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1、1初中数学竞赛辅导资料初中数学竞赛辅导资料公式公式编辑：沈宇喆编辑：沈宇喆甲内容提要甲内容提要 1 乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接 应用。 公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到 分式、根式。 公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开） ，还可以由右到左逆用（因式分 解） ，还要记住一些重要的变形及其逆运算除法等。 2 基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。 完全平方公式：(ab)2=a22ab+b2, 平方差公式：（a+b）(ab)=a2b2 立方和（差）公式：(ab)(a2ab+b2)=a3b
2、3m 3.公式的推广： 多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd 即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的 2 倍。 二项式定理：(ab)3=a33a2b+3ab2b3 (ab)4=a44a3b+6a2b24ab3+b4） （ab）5=a55a4b+10a3b2 10a2b35ab4b5） 注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律 由平方差、立方和（差）公式引伸的公式 （a+b）(a3a2b+ab2b3)=a4b4 (a+b)(a4a3b+a2b2ab3+b4)=a5+b5 (a+b)(a5a4b+a3b2a2b3+
3、ab4b5)=a6b6 注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律 在正整数指数的条件下，可归纳如下：设 n 为正整数 (a+b)(a2n1a2n2b+a2n3b2ab2n2b2n1)=a2nb2n (a+b)(a2na2n1b+a2n2b2ab2n1+b2n)=a2n+1+b2n+1 类似地： （ab）(an1+an2b+an3b2+abn2+bn1)=anbn 4.公式的变形及其逆运算 由（a+b）2=a2+2ab+b2 得 a2+b2=(a+b)22ab 由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得 a3+b3=(a+b)33ab(a+b)
4、由公式的推广可知：当 n 为正整数时 anbn能被 ab 整除, a2n+1+b2n+1能被 a+b 整除, a2nb2n能被 a+b 及 ab 整除。2乙例题乙例题 例 1. 己知 x+y=a xy=b 求 x2+y2 x3+y3 x4+y4 x5+y5 解： x2+y2(x+y)22xya22b x3+y3(x+y)33xy（x+y）a33ab x4+y4(x+y)44xy（x2+y2）6x2y2a44a2b2b2 x5+y5（x+y）(x4x3y+x2y2xy3+y4)=(x+y)x4+y4xy(x2+y2)+x2y2=aa44a2b+2b2b(a22b)+b2a55a3b+5ab2 例
5、 2.求证：四个連续整数的积加上 1 的和，一定是整数的平方。 证明：设这四个数分别为 a, a+1, a+2, a+3 (a 为整数) a(a+1)(a+2)(a+3)+1=a(a+3)(a+1)(a+2)+1=(a2+3a)(a2+3a+2)+1=(a2+3a)2+2(a2+3a)+1=(a2+3a+1)2 a 是整数，整数的和、差、积、商也是整数 a2+3a+1 是整数 证毕 例 3.求证：22223111能被 7 整除 证明：22223111（22）111311141113111 根据 a2n+1+b2n+1能被 a+b 整除， （见内容提要 4）41113111能被 43 整除 22
6、223111能被 7 整除 例 4. 由完全平方公式推导“个位数字为 5 的两位数的平方数”的计算规律 解： (10a+5)2=100a2+210a5+25=100a(a+1)+25 “个位数字为 5 的两位数的平方数”的特点是：幂的末两位数字是底数个位数 字 5 的平方，幂的百位以上的数字是底数十位上数字乘以比它大 1 的数的积。 如：152=225 幂的百位上的数字 2=12)， 252=625 (6=23)， 352=1225 (12=34) 452=2025 (20=45) 丙练习丙练习 15 1 填空： a2+b2=(a+b)2_ (a+b)2=(ab)2+_ a3+b3=(a+b)
7、33ab(_) a4+b4=(a2+b2)2_ ,a5+b5=(a+b)(a4+b4)_ a5+b5=(a2+b2)(a3+b3)_ 2 填空： (x+y)(_)=x4y4 (xy)(_)=x4y4 (x+y)( _)=x5+y5 （xy）(_)=x5y5 3.计算：3552= 652= 752= 852= 952= 4. 计算下列各题 ，你发现什么规律 1119= 2228= 3436= 4347= 7674=5.已知 x+=3, 求x2+ x3+ x4+的值x121 x31 x41 x6.化简：（a+b）2(ab)2 (a+b)(a2ab+b2) (ab)(a+b)32ab(a2b2) (
8、a+b+c)(a+bc)(ab+c)(a+b+c) 7.己知 a+b=1, 求证：a3+b33ab=1 8.己知 a2=a+1，求代数式 a55a+2 的值 9.求证：2331 能被 9 整除 10.求证：两个连续整数的积加上其中较大的一个数的和等于较大的数 的平方 11如图三个小圆圆心都在大圆的直径上，它们 的直径分别是 a,b,c 求证：三个小圆周长的和等于大圆的周长 求：大圆面积减去三个小圆面积和的差。练习 15 4. 十位上的数字相同，个位数的和为 10 的两个两位数相乘，其积的末两位数是两个 个位数字的积，积的百位以上的数是，原十位上数字乘上比它大 1 的数的积 8.n(n+1)+(
9、n+1)=(n+1)2 9.可证明 3 个小圆周长的和减去大圆周长，其差等于 0(ab+ac+bc)2a ab bc c4初中数学竞赛辅导资料初中数学竞赛辅导资料二元一次方程的整数解二元一次方程的整数解 甲内容提要甲内容提要 1， 二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程 ax+by=c 中， 若 a,b 的最大公约数能整除 c,则方程有整数解。即 如果（a,b）|c 则方程 ax+by=c 有整数解 显然 a,b 互质时一定有整数解。 例如方程 3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6 都有整数解。 返过来也成立，方程 9x+3y=10 和 4x-2y=1 都没有整数解， （9，
10、3）3，而 3 不能整除 10；（4，2）2，而 2 不能整除 1。 一般我们在正整数集合里研究公约数， （a,b）中的 a,b 实为它们的绝对值。 2， 二元一次方程整数解的求法： 若方程 ax+by=c 有整数解，一般都有无数多个，常引入整数 k 来表示它的通解（即 所有的解） 。k 叫做参变数。 方法一，整除法方法一，整除法：求方程 5x+11y=1 的整数解解：x= (1) , 5111yyyyy251 5101设是整数） ，则 y=1-5k (2) , kky(51把（2）代入（1）得 x=k-2(1-5k)=11k-2原方程所有的整数解是（k 是整数） kykx 51211方法二，
11、公式法方法二，公式法：设 ax+by=c 有整数解则通解是（x0,y0可用观察法） 00 yyxx akyybkxx003， 求二元一次方程的正整数解： 出整数解的通解，再解 x,y 的不等式组，确定 k 值 用观察法直接写出。 乙例题乙例题 例 1 求方程 5x9y=18 整数解的能通解解 x=5323531015 5918yyyyy设（k 为整数） ，y=35k, 代入得 x=99k ky 53原方程整数解是 （k 为整数） kykx5399又解：当 x=o 时，y=2，5方程有一个整数解它的通解是（k 为整数） 20 yx kyyx5290从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的。 例
12、 2，求方程 5x+6y=100 的正整数解解：x=(1)，52056100yyy设(k 为整数)，则 y=5k,(2)ky5 把（2）代入（1）得 x=20-6k， 解不等式组 00 yx 050620 kk得 0k1 3. a=1 4. 5,-3,-1,1 5. 78154鸡雏鸡母鸡翁81118鸡雏鸡母鸡翁84412鸡雏鸡母鸡翁10初中数学竞赛辅导资料初中数学竞赛辅导资料经验归纳法经验归纳法甲内容提要甲内容提要 1通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。 通过有限的几个特例，观察其一般规律，得出结论，它是一种不完全的归纳法，也 叫做经验归纳法。例如 由 ( 1)2
13、1 ， （ 1 ）3 1 ， （ 1 ）4 1 ， 归纳出 1 的奇次幂是 1，而 1 的偶次幂 是 1 。 由两位数从 10 到 99 共 90 个（ 9 10 ） ， 三位数从 100 到 999 共 900 个（9102） ， 四位数有 91039000 个（9103） ， 归纳出 n 位数共有 910n-1 (个) 由 1+3=22, 1+3+5=32, 1+3+5+7=42 推断出从 1 开始的 n 个連续奇数的和等于 n2等。 可以看出经验归纳法是获取新知识的重要手段，是知识攀缘前进的阶梯。 2. 经验归纳法是通过少数特例的试验，发现规律，猜想结论，要使规律明朗化，必 须进行足夠次
14、数的试验。 由于观察产生的片面性，所猜想的结论，有可能是错误的，所以肯定或否定猜想 的结论，都必须进行严格地证明。 （到高中，大都是用数学归纳法证明）乙例题乙例题 例 1平面内 n 条直线，每两条直线都相交，问最多有几个交点？ 解：两条直线只有一个交点， 1 2 第 3 条直线和前两条直线都相交，增加了 2 个交点，得 12 3 第 4 条直线和前 3 条直线都相交，增加了 3 个交点，得 123 第 5 条直线和前 4 条直线都相交，增加了 4 个交点，得 1234 第 n 条直线和前 n1 条直线都相交，增加了 n1 个交点 由此断定 n 条直线两两相交，最多有交点 123n1（个） ，这里 n2，其和可表示为1+（n+1） , 即个交点。21n 2) 1( nn11例 2符号 n！表示正整数从 1 到 n 的連乘积，读作 n 的阶乘。例如5！12345。试比较 3n与（n+1）！的大小（n 是正整数） 解：当 n 1 时，3n3, （n1）！122 当 n 2 时，3n9， （
