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1、 363 Proceedings of the 26th Chinese Control Conference July 26- 31, 2007, Zhangjiajie, Hunan, China 模糊证据理论的深入研究模糊证据理论的深入研究* 马小平，汪永东，樊 阳 中国矿业大学信息与电气工程学院，徐州 221008 E- mail: 摘 要：把证据理论向模糊集推广，利用模糊集的隶属函数提出一种构造证据理论中的基本概率赋值函数的方法， 使得证据理论应用于实际更加方便和有效；针对 D- S 证据组合规则和其他一些改进的组合规则对证据冲突处理中 存在的不足，提出改进的证据合成规则。该规则兼
2、顾了证据之间的冲突性和一致性，对冲突性证据以证据源的可 信度加权合成，对一致性证据采用反映聚焦程度的与运算。理论分析和数值实验表明改进后的规则对高冲突性证 据和一致性证据都非常有效，特别对高冲突性证据，该规则比其他一些规则能更快地收敛到合理的目标。 关键词：模糊集，证据理论，模糊证据理论，合成规则 A Further Study on Fuzzy Evidence Theory Ma Xiaoping, Wang Yongdong, Fan Yang School of Information 1,2,imjn=? (1) 显然由公式(1)确定的函数()ijm A是一个证据理论中的基本概率赋值
3、函数mass 。它根据传感器给出的隶 属函数值很简单地构造了一个mass 函数。它不但解 决了如何确定证据理论中的mass 函数这一难题，而 且它最大限度地保留了传感器(或领域专家)给出的 各个观察结果的不确定性。同时这样还避免了由于 一些人为引入的映射而使被处理信息失真。剩下的 工作只需由证据理论经过简单的融合即可。 3 证据理论的改进(Improvements on Evidence Theory) 3.1 D-S 证据理论及一些代表性改进的分析(D-S Evidence Theory and some representative Im- provements) D- S 证据理论为了避
4、免将非 0 的概率赋给空 集， 采用了归一化因子。 但是， 由于归一化使得 D- S 公式的合成结果常常违背常理，特别地，当证据间 的总冲突为 1 时，公式无法使用。为此，很多学者 认为在组合规则中，冲突信息不能简单地被抛弃， 而应该重新分配。其中典型的代表是 Yager 提出的 Yager 公式9。Yager 公式没有采用归一化因子，而是将冲突信息全部赋给辨识框架(即未知项 ( )m)。它虽然不会出现象 D- S 公式那样违背常理 的结果，但它具有“一票否决”的效果，即在绝大 多数证据源支持 A的情况下，只要有一个证据源否 定 A，合成的结果就否定 A。故 Yager 公式也不理 想。 文1
5、2通过引入证据源可信度的概念， 将冲突信 息按证据源的可信度进行分配，其余的分配给未知 项。它们的合成规则虽然有所改善，但它们所定义 的可信度函数公式中的底数 e 具有一定的随意性， 在实际应用中合理确定可信度函数有一定的难度； 而且它们认为所有的单个证据源具有相同的可信 度， 这显然不切合实际， 同样的问题还存在于文13、 14等的规则中。由此，当证据源较多时，融合结果 收敛到一致信息的速度也不够理想。 文13认为冲突 信息可以全部利用，它引入了证据源的平均支持程 度， 把证据源总冲突的概率对单个证据源平均分配， 而不分配给未知项(若也是焦元， 则它同其他焦元 一样参与冲突信息的分配)。这是
6、一种强硬决策或冒 险决策，它适应了某些特定场合的需要。其效果比 Yager 公式明显改善。 文15利用证据源的可信度来对冲突信息进行 加权分配，其规则较前面几种有很大改善，尤其是 证据源高度冲突时，它能较快地收敛到一致信息。 但是， 文11的规则主要针对焦元均为单点集， 特别 地，它没有考虑焦元含有辨识框架这一情况。 文14考虑了冲突性和一致性证据的合成要求， 冲突性证据按简单平均合成，一致性证据采用与运 算，反映了证据间的交叉融合度。因而在处理一致 性证据时表现了一定的优势，它在对多个高冲突证 据源合成时收敛到实际目标的速度较慢。特别地， 当所有证据的焦元都为单点集时， 文14提出的合成 公
7、式就等同文13提出的合成公式。 3.2 相关概念的引入(Introduce Some Relative Con- ceptions) 首先，本文引入文10中提出的证据距离的概 念。设是一个包含 N 个两两不同命题的辨识框 架，现有 M 个证据源：12,MS SS?，它们对应的 BPAF(Basic probability assignment function)分别为：12,Mm mm?。每个证据源iS 看成一个2N维行向量iS ， 该向量的各分量分别为的幂集2的各元素对应im 的概率分配值。则两个证据源iS 、jS 之间的距离可定义为： (,)ijd S S =T1()( )2ijijSS
8、D SS (2) 其中，D 为一个22NN的矩阵： ( , )D A B =ABAB,A B2 365 证据距离反映了两个证据之间的差距，它是证 据冲突的另一种反映，它的对立面应该反映两个证 据的一致性程度。在兼顾融合效果的基础上，我们 选择一个比较简单的关系式来定义两个证据的一致 性程度。例如：证据iS 、jS 之间的一致性程度可定义为： coh(,)1(,)ijijS Sd S S= (3) 一个证据iS 被其他所有证据支持的程度可定义 为： sup()iS=1,(,)Mij jj icoh S S=(4) 证据源iS 的可信度可定义为： cre()iS =1sup()sup()Mii i
9、SS=(5) 我们借助证据间的两两一致性程度来构造证据 源总体的可信度超球体和证据完全一致的证据源总 体的可信度超球体(理想超球体)，它们都为2 MC维， 其半径分别为r 和 R ，定义如下： r =22111(,)2MMMM CCij ij icohS S= + (6) R =22212MMCC MC=222MC MC (7) 证据源总体的可信度可认为是它对证据完全一 致的理想证据源的接近程度，也就是证据源总体的 可信度超球体对理想超球体的接近程度，我们定义 证据源总体的可信度C 为： /Cr R= (8) 3.3 本文的合成规则(The Improvement Combination Ru
10、les Given by This Paper) 本文同时考虑冲突性和一致性证据的合成要 求，冲突性证据按可信度加权平均合成，一致性证 据按与运算合成，并且反映了证据间的交叉融合程 度， 提出改进的合成规则。 设,ijkA B C ?， 分别为M个不同证据源的焦元。 ()0m= (9) ( )m A =1K PijkMABCAijkAA B C= ?1()im A 2()jm B3()km C ?+ K C()1( ) cre( )Mii im As=,A (10) 1( )KmP=ijkMABCijkA B C= ?1()im A2()jm B3()km C ?+ K C1( ) cre()
11、Mii imS=+(1)KC (11) 式中C ，cre()iS 同前面定义，(下求也相同) K =1()ijki ABCm A= ?2()jm B3() .km C 它表示所有证据间的总冲突， P =ijkMijkABCijkABCA B C ?1()im A2()jm B3()km C ? 它表示一致性证据交叉融合后总的概率，其中MijkijkABCA B C?反映证据交叉融合的程度， 具有与运算关系。很明显，证据源间的一致性越好，交 叉融合程度越大；(1- K)/P 则表示交叉融合后对一致 性证据概率分配的归一化。式(10)、(11)的第二项表 示考虑证据源总体的可信度和单个证据源各自的
12、可 信度，把证据源的总冲突进行合理地加权分配。 如果认为证据冲突完全可以利用，则可以令上 述规则中的C 1 即可，这是一种类似于文13的冒 险决策行为，适合某些特定的需要。 3.4 数值实验 (Numerical Experimentation) 为了便于对比各个合成规则的融合效果，在此 引用文12中的例子如下： 例 设辨识框架=A，B，C,证据源： S1 m1(A)= 0.98, m1(B)= 0.01, m1(C)= 0.01 S2 m2(A)= 0, m2(B)= 0.01, m2(C)= 0.99 S3 m3(A)= 0.9, m3(B)= 0, m3(C)= 0.1 S4 m4(A)
13、= 0.9, m4(B)= 0, m4(C)= 0.1 利用 D- S 合成公式、 Yager 公式、 文12和文15 中的规则和本文的规则融合的结果如表 1 所示。由 表可见， 当有多个高冲突证据源时， D- S 规则、 Yager 公式的融合结果都不合常理。 而文12的规则， 当有 了证据源4S 后，m(A) = 0.42，即对 A 的支持度仍小 于 50%。这表明有 3 个证据支持 A，而一个否定 A 的情况下，仍然难以做出一个可信的决策。文15 的规则此时融合效果较好，主要由于它是针对高冲 突性证据源提出的。而本文的规则收敛到一致信息 的速度比文15更快。当有了证据源4S 后 m(A)
14、 = 0.7515，对 A 的支持程度超过了 75%，可信度明显 得到提高，很容易作出正确的决策。 366 表 1 融合结果对比(The fusion results of different methods) 4 结论(Conclusion) 本文在分析证据理论自身的不足的基础上， 给出 了一种简单而合理的由隶属函数构造的mass 函数。 这种方法把证据理论向模糊集推广形成模糊证据理 论，更加符合客观实际。另外，本文针对证据理论合 成规则中存在的问题，提出了改进的合成规则。这个 规则对一致性证据以其交叉程度为权重聚焦， 在同时 考虑证据源总体和单个证据源的可信度的基础上对 证据冲突进行合理分
15、配。因而，本文提出的模糊证据 理论从外延和内涵两个方面发展了证据理论， 它的适 用范围更广，使用效果也更加合理、可信。 参考文献(References) 1 Dempster A P. Upper and lower probabilities induced by a multi- valued mapping J. Ann Mathematical Statistics 1967, 38: 325- 339. 2 何友，王国宏，陆大金, 等. 多传感器信息融合及应用 M. 北京：电子工业出版社，2000. 3 Yang Jian- Bo. Singh M G. An evidential reasoning approach for multiple- attributed decision making with uncertainty J. IEEE Transaction on System, Man and Cybernetics, 1994, 24(1): 1- 18. 4 任平，喻东. 模糊信息处理的数学基础 M. 贵州：贵州科技出版社，1995,3- 13. 5 刘大有，李岳峰. 广义证据理论的解释 J. 计算机学报， 1997, 20(2): 158- 164. 6 Sme
