。如正比例函数 f(x)=kx(k0), f(x1) =kx1，f(x2)=kx2,f(x1+x2)=k(x1+x2)= kx1+ kx2= f(x1)+ f(x2)可抽象为 f(x+y)= f(x)+ f(y)。因此，我们 可得知如下结论： 抽象函数 f(x+y)= f(x)+ f(y) 可由一个特殊函数正比例函数 f(x)= kx 抽象而成的。 抽象函数 f(xy)=f(x)f(y)可由一个特殊函数幂函数 f(x)=xa抽象而成的。 抽象函数 f(x+y)=f(x)f(y)可
3、由一个特殊函数指数函数 f(x)=ax(a0，且 a1)抽象而成的。 抽象函数 f(xy)=f(x)+f(y)可由一个特殊函数对数函数 f(x)=logax(a0，且 a1)抽象而成的。（5）抽象函数 f(x+y)=可由一个特殊函数正切函数 f(x)=tanx 抽象而成的。( )( )1( ) ( )f xf yf x f y根据上述分析，可知应选 D。 代数演绎法 例 2：设定义在 R 上的函数 f(x)对于任意 x，y 都有 f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且 f(1)=-2，当 x0 时，f(x) 0。 判断 f(x)的奇偶性，并加以证明； 试问：当-2003x2003 时，f(x
4、)是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由；解关于 x 的不等式f(bx2)-f(x)f(b2x)-f(b)，其中 b22.21 21解：令 x=y=0，可得 f(0)=0 令 y=-x，则 f(0)=f(x)+f(x)，f(x)= f(x)，f(x)为奇函数 设2003x1x22003，y=x1，x=x2则 f(x2x1)=f(x2)+f(x1)=f(x2)f(x1)，因为 x0 时，f(x)0， 故 f(x2x1)0，即 f(x2)f(x1)0。 f(x2)f(x1)、f(x)在区间2003、2003上单调递减 x=2003 时，f(x)有最大值 f(2003)=f(2003)=f
5、(2002+1)=f(2002)+f(1)=f(2001)+f(1) +f(1)=2003f(1)=4006。 x=2003 时，f(x)有最小值为 f(2003)= 4006。 评注：本题综合考查函数性质、不等式解法及分类讨论等数学思想。本题中，若 f(x)满足 f(x+y)= f(x)+ f(y)，则 f(x)是奇函数。这一命题在解决问题中起着较大作用。事实上，对于抽象函数往往存在 奇偶性: （1）若函数 y=f(x)满足 f(x+y)= f(x)+ f(y)，则 f(x)是奇函数（2）若函数 y=f(x) 满足 f(x)+f(y)=f()，则 f(x)是奇函数xyyx 1（3）若函数 y
6、=f(x) 满足 f(x+y)=，则 f(x)是奇函数)()(1)()( yfxfyfxf （4）若函数 y=f(x) 满足 f(x+y)+ f(x-y)=2 f(x) f(y)，f(x)0，则 f(x) 是偶函数。例 3：已知函数 y=f(x)的定义域为 R，且对于一切实数 x 满足 f(x+2)= f(2-x)，f(x+7)= f(7-x) 、求证： f(4-x)= f(x)，f(14-x)= f(x)； 、试问 y=f(x)是否为周期函数，若不是，说明理由；若是，求出它的一个周期；、已知 x时，f(x)=x2,求当 x时，函数 y=f(x)的表达式，并求此时 f(x)的最大值 7 , 2
7、20,16和最小值。、证明： f(4-x)= f=f= f(x)Q2)2( x)2(2xf(14-x)= f=f= f(x)7)7( x)7(7x、解：f(x)= f= f(4-x)= f = f= f(x+10) 2)2( x)3(7x7)3( xy=f(x)是周期为 10 的周期函数、当 x时，x-1017,16 7 , 6f(x)= f(10-x)=（x-10）2当 x时, 24-x20,17 7 , 4f(x)= f(x-10)= f= f(24-x)= (24-x)2)24(14xf(x)= 20,17,)24(17,16,)10(22xxxx当 x时，f(x)的最小值为 36，且
8、f(x)4917,16当 x时, f(x)的最小值为 16，最大值 4920,17f(x)的最大值为 49 和最小值为 16。 评注：本题函数 f(x)以抽象函数为相关背景。考查了函数的概念、周期性、最值等基础知识；深刻 考查了运算能力和逻辑思维能力。本题解决的关键是充分利用 f(x+2)= f(2-x)，f(x+7)= f(7-x)这一条 件。事实上(1) 满足 f(x+a)= (a 是大于零的常数)，则 f(x)是周期为 2a 的周期函数。)(1 xf(2)满足 f(x+a)= f(x-a)(a0)的函数 f(x)是以 2|a|为周期的函数。 (3)满足 f(a+x)= f(a-x), f
9、(b+x)= f(b-x) (ba)的函数 f(x)是以 2(b-a)为周期的函数。 (4)f(x)是奇函数，满足 f(a+x)= -f(a-x)(a0)的函数 f(x)是以 2a 为周期的函数。 (5)f(x)是偶函数，满足 f(a+x)= -f(a-x)(a0)的函数 f(x)是以 4a 为周期的函数。 综上所述，由于抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而成的。故关于有关抽象函数问题的解决， 我们往往可以从上述三个方面给予考虑，总是比较奏效的。 特殊值法例已知定义在 R 上的函数满足： f x（1）值域为，且当时，；1,10x 10f x （2）对于定义域内任意的实数，均满足： 1f mf
10、nf mnf m f n, x y试回答下列问题：（）试求的值； 0f（）判断并证明函数 f x的单调性；讲解讲解：（）在中，令，则有即： 1f mf nf mnf m f n0,0mn 0 10f mff mf m f 100f mf m ff mf也即： 2010ff m由于函数的值域为，所以，所以 f x1,1 210f m 00f（）函数 f x的单调性必然涉及到，于是，由已知， f xfy 1f mf nf mnf m f n我们可以联想到：是否有？（） 1f mf nf mnf m f n这个问题实际上是：是否成立？ fnf n 为此，我们首先考虑函数的奇偶性，也即的关系由于，所以
11、，在 f x fxf x与 00f中，令，得所以，函数为奇函数故 1f mf nf mnf m f nnm 0f mfm f x（）式成立所以，任取，且，则 1f mf nf mnf m f n12,x xR12xx，故且所以，210xx210f xx 211,1f xf x 21212110f xf xf xxf xf x所以，函数在 R 上单调递减 f x三、反馈练习三、反馈练习1定义在 R 上的函数 f x满足：对任意实数，总有 f mnf mf n，且当时，,m n0x 01f x（1）试求的值； 0f（2）判断 f x的单调性并证明你的结论；讲解讲解：（1）在 f mnf mf n中
12、，令1,0mn得： 110fff因为， 10f所以， 01f（2）要判断 f x的单调性，可任取，且设在已知条件 f mnf mf n中，12,x xR12xx若取21,mnx mx，则已知条件可化为： 2121f xf xf xx由于，所以210xx为比较的大小，只需考虑的正负即可在2110f xx 21f xf x、 1f x中，令，则得 时， f mnf mf nmxnx 1f xfx0x ， 01f x 当时，又，所以，综上，可知，对于任意，均0x 110f xfx 01f1xR有 10f x 2112110f xf xf xf xx 函数 f x在 R 上单调递减2 2 （2009广
13、西河池模拟）已知定义在区间（0，+）上的函数 f(x)满足 f()21 xx=f(x1)-f(x2)，且当 x1 时，f(x)0.（1）求 f(1)的值； （2）判断 f(x）的单调性； （3）若 f(3)=-1,解不等式 f(|x|)-2. 解：解：（1）令 x1=x20,代入得 f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故 f(1)=0.（2）任取 x1,x2(0,+)，且 x1x2,则21 xx1,由于当 x1 时，f(x)0,所以 f)(21 xx0,即 f(x1)-f(x2)0,因此 f(x1)f(x2),所以函数 f(x)在区间(0,+)上是单调递减函数.（3）由 f(21 xx)=f
14、(x1)-f(x2)得 f()39=f(9)-f(3),而 f(3)=-1,所以 f(9)=-2.由于函数 f(x)在区间（0,+）上是单调递减函数， 由 f(|x|)f(9),得|x|9,x9 或 x-9.因此不等式的解集为x|x9 或 x-9. 3 3 函数 f(x)对任意的 a、bR,都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当 x0 时，f(x)1. （1）求证：f(x)是 R 上的增函数； （2）若 f(4)=5,解不等式 f(3m2-m-2)3. 解：解：（1）设 x1,x2R，且 x1x2, 则 x2-x10,f(x2-x1)1. f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-10. f（x2）f(x1).
